2024~2025学年河南省南阳市名校联考九年级上学期12月期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河南省南阳市名校联考九年级上学期12月期末数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（ ）
A. 16B. 0
C. 2D. 任意实数
【答案】B
【解析】∵，
而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得．
故选：B．
2. 一元二次方程的解为（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】，
，
，
或，
∴，；
故选：．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件
B. 某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖
C. “明天降雨的概率是”说明明天将有的地区降雨
D. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件
【答案】D
【解析】A、“将油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，则买5张奖券不一定会有一张中奖，故本选项说法错误，不符合题意；
C、“明天降雨的概率是”说明明天降雨的可能性大，但不一定明天将有的地区降雨，故本选项说法错误，不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确是（ ）
A. sinA＝B. tanA＝
C. csA＝D. tanB＝
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝，故选项B错误；
csA＝45，故选项C正确；
tanB＝43，故选项D错误．
故选：C．
5. 电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，得：在中，，，
则：；
故选B．
6. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设根据题意得：．
故选：C．
7. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，
∴铅直高度为米，
由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为，
故选：．
8. 把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的函数表达式为．
故选：A．
9. 如图所示，在中，点D．E分别是的中点，则下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】∵点D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，∴①正确；
∴，∴②正确；
，∴③错误；
正确的有2个，
故选：B．
10. 如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s),△BPQ的面积为ycm2,y与x的对应关系图象如图②所示，则矩形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图象可知，时，P、E重合，
根据题意，得，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由图象可知，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】5
【解析】，
故答案为：5．
12. 写出一个关于的一元二次方程，使其一次项系数为，你写出的一元二次方程是：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
13. 一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________．
【答案】
【解析】画树状图为
由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种，
∴两次摸出的球都是“红球”的概率为．
14. 如图，在中，，，，那么___________．
【答案】8
【解析】在中，，
∴，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________．

【答案】或
【解析】当绕点A顺时针旋转后，如图，

∵，
∴，
∵菱形中，，
∴，
延长交x轴于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F，

∵，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
三、解答题（共75分）
16. （1）求值：；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
解：（1）．
（2）
．
当时，原式．
17. 用适当的方法解下列方程:
（1）；
（2）；
解：（1），，
或，，；
（2），
，，
，，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴 ，的顶点均在格点上．
（1）作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和；
（2）分别写出、、点的坐标为：______，______、______；
（3）可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
解：（1）如图，，，为所求作的三角形；
（2）根据图形可知，、、点的坐标分别为：；；；
故答案为：；；．
（3）可以看作是绕点顺时针旋转得到；可以看作是向右平移8个单位得到．
故答案为：；8．
19. 如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
解：（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
（2）过点A作于点F，如图所示．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
20. 为落实“双减”政策，丰富课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供选择：（合唱社团）、（硬笔书法社团）、（街舞社团）、（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表或画树状图法，求他俩选到相同社团的概率；
（2）学校计划从这四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图法求出学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的概率．
解：（1）小宇和小江选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），列树状图如下：

可能的结果共有种，他俩选到相同社团的情况共有种，
∴他俩选到相同社团概率为；
（2）列树状图如下：

可能的结果共有种，学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的情况共有种，
∴学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的概率为．
21. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到的距离．
（2）求古塔的高度（结果保留根）．
解：（1）过点作，垂足为点，
∵斜坡的斜面坡度，∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，
∴．
（2）过点作，垂足为点．
由题意得，，
∵ ，
∴四边形为矩形，
∴，，
由（1）知：，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴．
答：古塔的高度．
22. 如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且．
（1）求抛物线的解析式和b值；
（2）在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．
解：（1）∵抛物线与y轴交点为，
∴，，
∴，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
将代入得，
解得；
（2）存在；
令，
解得，，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴，
当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1，
把代入得，
∴此时，
当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点，
∴点E的横坐标为，
∴点P的横坐标为，
把代入得，
∴此时，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或；
（3）将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为，
当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得，
解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，可得，
即只有一个实数解，
∴，
解得；
∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为．
23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
（2）探究迁移
如图3，在（1）条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
（3）拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．