2024~2025学年湖北省武汉市九年级上学期期末元月调考模拟数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省武汉市九年级上学期期末元月调考模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 不可能事件
C. 随机事件D. 确定性事件
【答案】C
【解析】“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件，
故选：C．
2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
3. 的半径是，圆心到直线的距离为，直线与的公共点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
【答案】A
【解析】的半径是，圆心到直线的距离为，
，即直线与相离，公共点个数是0，
故选：A．
4. 解一元二次方程，配方后得到，则p的值是（ ）
A. 13B. 9C. 5D. 4
【答案】A
【解析】，
，
，
，
．
故选：．
5. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ）
A. 12寸B. 24寸C. 13寸D. 26寸
【答案】D
【解析】如图，连接，
，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
寸，
故选：D．
6. 如图，将菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，当平分时，则与之间的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵是菱形，
∴，
∴，
∵菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
根据三角形内角和定理可得：，
即，
故选：D．
7. 如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先设每个正六边形的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故选：C．
8. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. π﹣1B. π﹣2C. π﹣3D. 4﹣π
【答案】B
【解析】由题意可得，
阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，
故选：B．
9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：，这个函数图象如图所示．则小球从第到第的运动路径长为（ ）
A. 20mB. 30mC. 40mD. 50m
【答案】C
【解析】由题意可知，当时，小球到达最高点处，
当时，，
即小球从第到第上升的高度为；
当时，，
即小球从第到第下降的高度为；
小球从第到第的运动路径长为，
故选：C．
10. 如图，是等边三角形外一点，连接，，．若，，，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将绕点A顺时针旋转到，连接、，延长交于点F，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴，，
∴，
∴，
，
，
∴，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为_____________．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】3
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案：3
13. 某商品原售价为5000元/吨，经过连续两次降价后，现售价为3000元/吨．设平均每次降价的百分率为x，根据题意，列出方程为：______．
【答案】
【解析】 设平均每次降价的百分率为x，
∴列式为：．
14. 如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连结，则的长为 ___________．

【答案】
【解析】连接，延长交于点F，

由旋转可得：，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③
【解析】当时，把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
16. 如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边AB于点，当过，，三点的圆面积最小时，则______．
【答案】
【解析】如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴
∴
设， 则，
∴
∴
∴，
∵
∴
∵
∴是的直径，
∵是圆内接四边形，
∴，
∴，则是等边三角形
∴，则
∴
在中，
在中，
∵是的直径，
∴当取得最小值时，的面积最小，
∴当时，的面积最小，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）由原方程得：
得，
解得，，
所以，原方程的解为，；
（2）由原方程得：，
得，，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
19. A盒中有2个黄球、1个红球，B盒中有1个黄球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若从A盒中随机取出1个球，则取出的球是红球的概率是______；
（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好是1个黄球、1个红球的概率．
解：（1）若从A盒中随机取出1个球，则取出的球是红球的概率是：；
故答案：
（2）画树状图：
由树状图得共有6种等可能结果，其中取出的两个球中恰好1个黄球、1个红球的有3种结果，
（1黄1红）．
20. 如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，．
（1）求证：为的切线；
（2）延长交于点E，连接，若且，求的半径．
（1）证明：连接，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，
则，，，
在和中，和，
即，解得：，
∴的半径为．
21. 用无刻度的直尺完成下列画图．
（1）如图（1），的三个顶点在上，，，F是的中点．先分别画出，的中点G，H，再画的内接正五边形；
（2）如图（2），正五边形五个顶点在上，过点A画的切线．
解：（1）如图即为所求．

理由如下：∵，
∴，，
∴，，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴过的交点的线段为的中线，
∴为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴为，
∴的度数为，
∴，
∴，
∴五边形为的内角正五边形．
（2）如图，延长交于，连接交于，连接并延长交于，过作直线，直线即为所求；
理由：由圆和正五边形的对称性可知，为的中点，
∵正五边形每个内角为，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是的半径，
∴直线是的切线．
22. 如图1，一钢球P从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为．钢球P在斜面上滚动的路程是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球P在斜面上滚动的速度是时间的正比例函数，函数图像如图2所示．
（1）求关于t的函数解析式；
（2）求钢球P滚至底端B的速度；
（3）钢球P滚动至有阻力的水平线上时，滚动路程与时间的关系式为，指的是钢球P在点B的速度大小，T指的是从B开始滚动的时间．若在水平线上的点M处（M在B左侧）有另一钢球Q，当钢球P从A出发时钢球Q同时从M开始向右滚动，已知，且钢球Q滚动的平均速度为，请直接写出两球出发后______秒相撞．（忽略两球半径大小）
解：（1）依题可设，代入表格数据，，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，．
∴，
将代入解析式可得：，
∵，
∴，
设正比例函数的解析式为代入坐标得：，
∴，
当时，．
答：钢球P滚动到底端B时的速度为；
（3）,对称轴为直线，
当时，,
令，
，
解得或，
因为所以均舍去， 即当时，小球已停下
此时,
故当时,还未相撞，
s.
故答案为:
23. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积．
解：（1）∵，
∴∠B=∠ACB=45°，
将绕点A旋转后得到，此时AB与AC重合，由旋转可得：
△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，
∴∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，∠MAN=∠ABC=90°，
∴
∴；
（2）∵，，
∴将绕点C旋转后得到，此时BC与DC重合，
∴△BCP≌△DCM，
∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，
∵，
∴，
∴，
∵PC=CM，QC=QC,
∴△QCP≌△QCM，
∴PQ=QM，
∴的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，
∵，
∴的周长=2a；
（3）如图，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；
∴△BCD≌△B′AD
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAB′=135°
∴∠B′AE=45°，
∵
∴B′E=AE=，
∴BE=AB+AE=2+=，
∴
∵等边△DBB′，∴BB′上的高=，
∴
∴ ，
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=；
24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、，求面积的最大值；
（3）若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标.
解：（1）在中，令，得；令，得，
A-4,0，，
把、两点的坐标分别代入线，
可得，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）作轴交于点，如图，
设，则，
点是第二象限内抛物线上一点
；
，
，
当时，的最大值为，
面积的最大值为；
（3）连接、，交直线于点，如图，
令，解得：，，
，
A-4,0，，
，
∴，
点、关于直线对称，
，
，
点是纵坐标为，
．0
0.5
1
1.5
…
0
1.25
5
11.25
…