2024~2025学年河北省邢台市部分学校高二上学期第三次月考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河北省邢台市部分学校高二上学期第三次月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章第二节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列满足，，则（ ）
A. 10B. 13C. 37D. 118
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
所以.
故选：.
2. 直线与直线平行，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由两直线平行可知，
即，
此时两直线方程分别为，，
满足两直线平行，综上所述，
故选：A.
3. 抛物线上一点与焦点的距离为7，则点的坐标可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为抛物线的标准方程为，则，
所以，解得，
故，解得或，
故点的坐标为或.
故选：B.
4. 在三棱台中，，为线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：.
5. 在平面直角坐标系内，原点到直线的距离为，且点到直线的距离为，则满足条件的直线共有（ ）
A. 条B. 条C. 条D. 条
【答案】D
【解析】与原点距离为的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆，即；
与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，
即；
因为圆心距，
所以圆与圆外离，这两圆共有条公切线，
所以适合条件的直线共有条，
故选：D.
6. 已知点，，，，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易得，，，，
则，
所以的面积，
设平面的法向量为，则，
可取，
所以点到平面的距离，
则三棱锥的体积是.故选：.
7. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为边作等边三角形,的两边,分别交该椭圆于两点.若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，则，
得
，
由，得，
故该椭圆的离心率为.
故选：D.
8. 已知点，直线与直线交于点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，当时，直线与互相垂直，
当时，，直线与互相垂直，
且直线经过定点，直线经过定点，所以.
设，则，即，
则点在以点为圆心，5为半径的圆（挖去与）上，
所以的最大值为，
最小值为.
故的取值范围是，
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线经过点，，则下列命题是真命题的是（ ）
A. 是直线的一个方向向量
B. 若平面的一个法向量是，则
C. 若平面的一个法向量是，且，则
D. 若为坐标原点，且，则，，，四点共面
【答案】ACD
【解析】A选项：因为，所以A选项正确；
B选项：因为，所以，则或，B选项错误；
C选项：因为，所以，即，
又，所以，C选项正确；
若为坐标原点，则，，因为，
所以，
即，
则，，，四点共面，D选项正确；
故选：ACD.
10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，点（，）是双曲线上的点，直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A. 双曲线的实轴长为16
B. 当时，
C. 的最小值为3
D. 当取最小值时，的面积为16
【答案】BCD
【解析】由双曲线方程知，.
对于选项A，易得双曲线实轴长为，故A错误；
对于选项B，.由题意知，，
又由，得，
所以，
当时，，又因为，所以，故B正确；
对于选项C，D，由图形得，则,
又同号，所以，，
所以，
当且仅当，即，即，时，等号成立，
此时的面积为，故C，D正确.
故选：BCD
11. 已知数列的前项和为，（，且）.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等差数列
B. 数列中的最小项为
C.
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】对A，由，得，
则，即，
即为，且，
又，满足上式，
则，，，，
等式左右分别相乘可得，即，
所以，数列是首项为，公差为的等差中项，A选项正确；
对B，，
又，
当且仅当，即时等号成立，
又，当时，，
当时，，
且当时，单调递增，
所以当时，取最小值为，
即数列的最小项为，B选项错误；
对C，因为an2an+1=12n>1n+1+n=n+1-n，
所以a12a1+1+a22a2+1+⋯+a82a8+1>2-1+⋯+9-8=2，C选项正确；
对D，因为
=14n+34n+12n+1>0，
所以数列，单调递增，
则当时，取得最小值，最小值为，
则，得，D选项正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线的焦点坐标为______，准线方程为______.
【答案】；
【解析】抛物线的标准方程为，
所以其焦点坐标为，准线方程为.
故答案为：；.
13. “物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此即著名的“孙子问题”，最早载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将到这个数中，被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有__________项.
【答案】
【解析】由题意可知，既是的倍数，又是的倍数，
即，所以，
令，即，解得，
因为，所以，
故该数列共有项，
故答案为：.
14. 在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是______.
【答案】
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则A0,0,0，，，，
所以，，，
，，
则.
由已知可得是平面的一个法向量.
，
平方得：，整理得：.
因为，，所以，
当且仅当时，等号成立
令，则不等式可转化为，
解得或（舍去），
则，
故的最大值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
解：（1）设等差数列的公差为，
由是，的等差中项，得，
即，解得，
由，得，解得，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，，
所以.
16. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
解：（1）由直三棱柱性质以及可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
又可得
则,
所以，
可得，即；
所以，又平面，
可得平面
（2）易知，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
即；
由（1）可知为平面的一个法向量，
所以，又，
可得.
所以平面与平面夹角的大小为.
17. 已知圆的圆心在直线上,直线.
（1）求的值；
（2）求圆关于直线对称的圆的标准方程；
（3）过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程.
解：（1）由已知圆，
则圆心，
又圆心在直线上，
即，解得；
（2）由（1）得圆，
即，
即，半径，
设，
则中点为，且，
所以由对称可知，
解得，
即，
所以圆；
（3）根据题意可得直线的斜率存在，
则可设直线的方程为，
即，
则，
解得或，
故直线的方程为或，
即一般式方程为或.
18. 已知椭圆的焦距为4,点在上，直线与交于，两点.
（1）求的方程.
（2）若，求的最大值.
（3）若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解：（1）依题意可得
解得
故的方程为.
（2）依题意可得直线的方程为，设，，
联立可得，
则，，，，
由弦长公式可得，
当时，取得最大值，且最大值为.
（3）根据题意可得直线的方程为，设，
由得，
则，得，，
设直线的方程为，.
由得，
则，
得，，
直线的斜率为，
故直线的斜率是定值，且定值为.
19. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转角，利用公式，可得到点（到原点的距离不变）.现将双曲线绕原点逆时针旋转（到原点的距离不变）得到双曲线.
（1）求双曲线的方程.
（2）若点在直线上，过点作斜率为的直线，与双曲线交于，两点，且为线段的中点，求点的纵坐标.
（3）过双曲线的右焦点作斜率不为0的直线，与双曲线的两支交于，两点.试问是否存在定直线，与轴交于点，与直线交于点，使得恒成立？若存在，求出该定直线；若不存在，请说明理由.
解：（1）设曲线上任意一点绕原点逆时针旋转后的坐标为，
则，
即，
得，
则，
故所求双曲线的方程为；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，
根据题意可得，
两式作差，可得，
因为，，所以，得，
经检验，此时直线与双曲线有两个交点，故点的纵坐标为3；
（3）根据题意易得直线的斜率存在，且不为，
设直线的方程为，其中或，
因为恒成立，所以为的角平分线，
设，，假设存，
由，得，
，，，
因为，所以，
即，，
即，因为，整理可得，即，
所以存在定直线，使得恒成立.