2025届河南省高三上学期11月全国百万大联考数学试卷（解析版）

这是一份2025届河南省高三上学期11月全国百万大联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数､平面向量､复数､数列､立体几何.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】，
所以在复平面内，对应的点位于第三象限.
故选：C
2. 已知命题：，，命题q：，，则（ ）
A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】因对于命题：，，若取，则，故命题是假命题；
对于命题q：，，因函数在区间上为增函数，且值域为,
故必有解，即命题为真命题.
故A项错误；B项正确；C项错误；D项错误.
故选：B.
3. 若，则=（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】由，得，所以.
故选：B
4. 已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，不等式化为：，
而函数是R上的减函数，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C
5. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数，
求导得，
由是的极小值点，得，解得或，
当时，，
当时，；当时，，
则是的极大值点，不符合题意；
当时，，
当时，；当时，，
则是的极小值点，符合题意，，
又当时，，
所以函数在处取得极大值.
故选：D
6. 设是等差数列的前n项和，若，，则=（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】在等差数列中，由及，
得，则，
所以.
故选：A
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】因，
故，即；
又，
故，即.
故有即.
故选：A.
8. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为
得，即
所以点在的角平分线上，设的中点为

因为，所以点在线段上，
不妨设，
所以
易知
所以
因为
所以
因为
所以
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】函数中，，则，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确.
故选：BCD
10. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
C.
D.
【答案】BCD
【解析】依题意，函数，
由的最小正周期为，得，解得，
对于A，，A错误；
对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得，
则，B正确；
对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称，
依题意，，解得，C正确；
对于D，由，得，解得，
由选项C知，，
因此，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A. 图象关于点对称
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】①，
②，
由②可得：③，
①③联立可得：④，
所以的图象关于点对称，A错；
由④，又为偶函数，所以，
所以，两式相减可得：，
又，，结合
所以，B对，
，由，可知：，
所以，所以，C错；
由，可得，结合，
得：，
所以，
又，所以
即，，，
所以，
所以，D正确.
故选：BD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】不等式，解得，
依题意，，则，此时，
所以m的取值范围是.
故答案为：
13. 如图，在中，，，、是边上的两点，且，则______．
【答案】
【解析】因为，，则，
不妨设，则，
因为，则，
所以，，同理可得，
因为，则，
故，
由二倍角的余弦公式可得，可得，
所以，.
故答案为：.
14. 在正方体中，，为棱AB的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为______．
【答案】
【解析】如图1，光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，
则其路径必在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，如图所示.
在矩形中，，过点作于点，
由反射的性质，可得，且，
易得，则得，因，则，
故，，
于是，
所以该光线经过的路径长为：
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
解：（1）因为，设，则，，
由余弦定理可得，
因为，故.
（2）设的外接圆半径为，由正弦定理可得，
所以，，，，
所以，
，
所以，，，
由三角形的面积公式可得.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是，递减区间是.
17. 在四棱锥中，已知平面，，，，是线段上的点，.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：连接交于点，连接，如下图所示：

因为，则，，所以，，
所以，，
又因为，所以，，
因为平面，平面，故平面.
（2）解：因为平面，，且，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
因为，则，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，
则，
取，则，
，
所以，，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列，
（1）证明：数列是等比数列．
（2）求和的通项公式．
（3）在与之间从第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和．
（1）证明：数列中，，
则，而，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为.
（2）解：由（1）知，，，
所以数列的通项公式为；
设等差数列的公差为，
由成等比数列，得，
即，则有，
又，即，于是，
所以数列的通项公式为.
（3）解：依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项，
因此数列中，前共有项，当时，，
当时，，因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项，
所以
.
19. 若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”．
（1）已知函数在上是一个“函数”，求a的取值范围．
（2）（i）已知当时，，证明：函数在上是一个“函数”．
（ii）设，证明：.
（1）解：因为函数在上一个“函数”，
所以对任意，恒成立，即.
令，
则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以当，，
又，则.
要使恒成立，则，解得.
故的取值范围为.
（2）证明：（i）要证明函数在上是一个“函数”，
只需证当时，，下面证明：
当时，，
由图象的对称性可知，当时，.
令，
则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，即，.
令，
则，
同理可得在上单调递增，在上单调递减.
则，即，.
综上所述，.
所以，函数在上是一个“函数”.
（ii）当时，，
由（i）可得，,且.
所以，即当时，.
令，则，
则有，
所以
.
故，得证.