2025届湖北省腾云联盟高三上学期12月联考(一模)数学试卷（解析版）

这是一份2025届湖北省腾云联盟高三上学期12月联考(一模)数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知集合，若，则的取值范围是， 已知椭圆，则下列结论正确的是， 展开式中含项的系数为， 已知实数满足，则最大值为， 已知函等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由解得，
因为，所以，
所以，解得，即的取值范围是，
故选：C.
2. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 的焦点在轴上
B. 的焦距为4
C. 的离心率
D. 的长轴长是短轴长的倍
【答案】C
【解析】在椭圆中，，，，
对于A选项，椭圆的焦点在轴上，A错误；
对于B选项，椭圆的焦距，B错误；
对于C选项，椭圆离心率为， C正确；
对于D选项，椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，
的长轴长是短轴长的倍，D错误.
故选：C.
3. 展开式中含项的系数为（ ）
A. 40B. C. 20D.
【答案】B
【解析】展开式的通项为，
所以令，解得，
所以展开式中含项的系数为，
故选：B.
4. 高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，
那么一年后是，如果每天的落后率都是，
那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（ ）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：）
A. 7B. 17C. 27D. 37
【答案】B
【解析】经过天后，张三超过李四的100倍，
所以，
两边取以10为底的对数得，
所以，
又，所以,
所以大约17天后，张三超过李四的100倍.故选：B
5. 已知函数是减函数，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，可得，
因为函数是减函数，所以对恒成立，
即对恒成立，所以对恒成立，
所以，又，当且仅当时等号成立，
所以，所以，所以的取值范围为.
故选：D.
6. 已知实数满足，则最大值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】解法（1）：由，
令，即，，
，即最大值为2；
解法（2）：
当且仅当，即时取等号，
，即最大值为2，故选：A.
7. 已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记数列公比为且，则，故，
所以公比也为，
则前9项和.
故选：D
8. 设双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点为，已知为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的渐近线为，焦点，
由双曲线的对称性不妨设，
因为，所以，所以，
所以，
所以，所以，
又，
所以，
所以，
所以. ，
两边平方得，
所以，所以，
所以，
所以双曲线的离心率.故选：A.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关于向量与复数的说法正确的有（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若复数满足，则
C. 若，则或
D. 若，则或
【答案】BD
【解析】
对于A，，满足，但，显然，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，若是两个单位向量，有，但两个单位向量的方向可以任意，即可不共线，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，所以，
所以或，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函.（ ）
A. 的最小值为
B. 在区间上单调递减
C 若当时，取得极大值，则
D. 若在区间恰有3个零点，则
【答案】ACD
【解析】对于A，易知，
由二次函数性质可得当时，取得最小值为，即A正确；
对于B，
当有正负，可知B选项错误，
对于C，由B可知当时，单调递增，当时，单调递减；所以当时，取得极大值时，即C正确；
对于D，易知，当时，
由正弦函数图象性质可得有3个零点时满足，解得，即D正确.故选：ACD
11. 已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数为周期函数
B.
C. 的图像关于点中心对称
D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由可得，即的周期为2，A正确.
对于B，因为为偶函数，令可得无法确定，B错误，
对于C，因为为偶函数，所以，
可得，
因此关于点中心对称，即C正确；
对于D，，，
累加可得，所以，即D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共13小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，若，则__________.
【答案】
【解析】易知直线的斜率存在且为，
由可知，且，所以.
故答案为：
13. 已知三棱锥的四个顶点都在球体的表面上，若，且，则球体的表面积为__________.
【答案】
【解析】如图所示：取的中点，连接，
因为，所以，
又，，所以，
因为，，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，所以，又，平面，
所以平面，又是的外心，
所以三棱锥的外接球球心在直线上，
设，则，所以，解得，
所以外接球的半径为，
所以球体的表面积为.
故答案为：.
14. 已知中，
①__________；
②为边的中点，若，则__________.

【答案】 ①. ②.
【解析】，
即
由正弦定理角化边可得
由余弦定理可得；
设
由余弦定理结合①得
在中，在中，
所以，即，
，
等式两边同时除以可得，
解得或（舍去），
所以.
故答案为：；.
四､解答题：本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
（1）证明：因为，所以，
所以，所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可知
令
对照系数可得（其中），
16. 已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间内存在极小值点，求的取值范围.
解：（1）当时，，可得
所以，又，
所以切线方程：，即.
（2）由已知得
1.若，，
当时，，上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以在取得最小值，符合题意.
2.若，
i）若即，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调递增，
所以在取得最小值，
ii）当，，所以无极值，不符合题意，
iii）当即，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调递增，
所以在取得极小值符合.
3.若，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
在取得极小值，符合题意；
综上所述：的取值范围为.
17. 如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.

（1）若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面；
（2）若，①证明：平面平面；
②记四棱锥体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离.
（1）证明：取PA中点G，连FG，EG，

因为分别为的中点，则∥，且，
由题意可知：∥，且，
则∥，且，可知四边形CFGE为平行四边形，
则∥，且平面，平面，
所以∥平面.
（2）①证明：在四边形中，连接，

由题意可知：是以边长为2的等边三角形，则，
且，则，
可知，即，
且，
若，且，则，可知，
且，平面，可得平面，
又因为平面，所以平面平面；
②解；取中点，中点，连，
则，∥，可得，
因为为等边三角形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平行四边形的高即为等边的高，
设点到平面的距离为，
若，则，解得，
即，可知为中点，
以为原点，OA，OH，别为轴建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离.
18. 如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，证明：；
（3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
（1）解：当时，，
联立消去，
可得，
设，
拋物线C方程为：.
（2）证明：由题知，设，
，代入抛物线可得，
，
又，
同理.
（3）证明：因为，
所以，代入点得①，
设，同理，
过点②
，
结合①②可得
又因为
所以，整理得
所以直线过定点.
19. 在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表：
（1）从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
（2）已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值.
（3）设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，
证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数）
（1）解：由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学，
由条件根概率公式可得；
（2）解：分析r的向量意义，
设，
则，
分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，
则，
，
，
，
夹角余弦值最大值为；
（3）证明:都是一个排列，
同理
.
结合图表学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
116
131
124
126
121
110
106
99
118
117
数学名次
7
1
3
2
4
8
9
10
5
6
物理成绡
80
78
79
81
74
65
63
70
73
84
物理名次
3
5
4
2
6
9
10
8
7
1