2023~2024学年江西省萍乡市高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年江西省萍乡市高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A. ，3B. C. ，3，8D. ，8
【答案】D
【解析】由题意若，解得或，若，解得，
当时，满足题意，
当时，违背了集合中元素间的互异性，
当时，满足题意，
综上所述，a的值可能为，8.
故选：D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则
B. 若（m为常数）是幂函数，则不等式的解集为
C. 函数在上是减函数
D. 与为同一函数
【答案】B
【解析】对于A，若是奇函数，且定义域中包含0，才有，A错误；
对于B，若（m为常数）是幂函数，则，得，
所以，其在上为减函数，
若，则，
解得，B正确；
对于C，函数在和上是减函数，C错误；
对于D，函数，与不是同一函数，D错误.
故选：B.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A，当时，无意义，故A错误；
对于B，当时，无意义，故B错误；
对于C，若且，
则，，故C正确；
对于D，令，则，，显然，故D错误.
故选：C.
4. 太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用．净化过程中，每过滤一次可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，至少需要过滤的次数为（参考数据：）（ ）
A. 42次B. 43次C. 44次D. 45次
【答案】C
【解析】设经过次过滤达到要求，原来水中杂质为1，
由题意，即，
所以，
所以，
所以至少需要过滤的次数为44次.
故选：C.
5. 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数在上为增函数，所以，
由于，
又，，则，所以，
函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，
则在上为增函数，所以，
即.
故选：A.
6. 甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为（ ）
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
【答案】B
【解析】由题意可得乙最终获胜有两种情况：
一是前两局乙获胜，则获胜的概率为，
二是前两局乙胜一局，第三局乙获胜，则获胜的概率为，
而这两种情况是互斥的，所以乙最终获胜的概率为.
故选：B.
7. 若把函数图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知图象上的点变换成点，
意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位，
此时对应的函数解析式为，
若，则时，且单调递减，
时，且单调递增，对比选项可知D选项符合题意.
故选：D.
8. 已知，且满足，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】因为，所以，
令，因为在上都为单调递增函数，
所以在上都为单调递增函数，
又时，，所以为奇函数，
所以，所以，
又，所以，可得，即
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
B. “菱形是正方形”是全称命题
C. 式子化简后为
D. “”是“，有为真命题”的充分不必要条件
【答案】AD
【解析】对于A，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，
故A符合题意；
对于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全称命题，故B不符合题意；
对于C，若式子有意义，则，即，
所以，故C不符合题意；
对于D，，有，等价于，有，等价于，
所以“”是“，有为真命题”的必要不充分条件，故D符合题意.
故选：AD.
10. 已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 图象的对称中心为
C. 在区间上单调递减
D. 满足的x的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于选项A，将代入等式，可得，
选项A错误；
对于选项B，若函数满足，即，
则函数的图象关于点对称，选项B正确；
对于选项C，函数在区间上单调递减，
且函数的图象关于点对称，
所以函数在区间上也单调递减，选项C正确；
对于选项D，显然函数在上单调递减，且，
由，可得：
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
所以不等式的解集为，选项D不正确.
故选：BC.
11. 已知样本甲：与样本乙：满足关系，则下列结论错误的是（ ）
A. 样本乙的极差等于样本甲的极差
B. 若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数
C. 样本乙众数小于样本甲的众数
D. 若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数
【答案】ACD
【解析】由样本甲：，，，…，与样本乙：，，，…，满足，知：
样本乙的极差不等于样本甲的极差，例如样本甲：0，1，2与样本乙：，
故A中结论不正确；
不妨令，
因为在上单调递减，则，
所以若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数，故B中结论正确；
因为在上单调递减，则样本乙的众数等于样本甲的众数，故C中结论不正确；
若某个为样本甲的平均数，则不一定是样本乙的平均数，
例如样本甲：0，1，2与样本乙：，故D中结论不正确．
故选：ABD．
12. 已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（ ）
A. 2B. C. 0D. 4
【答案】AC
【解析】设的零点为，则，又，
故，解得，则．
，
因为函数与函数的零点相同，
所以方程无解或与方程的解相同，
所以或，解得，
所以．
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某班拟从2名男学生和1名女学生中随机选派2名学生去参加一项活动，则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是______．
【答案】
【解析】设2名男学生分别为,1名女学生为，
所以选派2名学生去参加一项活动共有：三种情况，
符合题意的情况有两种，
所以恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是.
14. 在一次篮球比赛中，某球队共进行了9场比赛，得分分别26，37，23，45，32，36，40，42，51，则这组数据的60%分位数为______．
【答案】40
【解析】将得分从小到大排列有
又，所以这组数据的第60百分位数为第6个数，即40.
15. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为区间是关于的一元二次不等式的解集，
则a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，，
所以，且a，b是两个不同的正数，
则有，
当且仅当时即，等号成立，
满足，故的最小值是.
16. 记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】如图所示：
若，则函数的图象与函数的图象只有1个交点，
即函数恰有1个零点，不符合题意；
如图所示：
若函数恰有2个零点，且，
所以函数的图象与函数的图象有两个交点，
显然当时，函数的图象与函数的图象有1个交点，
只需保证当时，函数的图象与函数的图象有1个交点，
则，解不等式组得，
综上所述，实数a的取值范围为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，集合，可得或，
所以.
（2）由题知，集合A是集合B的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，
解得，
综上，实数a的取值范围为．
18. 已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）．
解：（1）在单调递增；证明如下：
任取，不妨设，
，
因为，则，，，
可得，即，
所以在上单调递增.
（2）因为函数在区间上是连续且单调的，
可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解，
且，，可得在内有且仅有一个零点，
在区间上利用二分法列表如下：
此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间，
即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，
比如2.6是方程在上的一个近似解．
19. 已知函数（，且），从下面两个条件中选择一个进行解答．
①的反函数经过点；②的解集为．
（1）求实数a的值；
（2）若，，求的最值及对应x的值．
解：（1）若选①：由题知，函数的反函数为，则，即；
若选②：由题知，的解集为，
因为，所以，即.
（2）由（1）知，，则，
令，则，
当，即时，；当，即时，，
综上：当时，；当时，．
20. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校800名男生身高的中位数；
（3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求．
解：（1）第六组的频率为，
则第七组的频率为.
（2）由图知，身高在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由，得，
所以这所学校800名男生身高的中位数为174.5cm.
（3）样本身高在第六组的人数为4，设为a，b，c，d，
在第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时，事件E发生，所以事件E包含的基本事件为，，，，，，共7种情况，
所以．
21. 已知，函数，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）求不等式的解集；
（3），不等式恒成立，求a的取值范围．
解：（1）令，，即，
解得或，
所以或，解得.
（2）依题意得，，即，
当时，；当时，x的解集为空集；当时，.
（3）依题意得，因为，所以，
又，，当且仅当时，取得等号，所以，即．
22. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据）．
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立年后会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数；
①；②（且）；③（且）；
（2）为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．
解：（1）由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型③，
由表格中的数据可得，，，解得，，，
故函数模型的解析式为，
当时，预测2023年年末的会员人数为千人.
（2）由题知，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
因为函数在区间上单调递增，所以，
故，即k的最小值为7．区间
中点
中点函数值
区间长度
1
建立平台第x年
1
2
3
4
会员人数y（千人）
28
36
52
82