2024~2025学年河南省百师联盟高二上学期12月期中检测数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河南省百师联盟高二上学期12月期中检测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 下列说法中，正确的是， 双曲线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线，设甲乙，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由于，则，解得或，不一定是a=2，
a=2时，两直线一定平行，
故甲是乙的必要不充分条件，
故选：B
2. 直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】点到直线的距离为，
所以圆C的半径为，
则圆C的方程为.
故选：A.
3. 甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，
所以，恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为.
故选：D.
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，若，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
【答案】B
【解析】对于A选项，点关于平面对称的点的坐标是，A错；
对于B选项，若直线的方向向量为，平面的法向量为，
则，所以，B对；
对于C选项，已知为空间中任意一点，、、、四点共面，且、、、中任意三点不共线，
则存在、，使得，
即，
所以，
所以，，
解得，C错；
对于D选项，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，D错.
故选：B.
5. 已知平面、的法向量分别为，，则平面、的夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为平面、的法向量分别为，，
则，
所以，平面、的夹角的大小为.
故选：C.
6. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若弦的长为8，则直线的方程为（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】B
【解析】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意）
设直线l的方程为，联立，
得，所以，
因为，解得，
则直线l的方程为或.
故选：B.
7. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】在、、、、、六个数字中，，
若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，
此时，不同的填数字的方法种数为，
所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.
同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.
因此，满足条件的放法种数为种.
故选：C.
8. 空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为,直线是平面与平面的交线,则直线与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意得,平面的法向量为,平面的法向量为,平面的法向量为.
设直线的方向向量,
,
令,
设直线与平面所成角,,
则,
直线与平面所成角.
故选:B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A. 可以组成个三位数
B. 在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为
C. 在组成的三位数中，比大的个数为
D. 在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为
【答案】ABD
【解析】用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数
对于A选项，可以组成个三位数，A对；
对于B选项，因为，
所以，在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为个，B对；
对于C选项，由题意可知，百位数字为或，
所以，在组成的三位数中，比大的个数为个，C错；
对于D选项，在组成的三位数中，百位上的数字最小，
即从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上，
所以，百位上的数字最小的个数为个，D对.
故选：ABD.
10. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ）
A.
B.
C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为
D.
【答案】BC
【解析】由题意可得，，则，故A错误．
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
则，B正确．
设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线，
联立得，
则，即，C正确．
由，
设：；，，，
联立得，
∴，，
则
，
设，
则，
∴，
又单调递减，则，∴，
故，D错误．
故选：BC
11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
C. 存在点，使得平面
D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧
【答案】ABD
【解析】不妨设正方体的棱长为，
对于A选项，，
三棱锥体积，
点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确；
对于B选项，取、中点，连接、、、，
由且，知是平行四边形，所以，
因为平面，平面，平面，
同理可得平面，
因为，、平面，所以平面平面，
又平面，则平面，而Q在平面上，
且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确；
对于C选项，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
若平面，则，即存在，使得，则，
解得，故不存在点使得平面，故C选项错误；
对于D选项，平面的一个法向量为，，
若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是，
所以，所以，
因为点为正方形内一动点（含边界），
所以点是以为圆心，12为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在平行六面体中，，，，点在上，且，用、、表示，则__________.
【答案】
【解析】如下图所示：
由题意可知，，可得，
所以，，
故答案为：.
13. 已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距__________.
【答案】
【解析】设，，因为在椭圆上，
所以. 两式相减得，
即.
因为点是线段的中点，所以，.
斜率，得，即,解得.
当时，椭圆方程为，可得，所以.
故答案为：.
14. 已知集合，若、、且、、互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是__________.
【答案】
【解析】若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，
则有个；
若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，
则有个；
若和在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，
则有个；
若、和在0,+∞上单调递增，则有个.
综上所述：共有个.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念.
（1）要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？
（2）若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？
（3）若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答）
解：（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念，
小王与工作人员甲､乙都相邻，
∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲），
然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法，
∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种；
（2）由题意，
甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），
①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况,
②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况,
∴有种不同的站法；
（3）由题意，
工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，
∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法,
②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法,
剩下4人全排列,有种站法,
∴共有 种不同的站法
16. 在空间直角坐标系中，点O0,0,0，，，.
（1）证明：，，不共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）由题意得，，.
假设，，共面，则存在a，，使得，
即，即，
所以，此方程组无解，所以假设不成立，故，，不共面
（2）由题意得，，.
设平面的法向量为，则，即
令，则，，故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
17. 如图,在四棱柱中,四边形是正方形，，点为的中点.

（1）用向量表示；
（2）求线段的长及直线与所成角的余弦值.
解：（1）在四棱柱中，
.
（2）由四边形是正方形，，
得，
则
，即线段的长为；
而，
则
，
，
因此，
即直线与所成角的余弦值为，
所以线段的长为，直线与所成角的余弦值为.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
解：（1）取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
（i）故，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，令，则，，，
平面的一个法向量为,

则，令，则，，故，
,，
由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；
（ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则,0,，0,，
由（2）知平面的一个法向量为,,，
，
点到平面的距离是，
，．
19. 设分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程.
（2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心.
（i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
（ii）求点到直线的距离的最大值.
解：（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得，
，由的面积为，得，
因此，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设，由直线垂直于轴，得，
由原点是的重心，得，即，，
又，解得，所以到直线的距离为.
（ii）由（i）知，当直线斜率不存在时，到直线的距离为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，，
由得，且，
即，
，
由原点是的重心，得，
解得，点，
于是，整理得，
因此点到直线的距离为
，
所以当与轴垂直时点到直线的距离最大为.