2024~2025学年浙江省名校发展共同体九年级上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年浙江省名校发展共同体九年级上学期期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
卷I
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不给分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项错误；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，此选项正确；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项错误；
故选：C．
2. 下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（ ）
A. 旭日东升B. 水中捞月
C. 老马识途D. 十拿九稳
【答案】B
【解析】A、旭日东升是必然事件，不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，符合题意；
C、老马识途是随机事件，不符合题意；
D、十拿九稳是随机事件，不符合题意；
故选：B ．
3. 如图，是的直径，是上一点，连结，．若，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在中，为所对的圆周角，为所对的圆心角，
∴，
故选：C．
4. 二次函数的图象经过点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
故选：A．
5. 如图，在矩形中，，，若以点为圆心，4为半径作，则下列各点在外的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】D
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∵以点为圆心，4为半径作，如图所示，连接BD，
∴，
∴点在外，
故选：D ．
6. 正方形的面积与周长之间的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵正方形的周长为，
∴正方形的边长为cm，
∴正方形的面积．
故选：A．
7. 如图，是半圆的直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是半圆的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵点在圆上，
∴四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选：B ．
8. 已知二次函数（，，为常数，且）的与的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与轴交于负半轴
C. 当时，
D. 方程的正根在0与1之间
【答案】D
【解析】当时，，当x=0时，，
∴二次函数对称轴直线为，
∴从-2到逐渐增大，从到逐渐增大，从到逐渐增大，从到-2逐渐减小，
∴抛物线开口向下，故A选项错误，不符合题意；
当x=0时，，
∴抛物线与轴交于正半轴，故B选项错误，不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴直线为x=-1，
∴的函数值与x=1的函数值相等，
又∵x=1时，，
∴当时，，故C选项错误，不符合题意；
当x=0时，，当x=1时，，
∴二次函数图象与轴的交点在0与1之间，
∵的函数值与x=1的函数值相等，
∴二次函数图象与轴的另一个交点在-2与之间，
∴方程的正根在0与1之间，故D选项正确，符合题意；
故选：D ．
9. 如图，八边形是正八边形，且．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，过点作，
∵八边形是正八边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
10. 已知二次函数（，是实数，且），设该函数的最大值为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】二次函数（，是实数，且），
整理得，，
∵，
∴二次函数有最大值，最大值为，
∵设该函数最大值为，
∴，
∵，
∴，
∴当时，则，
∴，
∴，
∴，则，
∴，故A，B选项错误，不符合题意；
当，时，则，
∴，
∴，
∴，则，
∴，故C选项错误，D选项正确；
故选：D ．
卷II
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 若，则=_____．
【答案】
【解析】∵，∴，∴．
12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．梅好同学购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“立夏”“立秋”“立冬”各一张，每张邮票的形状大小都相同，将他们背面朝上放置，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”的概率是_____．
【答案】
【解析】根据题意，共有4种结果，从中抽到“立春”的有一种，
∴随机抽取一张恰好抽到“立春”的概率是 ．
13. 如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两竖格线间的距离相等．不同竖格线上的三点，，在同一直线上，若线段，则线段的长为_____．
【答案】
【解析】∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两竖格线间的距离相等，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图2，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部的宽度为米，高度为米，，长米，则离地面的垂直高度为_______米．
【答案】
【解析】如图，以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
∵的宽度为米，高度为米，
∴，，E0,200，
设抛物线的解析式为，
将E0,200代入，得，解得：，
所以抛物线的解析式为，
∵，长米，
∴将代入，
得：，
即离地面的垂直高度为米，
故答案为：．
15. 如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是_____．
【答案】
【解析】根据作图可得，
∴，
如图所示，连接，
设的半径为，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∵以为圆心，长为半径作弧交于点，
∴，
∵AB为的直径，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴的半径长是，
故答案为： ．
16. 在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．若，矩形与矩形的面积比为，则_______．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵，，且这四个三角形均为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∵矩形与矩形的面积比为，
∴，
化简得：，则（负值舍），
即．
三、解答题（本大题有8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知抛物线（，为常数，且）的图象如图所示．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当时，直接写出的取值范围．
解：（1）根据图示可得，二次函数图象经过，
∴，解得，，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）根据图示可得，当时，的取值范围为或x>1．
18. 如图，已知是的外接圆，，是的中点．
（1）请只用无刻度的直尺，在上找一点，连结，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
解：（1）如图所示，连接BD交于点，点即为所求点的位置，
∵是的中点，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
（2）由（1）可得，，，
∴，，∴，
设，则，
∴，整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴CE的长为．
19. “立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．
（1）求该运动员腾空路线的解析式；
（2）求该运动员落地时距离起跳点的水平距离．
解：（1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，
∴设该运动员腾空路线解析式为，
当时，，代入得，
解得，
∴函数关系式为；
（2）令，
即，
解得，，
∴该运动员落地时距离起跳点的水平距离为．
20. 小明为帮助自己记忆古诗，将5句重点古诗分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，，三张卡片，乙口袋中装有，两张卡片．
（1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到思乡的古诗的概率是__________．
（2）从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，求抽取的两张卡片至少有一张是励志古诗的概率．
解：（1）乙口袋中装有，两张卡片，其中思乡的古诗为，
∴抽到思乡的古诗的概率是12，
故答案为：12；
（2）列表或画树状图把所有等可能结果表示如下，
共有6种等可能结果，其中至少有一张是励志古诗的是，共4种，
∴至少有一张是励志古诗的概率为．
21. 如图，小区门口道闸的栅栏长度不变，立柱垂直于地面，绕点旋转得到，若，，．
（1）求栅栏最右端离地面的最大高度．
（2）若想使栅栏最右端离地面的高度达到，请你给出一种改造的方案．
解：（1）如图，当碰触地面时，栅栏最右端离地面达到最大高度，
作，，垂足分别为和，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，即，
解得，
，
答：栅栏最右端离地面的最大高度为；
（2）可升高立柱的高度，如图，
作，，垂足分别为和，
设，则，
由（1）得，
∴，即，
解得，
答：可将立柱的高度升高至．
22. 如图，四边形是菱形，经过，两点，且交对角线于点，连结，此时．
（1）求证：．
（2）若，，求点到的距离．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴点到的距离等于点到AB的距离，
如图所示，连接BD，交于点，
∴，，
在中，，
∵，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴点到的距离为．
23. 已知二次函数（a，m为常数，且）的图象经过点，．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若，
①当时，求y的最大值；
②若y的最大值与最小值之和为27，求n的值．
解：（1）∵二次函数（a，m为常数，且）的图象经过点，，
把点代入函数得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
把点代入函数得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为，
（2）∵①，
∴抛物线对称轴为，抛物线开口向下，
∵，当时：
在时函数有最大值，
当时，y有最大值为；
②若y的最大值与最小值之和为27，则
当时
当时，y取最小值12；函数单调递增，y的最大值为，
∴，
即
解得：或（不符合题意，舍去）
当时，
当时，y取最小值12；时，y取最大值为16，
而
这种情况不存在，
当时
∵函数的对称轴为，当时y取最大值16；时，y取最小值为，
∴当时，，
∴，
解得：，（舍去）
∴．
综上所述：或．
24. 【问题提出】
（1）如图1，为的直径，，，，为上的一动点，连结，求的最小值．
【问题探究】
（2）如图2，，，，为内部一点，且满足，求的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，正方形是某社区的一块空地，经测量，．社区管委会计划对该空地及周边区域进行重新规划利用，在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值?若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图所示，连接，交于点，连接，
∴，
在中，，
∴，
∴点在上运动，则有，
∴当点于点重合时，的值最小，
∵，
∴，
∵，即，
∴在中，，
∴，
∴的最小值为；
（2）如图所示，将线段AB绕点顺时针旋转60°得点，连接，得等边，则，
∵为内部一点，且满足，
∴，
∴，，
∴点四点共圆，圆心在等边角平分线的交点处，设圆心为点，
∴点在上运动，且点为内部，
如图所示，连接，，连接交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
∵是等边三角形，且是的内接三角形，
∴平分，则，，
在中，，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，
∵，
∴在和中，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，点在运动过程中，与点重合时，CD值最小，
∴的最小值为；
（3）的长度存在最小值，理由如下，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∴，且，∴，∴，
∴点在射线AD上运动时，点在以AB为直径的圆上运动，设AB的中点为，连接交于点，如图所示，
∴，
在中，，
∴，
根据（1）中的计算可得，当点与点重合时，的值最小，
∴的长度存在最小值，长度的最小值为．…
-2
0
1
…
…
1
2
1
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…