2023~2024学年河北省保定市高一上学期期末调研数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年河北省保定市高一上学期期末调研数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“”的否定是“”.
故选：C.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由不等式，即，解得，
所以，
因，可得.
故选：A.
3. “”是“函数的图象关于原点中心对称”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，则其图象关于原点对称，故充分性成立，
当函数的图象关于原点中心对称时，
则，不一定成立，则必要性不成立，
则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件.
故选：B.
4. 已知是角终边上一点，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是角终边上一点，所以，
所以.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以.
因为，所以.
故选：D.
6. 若为第二象限角，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】因为为第二象限角，则，
，
故选：B.
7. 有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是；
若选择作为与的函数模型，将代入，得，
解得，则，显然当时，；当时，；
当时，，
与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是；
模型在处无意义，模型不符合，C不是；
散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是.
故选：B.
8. 对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，即，解得，即的零点为，
再令，即，解得或，即的零点为和，
因为与互为“零点相邻函数”，所以或，
则或，解得或，所以实数的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对于选项A，因为，所以，故选项A正确；
对于选项B，因为，所以，所以，故选项B正确；
对于选项C，取时，满足，
此时，，，故选项C错误；
对于选项D，当时，，，此时，
故选项D错误.
故选：AB.
10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 的值域为
C. 若函数在上单调递减，则的取值范围为
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】当时，的值域为，当时，的值域不为，
A正确，B错误；
若函数在上单调递减，则取值范围为，C正确；
若在上单调递减，则的取值范围为D错误.
故选：AC.
11. 已知函数且，下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 的图象与直线一定没有交点
C. 若的图象与直线有2个交点，则的取值范围是
D. 若的图象与直线交于两点，则线段长度的取值范围是
【答案】ABC
【解析】，所以是偶函数，正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时的图象与直线没有交点.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，此时的图象与直线没有交点，
故的图象与直线一定没有交点，B正确；
令，则，即.若的图象与直线有2个交点，
则1，解得.又因为且，所以的取值范围是，C正确；
由，解得，所以，错误.
故选：ABC.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 图象关于点对称
C.
D.
【答案】ACD
【解析】，
，
所以的图象关于直线对称，A正确；
因为，所以的图象不关于点对称，B错误；
当时，
，
所以正确；
由，解得，所以的定义域为.
当时，，
令，则，
所以函数，
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增.
又因为函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以在上单调递减，所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以，正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知幂函数的图象过点，则__________.
【答案】4
【解析】设，因为，所以，
则.
14. 已知函数的部分图象如图所示，则__________.
【答案】
【解析】由图可得，，则.因为，所以.
又，所以，解得.
又，所以.
15. 已知且，当时，，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】当时，.
当时，成立.
当时，若成立，是减函数，是增函数，则，
解得，所以.
综上，的取值范围为.
16. 已知均为正实数，若，则最小值为__________.
【答案】8
【解析】由a，b，c均为正实数，
，
当且仅当，即时，等号成立.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）.
（2）
.
18. 已知奇函数满足当时，.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
解：（1）当时，.
因为是奇函数，所以，
所以
（2）易得函数在上单调递增，
因为是奇函数，所以在上单调递增.
因为，所以，解得，
所以不等式的解集为.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，若在上有两个零点，求的取值范围.
解：（1），
所以的最小正周期为.
（2）将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
且，
若在上有两个零点，
则关于的方程在上有两个不相等的实数根，
即与的图象有两个交点，
所以的取值范围为.
20. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的单调性，并说明理由；
（3）若关于的方程有解，求的取值范围.
解：（1）由解得，所以的定义域为.
（2）.
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递减.
（3）关于的方程有解，即有解，且，
则在上有解，.
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
故的取值范围是.
21. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为.
（1）求的值；
（2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？
解：（1）由图可知，的最大值为的最小值为，
则，.
因为筒车按逆时针每分钟转2圈，所以，
所以.
当时，，所以，则，
因为，所以.
（2）由（1）得，
令，则，得，
则，
解得，
5分钟秒，则令，得，
故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒.
22. 已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
解：（1）令，因为函数在上是增函数，所以.
令，则.
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
因为当时，，当时，，所以.
故.
令，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为0.
故在上的最小值为0.
（2）结合（1）可知，当时，.
令，
则.
令函数.
原问题转化为对于任意的实数，总存在，使得成立.
只需要求出即可，先求.
因为在上单调递增，所以.
由，得.
当时，；当时，.
可看成关于的函数
在上单调递减，在上单调递增，，
即，所以.故的取值范围是.0
4
9
16
36
3
7
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