2023~2024学年江西省抚州市高一上学期学生学业质量监测卷月考数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年江西省抚州市高一上学期学生学业质量监测卷月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求．
1. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，因为，
所以A错误；
对于B，因为，所以B错误，
对于C，因为，所以集合不是集合的子集，所以C错误；
对于D，因为，所以，所以D正确.
故选：D.
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，
当时，，但不成立.
故选：B.
3. 设则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
4. 已知函数y=fx的图象为折线，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】因为在函数y=fx的图象上，
当时，设解析式为，，即，
当时，设解析式为，，即，
，即.
故选：B.
5. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（ ）
A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球中恰有1个红球的概率为
C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球不都是红球的概率为
【答案】D
【解析】记从甲袋中摸出一个红球事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，
且，，相互独立，
对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，
故A正确；
对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为，
则，故B正确；
对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是，
则，
所以至少有1个红球的概率为，故C正确；
对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为，
故D不正确．
故选：D.
6. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于函数f(x)的定义域为，所以，即，
所以函数的定义域是.
又，即，所以函数g(x)的定义域为.
故选：B.
7. 若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A. 4或 B. 4或 C. 2或 D. 2或
【答案】A
【解析】由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，
则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，
则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或．
故选：A.
8. 已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知．设．
则．因为在上单调递增，故在上单调递增．
设．
若，则可得在区间有解．
在区间上有解，
且在区间上有解，
且在区间恒成立，．
故选：D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9. 下列选项中说法正确的是（ ）
A. 若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1
B. 一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是
C. 一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为
D. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为
【答案】AC
【解析】A选项：设两组数据的权重为，由，
又，可解得，
所以这两组数据的权重比值为1，故A正确；
B选项：因为，所以这组数据的分位数是从小到大第5项数据6，
则，故B错误；
C选项：将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据平均数加2，
故C正确；
D选项：将一组数据中的每一个数都乘2，则新数据的方差为原来数据方差的倍，
故D错误.
故选：AC.
10. 若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】BCD
【解析】由题意在上有解，
.
故选：BCD．
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 函数且的图象过定点
B. 是方程有两个实数根的充分不必要条件
C. 的反函数是，则
D. 定义在上的奇函数，当时，，则
【答案】AC
【解析】函数，令，可得，
故函数的图象过定点，故A正确；
根据方程有两个实数根，可得，即，
故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；
的反函数是，故C正确；
在上是奇函数，，
解得，又时，fx=x2-2x，
，故D错误．
故选：AC.
12. 若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A. 的最小值为8．
B. 的最小值为
C. 的最大值为．
D. 的最小值为．
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，且，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，故A正确；
B选项，因为
，
当且仅当，即时取等号，故B项正确；
C选项，，
当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确；
D选项，因为，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误．
故选：ABC.
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分．
13. 幂函数在区间上单调递增，则实数的值为________．
【答案】
【解析】为幂函数，或，
又在区间0，+∞上单调递增，.
14. 在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
【答案】7
【解析】设至少需要计算次，则满足，即，
由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次.
15. 若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为________．
【答案】
【解析】，集合的所有非空子集的个数为，
若，则；
若，则；
若，则与成对出现；
若，则与成对出现，
集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）．
在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为．
16. 已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】当时，，
当单调递增，当单调递减，．
当x∈1，+∞时，，
当单调递减，当单调递增，．
令gx=0，即，
或，如图可知，要使有个零点，
则方程有四个不同的实数根，结合函数的图象可得.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
17. 已知函数为定义域上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若，试用表示．
解：（1）因为是定义在上的奇函数，，；
经检验，满足题意，故.
（2）由（1）可知，
根据，可得，
则，故，
又，.
18. 2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）．
表2
（1）根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由.
（2）将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率
解：（1），，
地区的居民满意度等级为不满意的频率为，
由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为，
故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大．
（2）记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，
则．
记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，
则．
事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立，
，
记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”，
则.
19. 已知函数
（1）是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.
解：（1）设在恒成立，
显然当，即时不满足在上恒成立；
当时，
，
综上，存在使得的解集为.
（2）由题意可设在上恒成立，
当，即时，，满足在上恒成立；
当，即时，
在上恒成立；
，；
当，即时，可得，，
综上．
20. 临川菜梗是江西临川的传统民间特产，以“不怕辣”而著称，相传宋神宗熙宁年间王安石出任平章事（宰相），平时爱以家乡菜梗招待同僚进餐，美誉传至宋神宗，于是命（再想）家乡进贡来，尝后大悦御批为“天下一绝”．近日，临川一家食品店的店员对每天的莱梗销售情况盘点后发现：该商品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
（1）给出以下四种函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该店临川菜梗的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
解：（1）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减，
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②，
根据表格数据可知，解得，
所以.
（2），
即，
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，单调递减，
最小值为，
，所以最小值为1681元.
21. 已知定义域为的函数满足对任意，都有
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且当时，，求不等式的解集．
解：（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称，
又对任意，都有，
令，得f1=0，
令，得，
令，
得，
∴fx是奇函数.
（2），，
，
设，则，所以，
在0，+∞上是减函数，
因为的定义域为，
又，所以是偶函数，
因为，
，则，解得，
不等式的解集为或.
22. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．
（1）求函数的所有“保值”区间．
（2）函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．
解：（1）函数在上单调递增，在上单调递减，
令区间为函数的“保值”区间，则在上单调，
即有或，
当时，在区间上单调递增，
则，即，
于是是方程，即的两个不同的非正实根，
显然，方程两根异号，与矛盾，即不符合题意；
当时，在区间上单调递减，则，即，
则有，所以函数的“保值”区间为.
（2）令，显然函数在上单调递增，
由是函数的一个“保值”区间，得或，
且在上单调递增，
则，即是方程，即的两个同号的不等根，
于是，解得，且，
因此，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.满意度评分
频数
2
8
14
10
6
满意度评分
低于70分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
10
15
20
25
30
170
175
180
175
170