2024~2025学年浙江省杭州市西湖区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年浙江省杭州市西湖区九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1. 已知＝，则的值为（ ）
A. ﹣2B. 2C. ﹣D.
【答案】D
【解析】∵，
∴设，
∴．
故选：D．
2. 如图，内接于，CD是的直径，连接BD，，则的度数是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是的直径，，
，，
故选：D．
3. 如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）

A. 300csαmB. 300sinαm
C. D.
【答案】B
【解析】在中，，，，
∵，
∴，
故选：B．
4. 如图，能使成立的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故选：C．
5. 若二次函数的图象经过三点，则a、b、c 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
∵到3的距离为4，2到3的距离为1，4.5到3的距离为1.5，
∴a、b、c的大小关系.
故选：D．
6. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故选：C．
7. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：B．
8. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A 45B. 60C. 75D. 90
【答案】B
【解析】∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
9. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ）
A. 13B. 14C. 12D. 28
【答案】D
【解析】连接，
∵，
∴，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴，即点为AB中点，
∴，
若要使取最大值，则需取最大值，
连接，交于点，
当点P位于点时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，
∴的最大值为，
∴的最大值为．
故选：D．
10. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】抛物线与轴有2个交点，
，
，故正确；
当时，，
，故错误；
抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
即，
，故正确；
故选：C．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______．
【答案】6
【解析】∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个．
12. 如图，在Rt中，，，，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
∴.
13. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_______
【答案】
【解析】如图所示：
根据题意得：，
∴，
∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，
∴，
∴.
14. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在上，则_____．
【答案】
【解析】由旋转的性质可知：，，
∴．
故答案为：．
15. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
16. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．
【答案】
【解析】过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，
由勾股定理得，，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.按要求解答下列各题
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
解：（1）
．
（2）∵，
∴，
∴．
18. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
（1）证明：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）解：∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=2．
19. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
解：（1）由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
（2）由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
20. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)

（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
解：（1）如图2，过点C作，垂足为N

由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，

∴，
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
21. 如图，在正五边形中，连结交于点F
（1）求度数．
（2）已知，求的长．
解：（1）∵五边形是正五边形，
，，
∴，
同理可求，
∴．
（2）∵，
∴，
同理可证，
∴四边形是菱形，
，
同理，
∴，
∵，
，
，即，
设，则，
，即，
解得（舍去负值），
的长是．
22. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+4，
又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，
∴对称轴方程为：x=3．
（2）在y=-x2+x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-x2+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得，
∴直线BC的解析式为：y=−x+4．
∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q（3，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（3，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
24. 如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC=2∠ABE．
（1）求证：AB=AC；
（2）当是等腰三角形时，求∠BCE的大小．
（3）当AE=4，CE=6时，求边BC的长．
（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴90°
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：由题意可知：，分情况：
①
那么，
∴
∴
∴
②
那么
∴
∴
∴
③，此时E，A重合，舍去
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
∵OA=OB，
∴∠ABE=∠OAB，
∵∠BAC=2∠ABE．
∴∠BAF=∠CAF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵BD是⊙O的直径
∴
∴AF//CD
∴
∴，，，BE=，
∵∠AEB=∠DEC，∠ABE=∠DCE，
∴～
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
在直角中，
∵
∴.