2023~2024学年江西省九年级上学期期末综合测评联考数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年江西省九年级上学期期末综合测评联考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1. 关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】关于的函数是二次函数的条件是，即，
故选：D．
2. 在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的
C. 保持不变D. 扩大为原来的4倍
【答案】C
【解析】∵某个角的余弦值只与该角的大小有关，
∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变
故选：C ．
3. 如图，箭头方向为主视方向，则该几何体的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从左面看，可得到A选项的图形（其中看不见的棱画成虚线）．
故选：A．
4. 如图，E是菱形边上一点，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5. 如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作于点，作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴ ，
∴点到的距离等于，
故选：．
6. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④．其中正确的有（ ）
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】B
【解析】∵二次函数的对称轴为直线，∴，
∴，即，结论②正确；
∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，
∴，
∴，
∴，结论①错误；
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
∴对于任意实数都有，
∴，结论③正确；
由函数图象可知，当时，，
由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，
∴当时，，即，结论④错误；
综上，正确的有②③，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知为锐角，且，则______°．
【答案】60
【解析】 ∵，．
8. 将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为__________
【答案】
【解析】根据题意，得所得抛物线解析式为，
故答案为：．
9. 如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________．
【答案】6
【解析】∵与是位似图形，相似比为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：6．
10. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
【答案】0
【解析】m，n是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故答案为：0．
11. 2023年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售，设销售单价为元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为________．
【答案】
【解析】设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，
根据题意得，
则，
故答案为：．
12. 如图，在纸片中，，，．是AB边上一点，连接，沿把纸片裁开，若是等腰三角形，则的长为______．

【答案】或或
【解析】∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图①，当时，为等腰三角形，
∴；

如图②，当时，为等腰三角形，
过点作于，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

如图③，当时，为等腰三角形，
过点作于，则，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；

综上，当是等腰三角形，的长为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （）计算：．
（）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
解：（）原式
；
（）∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得或，
又∵，
∴．
14. 已知点在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）直接写出抛物线与y轴的交点坐标．
解：（1）将代入得：，
解得：，
∴
（2）令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
15. 为培养学生的阅读兴趣，某校开展读书月活动，学生们在读书月活动中可以分享自己最喜欢读的书．晓涵平时最喜欢读的四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁是怎样炼成的》，假设晓涵分享每本书的可能性相同．
（1）若选择其中一本书进行分享，则晓涵分享《水浒传》的概率为________．
（2）若选择其中两本书进行分享，求晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率．
解：（1）由题意可知，选择其中一本书进行分享共有4种等可能的结果，
所以晓涵分享《水浒传》的概率为，
故答案为：．
（2）将四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁是怎样炼成的》分别记为，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，选择其中两本书进行分享的所有等可能的结果共有12种，其中，晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的结果有2种，
所以晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率为，
答：晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率为．
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B点A在点B的左侧），与y轴交于点D，已知点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．

（1）在图1中作以为斜边等腰直角三角形．
（2）如图2，，E是抛物线上的一点，作以对角线的正方形．
解：（1）如图1，即为所求作：

（2）如图2，正方形即为所求作：

理由：同（1）方法作的垂直平分线，交于点H，交抛物线于M，延长交于F，连接、、、，
由题意，，，则，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，，
∴四边形是正方形，
即正方形即为所求作．
17. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
（1）求的长．
（2）求的正弦值．
解：（1）∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
所以的长为5．
（2）∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
所以的正弦值为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，一次函数的图象与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．
（1）求点B的坐标．
（2）当的面积为9时，求一次函数的解析式．
解：（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，∴；
（2）设点，连接，
∵的面积为9，∴，解得：，∴，
将点，代入一次函数得，，解得：，
∴．
19. 如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，．
（1）求椅子的展角的度数．
（2）求点P到地面的距离．（精确到）
（参考数据：，，）
解：（1）如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：椅子的展角的度数约为．
（2）如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：点到地面的距离约为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式．
（2）P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）将点，代入得：，
解得，
则二次函数的表达式为．
（2）当时，，则C0,-3，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将点，C0,-3代入得：，解得，
则直线的解析式为，
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则和的边上的高之和等于，
设点的坐标为，则，
所以，
则的面积，
由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
此时，
所以的最大值为，此时的坐标为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式．
（2）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式．
（3）若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面．
解：（1）由题意可得，水漂第一次飞越时，该抛物线的顶点坐标为，
∴设该抛物线的函数表达式为，把点O0,0代入得，
，解得，
∴第一次飞越时抛物线的函数表达式为；
（2）∵水漂第二次飞越时最大高度减少到原来最大高度的一半，
∴水漂第二次飞越时抛物线的顶点的纵坐标为，
又∵第二次飞越时抛物线与原来的抛物线形状相同，
∴可设第二次飞越时抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得（不合，舍去），，
∴第二次飞越时抛物线的函数表达式为；
（3）把代入得，
，
∴水漂不能飞过米宽的河面．
22. 课本再现
证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．
结论证明
（1）为了证明该命题，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，，．
求证：．
证明：如图1，延长到点D，使得，连接．
……
知识应用
（2）如图2，四边形是一张矩形纸片，将纸片折叠得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：．
拓展提升
（3）如图3，在矩形中，，，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），E在边上，且，将沿折叠，点A落在点；将沿折叠，点B落在点处，且P，，三点在同一条直线上，A，，C三点在同一条直线上，与的交点为F．请直接写出的长．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，
由翻折得,
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，
由题意得，
∵，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
设，则，
∴，
解得：或（舍），
当，此时如图：点三点不共线，故舍，
当时，
中，由勾股定理得，
由翻折得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点和点．
（1）求点的坐标及抛物线的函数表达式．
（2）如图，平移线段，点的对应点落在第一象限的抛物线上，点的对应点落在直线AB上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标．
（3）如图，在（）的条件下，连接CD，为直线CD下方抛物线上一个动点，过点作轴，交CD于点，连接，是否存在点，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把x=0代入得，，∴A0,3，
把代入得，，∴，∴，
把、代入得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由平移可得，，，
∴四边形是平行四边形，
设，则由平移的性质可得，
∵点落在直线AB上，
∴，
解得或，
∵点在第一象限，
∴，
∴；
（3）存在．
①当时，为直角三角形，
∵，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴点的纵坐标等于点的纵坐标，
∴点的纵坐标等于，
把代入得，，
解得（不合，舍去），，
∴；
当时，为直角三角形，
过点作轴于，
设直线CD与轴的交点为点，则，
设直线CD的解析式为，把C0,-3、代入得，
，解得，
∴直线CD的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵C0,-3，
∴，
设点的坐标为，则，，
∴，
∴，
整理得，，
解得（不合，舍去），，
∴，此时点与点重合；
综上，存在点的坐标为或时，以为顶点的三角形为直角三角形．