2025届西南名校联盟“3+3+3“高考备考诊断性联考（一）数学试卷（解析版）

这是一份2025届西南名校联盟“3+3+3“高考备考诊断性联考（一）数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在复平面内，向量对应的复数为，向星对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以向量对应的复数为.
故选：D．
2. 下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，由，
得，
反之，当时，不能推出，
故是成立的充分不必要条件，故A错误；
对于B，当时，不成立，故不是成立的充分条件，
反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，
故B错误；
对于C，当时，成立，但不成立，
所以是成立的不充分条件，
反之，满足成立，但不成立，
所以是成立的不必要条件，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由在上单调递增，可得是的充要条件，故D正确.
故选：D．
3. 在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A. 8B. C. 28D.
【答案】C
【解析】第3项的二项式系数为.
故选：C.
4. 已知数列满足，且，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意数列满足，由，
得，，，，
由此可知数列是周期为的周期数列，所以.
故选：C
5. 已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A. B. 或0C. D. 或0
【答案】B
【解析】因为直线与直线互相垂直，
所以 ，解得或.
故选：B
6. 已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示：

又因为质点运动最短距离为，故，
又因为，所以，所以,
设圆锥底面半径为，高为，则，解得，
所以，
所以圆锥的体积.
故选：A.
7. 已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数定义域为，
又，
因为有两个极值点为，
所以在上有两个不同的零点，
此时方程在上有两个不同的实根，
则，解得.
若不等式恒成立，
则恒成立，
因为
，
则，
设，，
则，因为，
所以，所以在上单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为.
故选：A
8. 在中，内角所对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题可得
，
，，当且仅当取等号，
所以.
故选：B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，可以作为基底，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若与的夹角为，则或9
【答案】ACD
【解析】对于A，若，可以作为基底，则与不共线，
当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确；
对于B，，，
，解得或，故B错误；
对于C，若，则，，故C正确；
对于D，，
，或，故D正确.
故选：ACD
10. 已知幂函数，则（ ）
A.
B. 的定义域为R
C. 为非奇非偶函数
D. 不等式的解集为
【答案】AC
【解析】A：由幂函数知，，解得，故A正确；
B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，
故B错误，C正确；
D：由知函数在上单调递增，
所以由可得，解得，
即不等式的解集为，故D错误.
故选：AC
11. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的第2项小于1B.
C. 为等比数列D. 中存在大于100的数
【答案】AD
【解析】对于A，由题意，当时，，解得，
当时，，解得，故A正确；
对于B，当时，，解得，
，所以B错误；
对于C，假设数列为等比数列，
则，，矛盾，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，
所以数列是递增数列，所以，
假设对任意的，，则，
取，则，矛盾，
所以中存在大于100的数，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，
又双曲线的渐近线方程为，所以，所以，
双曲线的离心率为.
故答案为：.
13. 已知，函数有最小值，则______．
【答案】4
【解析】，
令，则或（舍），
故答案为：.
14. 已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是______．
【答案】
【解析】若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；
若第一次取球均取到红球，其概率为，
第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球，
第二次取到同色球概率为；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是；
若第一次取球均取到白球，其概率，
第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球，
第二次取到同色球概率为；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是；
所以乙袋中恰有4个小球的概率是.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值．
解：（1）因为点在抛物线上，
所以，
解得，
抛物线方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，
得，
若，方程只有一解，满足要求，
若，则需满足，解得，
综上：或
16. 如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．

（1）求的值和两点间的距离；
（2）若，求折线段赛道的长度．
解：（1）由题可得，
，
当时，，即，
又，
（千米）；
（2）在中，设，则，
，
，
，
，
（千米），
折线段赛道的长度为千米.
17. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）．
（1）当与重合时，证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）解：连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，
，
又，所以，
设，，
则，
即；
又，
设平面的法向量为，
则则，
取，则，
故平面的法向量可为，
又，设直线与平面所成角为，
由题可得，
即，
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
18. 函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
解：（1）因为，
所以，
则，又，
所以在处的切线方程为；
（2）因为，，
令，，
则，
因为在上单调递增，，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
又，，所以，
所以，即的取值范围为．
19. 为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．
（1）经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
（2）在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为，
（Ⅱ），，，，，
（1）解：由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，则，，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786；
（2）①证明：因为，，
所以，，，
，，
，
；
②解：因为…
则出现上述情况的概率为
，
令，取对数得，
令，则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
因为，所以，
则，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%.大肠杆菌数/升
0
1
2
3
4
5
升数
17
20
10
2
1
0