2023~2024学年河北省衡水市某校九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年河北省衡水市某校九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，过原点，，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题只有一个答案正确．1—10小题每题3分，11—16小题每题2分，共42分）
1. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为，
故选：D．
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 直径是圆中最长的弦B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 面积相等的两个圆是等圆D. 半径相等的两个半圆是等弧
【答案】B
【解析】A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确，不符合题意．
故选：B．
3. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：
请根据上表，判断下列说法正确的是（ ）
A. 平均数是3.8B. 样本为20名学生
C. 中位数是3D. 众数是6
【答案】A
【解析】A．平均数（个），此选项说法正确，符合题意；
B．样本为20名学生的编织数量，此选项说法错误，不符合题意；
C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4，
∴中位数为，此选项说法错误，不符合题意；
D．众数是3，此选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴与的相似比为，
∴与的面积比为，
故选：B．
5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】点在反比例函数的图象上，
故选∶B．
6. 一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】综合俯视图和主视图，可得下图：
∴这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列两层都是2个小正方体时，组成这个几何体的小正方块最多，
所以组成这个几何体的小正方块最多有块．
故选：B．
7. 如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（ ）
A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】①当时，，，
②当时，，，
③当时，，，
④当时，，，
综上：一共有4个，
故选：D．
8. 如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为，连接、，
则，，
因而，
在大量角器中弧所对的圆心角是，
因而在大量角器上对应的度数为.
故选：A.
9. 若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A. ±B. 4
C. ±或4D. 4或－
【答案】D
【解析】把y=8代入第二个方程，解得x=4大于2，所以符合题意；
把y=8代入第一个方程，解得： x=，
又由于x小于等于2，所以x=舍去，
所以选D
10. 如图，一块材料的形状是等腰，底边，高．若把这块材料加工成正方体零件（阴影部分为正方体展开图），则正方体的边长为（ ）
A. 20B. 24C. 28D. 32
【答案】B
【解析】设正方形边长为，
为的高，，
，，
，
，，，
，
故选：B．
11. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵二次函数的图象开口向下，∴，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且过原点，
∴，，
∴反比例函数的图象必在一、三象限，
一次函数的图象必经二、四象限，过原点，
故选项A，C，D不符合题意，B符合题意．
故选：B．
12. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选B．
13. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1.
下列判断正确的是（ ）
A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错
C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对
【答案】C
【解析】当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
14. 如图，矩形的一个顶点是原点，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，且，则的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵顶点C在反比例函数y=，的图象上，反比例函数过点A，，
,
∵矩形OABC中，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠COD，
∵∠OEA=∠CDO=90°，
∴△COD∽△OAE，
∴,
∵OA=2OC，
∴
∴|k|=，
∵k0，
∴k=-4，
故选：D．
15. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：①；②关于x的方程的解是，； ③当时，； ④当时，；⑤周长的最小值是．⑥若二次函数的图象上有两个点，，则正确的有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】由图象可知：开口向下，交y轴于正半轴，即，
抛物线的对称轴为直线，而抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，且，
，即，故①正确；
∴关于的方程的解是，，所以②正确；
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，所以③正确；
当时，，所以④错误；
作原点关于直线的对称点，如图，则，
连接交直线于点，
，
，
此时的值最小，
此时周长有最小值，
，
∴周长的最小值为，所以⑤正确；
∵若二次函数的图象上有两个点，，且对称轴为直线，
∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大，可知：，故⑥错误．
故选：B．
16. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A. 4，-1B. ，-1
C. 4，0D. ，-1
【答案】D
【解析】由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
二、填空题∶（共10分）
17. 如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为__．（结果保留）
【答案】
【解析】连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD=60°，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，
∴∠BCF=48°，
∴的长=．
故答案为．
18. 如图，点A在反比例函数的图象上，与y轴相切于点B，交x轴于点C，D．若点B的坐标为，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】如图所示，连接，，，作于点E，

点B的坐标为，
，
与y轴相切于点B，
轴，
，
四边形是矩形，
，，
点A在反比例函数的图象上，
，即，
解得，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
19. 如图已知，，…是轴上的点，且，分别过点，，…，作轴的垂线交二次函数（）的图象于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，…依次进行下去，则________，最后记（）的面积为，则________．
【答案】
【解析】当x=1时，y== ，则P1（1， ），所以；
当x=2时，y==2，则 ，所以；
当x=3时，y== 则 ，所以；
同样方法可得 ，
所以．
三、解答题：（共68分）
20. 对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：，
（1） ．
（2）解方程．
（3）判断点在不在函数的图象上．说明理由．
解：（1）由题意得：
，
故答案为：；
（2）∵，
∴由题意得：，
∴
，
∴；
（3），
则由题意得：，
∴函数解析式为：
把代入得，
∴点不在函数的图象上．
21. 某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
（1）表中 ， ；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）甲的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手中有男生一名，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
解：（1），.
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在分数段，
测甲的比赛成绩落在分数段内，
故答案为：；
（4）由题意可知，成绩在94.5分以上的选手有人，其中有男生一名，女生三名，
随机确定2名选手的所有的可能情况如下表：
共有12种等可能的结果，其中一男一女占6种，
．
22. 如图，嘉琪要利用无人机测量他家所住楼房的高度．在楼前的地平面上选定点O，．嘉琪遥控无人机停留在点O正上方的A处时（），测得楼房顶端C点处的俯角为．以点O为原点，所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求楼房的高度；
（2）求所在直线的解析式；
（3）若无人机从A处沿x轴的正方向以的速度水平飞行．为保证无人机始终能观察到地面上的O处，最多能飞行多长时间？
解：（1）如图，过点C作轴于点E，得矩形，
∴，，
由题意可知：，，
∴，，
∴，
∴楼房高度为24m．
（2）由（1）知，点，
设所在直线的解析式为，
把点C的坐标代入得，解得，
∴所在直线的解析式为．
（3）设交的延长线于点F，当无人机飞到点F之后，无法看到点O，
令，解得，∴，．
答：最多飞行18s．
23. 如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，．
（1）求证：；
（2）请判断线段和的关系，并说明理由；
（3）当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长；
（1）证明：设直线交于点M，直线交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：在中，则
由（1）知，，
∴，
则；
①当B、E、D三点共线时，如图，
过点A作于点H，
在中，，则，
在中，，
则，
则；
②当B、D、E共线时，如图，
过点A作交于点H，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，
则，
则，
∵，
即；
综上，或；
24. 某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且广场四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于12m，不大于24m．设绿化区较长边为xm，活动区的面积为．
（1）直接写出：①每一个出口的宽度为______m，绿化区较短边长为______m（用含x的式子表示）；
②y与x的函数关系式是______，x的取值范围是______；
（2）当出口的宽为多少时，活动区所占面积最大？最大面积是多少？
（3）预计活动区造价为50元．若该社区用于建造活动区的经费不超过60000元，当x为整数时，共有几种建造方案？
解：（1）①出口的宽度为：，绿化区较短边长为；
②根据题意得，，，
即与的函数关系式及的取值范围为：；
故答案为：①，；②，；
（2），
，抛物线的开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，
当时，路口宽m，，
答：路口宽m，活动区所占面积最大，最大面积是；
（3）设费用为，
由题意得，，
当时，解得：，，
，
当或时，，
，
，且为整数，
共有10种建造方案．
25. 在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以EF为直径的半圆M如图所示位置摆放，点E与点A重合，点F与点B重合，点F从点B出发，沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动，点E随之沿AB下滑，并带动半圆M在平面滑动，设运动时间t（t≥0），当E运动到B点时停止运动．
发现：M到AD的最小距离为 ，M到AD的最大距离为 ．
思考：①在运动过程中，当半圆M与矩形ABCD的边相切时，求t的值；
②求从t=0到t=4这一时间段M运动路线长；
探究：当M落在矩形ABCD的对角线BD上时，求S△EBF．
解：发现：当点A与点E、点B与点F重合时，点M与AD的距离最小，最小距离为4；
当点E与点B重合时，点M到AD的距离最大，最大距离为8；
故答案为4、8；
思考：①由于四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴当t=0时，半圆M既与AD相切、又与BC相切；
如图1，当半圆M与CD相切时，设切点为N，
∴∠MNC=90°，
延长NM交AB于点Q，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCNQ是矩形，
∴QN=BC=6，QM=QN﹣MN=2，
∵M是EF的中点，且QM∥BF，
∴ ，
∴t=BF=2QM=4；
当t=8时，∵∠ABM=90°，
∴半圆M与AB相切；
综上，当t=0或t=4或t=8时，半圆M与矩形ABCD的边相切；
②如图2，t=0到t=4这一段时间点M运动的路线长为 ，
t=4时，BF=4，
由于在Rt△EBF中，EM=MF=4，
∴BM=MF=4，
∴BM=MF=BF=4，
∴△BMF是等边三角形，
∴∠MBF=60°，
∴∠MBM′=30°，
则=；
探究：如图3，
∵AB=8、AD=6，∴BD=10，
当点M落在BD上时，
∵四边形BCDA是矩形，∴OB=OA，∴∠OAB=∠OBA，
∵BM是Rt△EBF斜边EF的中线，∴BM=EM，
∴∠MBE=∠BEM，∴∠OAB=∠BEM，
∴EF∥AC，∴ ，
∵S△ABC=24，∴S△EBF=．
26. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线与y轴交于点C．
（1）如图，当时，点P是抛物线段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点，当点C在线段上时，直接写出m取值范围；
解：（1）直线与轴，轴分别交于，两点，
，；
，抛物线的顶点为，
令，则，，
①当时，，，
∴，，，，
②当时，直线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
如图，过点作轴交直线于点，
设点的横坐标为，，，
，
∴的面积为：，
，当时，的面积的最大值为3，此时；
（2）由（1）可知，，，
轴上有一点，点在线段上，
需要分两种情况：
当时，可得，
当时，可得，
的取值范围为：或．编织数量/个
2
3
4
5
6
人数/人
3
6
5
4
2
分数段
频数
频率
2
0.05
m
0.2
12
0.3
14
n
4
0.1
男1
女1
女2
女3
男1
（女1，男1）
（女2，男1）
（女3，男1）
女1
（男1，女1）
（女2，女1）
（女3，女1）
女2
（男1，女2）
（女1，女2）
（女3，女2）
女3
（男1，女3）
（女1，女3）
（女2，女3）