2024~2025学年江苏省四市十一校联盟高二上学期阶段联测月考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年江苏省四市十一校联盟高二上学期阶段联测月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线与垂直，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】因为直线与垂直，
所以，解得.
故选：C.
2. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】中，，故，故焦点坐标为，
渐近线方程为，
故焦点到渐近线的距离为，
由对称性可知，双曲线的焦点到渐近线的距离为2.
故选：B
3. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列（ ）
A. 第11项B. 第12项
C. 第13项D. 第14项
【答案】D
【解析】根据数列1，，，，3，…，
，
又，
,解得 ，
故选:D.
4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为点为圆心到直线的距离为，
所以圆的半径为，圆的方程为.
故选：D.
5. 已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）
A. 10B. 8C. 5D. 4
【答案】B
【解析】已知抛物线上有一点Px0,y0，则，即．
又，故在抛物线的外部，
则，
因为抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，则，故．

由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值，
则的最小值为．
故选：B
6. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（ ）
A. QB. RC. SD. T
【答案】A
【解析】设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，
因为，所以越小，越大，越大，
所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.
故选：A.
7. 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当，时，，所以；
当，时，，所以；
所以数列的前2024项和为：
，
故选：B.
8. 已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，
因为为弦的中点，所以，
又因为，所以三角形为正三角形，所以，
即点在以为圆心，以为半径的圆上，点所在圆的方程为，
要使得为钝角恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部，而在直线上，
到直线的距离，
所以以为直径的圆的半径的最小值为，
所以的最小值为．
此时为直角，
所以的取值范围是,．
故选：D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分.
9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线C为椭圆
B. 若，则曲线C为双曲线
C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
【答案】BCD
【解析】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确；
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，
且双曲线的离心率，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 中存在连续三项成等差数列
C. 中存在连续三项成等比数列
D. 数列的前项和
【答案】ABD
【解析】数列中，由，得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即，
对于A，，A正确；
对于B，，，即成等差数列，B正确；
对于C，假定连续三项成等比数列，则，
整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误；
对于D，，则，
两式相减得，
因此，D正确.
故选：ABD
11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ）
A. B. 的离心率为
C. D.
【答案】ACD
【解析】由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上，
所以，即，A对；
若，则，B错；
，C对；
设的内切圆半径为，则，，，
，
，即，D对.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 下列条件中，哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）.
①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；④焦点到准线的距离为；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为.
【答案】①③（答案不唯一）
【解析】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在轴上，故①必选，②不选.
若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为.
若选①⑤，设焦点，，，，
由，得解得，故抛物线的方程为.
由④可知，故还可选择①④.
故答案为：①③（答案不唯一）
13. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______.
【答案】
【解析】因为，且，所以，
所以数列为等比数列，则数列，
所以，
因为，
又因为，所以当或时，取最大值，
所以
故答案为:
14. 如图所示，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．

【答案】
【解析】设另一个焦点，连接，设则
再根据双曲线的定义可知：
由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，
所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，
所以由勾股定理得：，
化简得：，
再由勾股定理得：，
代入得：，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的离心率，实轴长.
（1）求的方程；
（2）过右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求；
解：（1）由题设，
又，
所以，则.
（2）由右焦点为，则，
联立双曲线方程，得，整理得，
显然，则，，
所以
.
16. 在等比数列中，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
解：（1）设等比数列的公比为，
则，
化简可得，整理可得，
由，则，
由方程解得，
由，则.
由数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则.
（2）由，
则，，
由数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则.
17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值.
解：（1）当时，直线为，故，
由圆的圆心为原点且半径为，则圆心到距离为，
所以.
（2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，
连接，则，故，又，即，
所以直线为，
则.
（3）记点到的距离分别为，有，
又，
，
当且仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
18. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点,过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
（3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程.
解：（1）由题意可知椭圆的半焦距，
由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得，
，
故椭圆的标准方程为.
（2）由已知得，
由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数，
可设直线的方程为，
代入，消去得.
设，
所以，可得，
因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数，
所以在上式中以代替，可得，
所以直线的斜率，
即直线的斜率为定值.
（3）由（1）已得， ,可设直线的方程为：，
代入，整理得：，
则，即，
设，则，
于是，，
点到直线的距离为，
则的面积为：
，
因，则，
故当时，取得最大值，
此时直线的方程为,
即和.
19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
（1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
（2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.
（3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.
解：（1）因为常数)，
所以数列为等方差数列，1为公方差；
因，
所以数列不是等方差数列；
（2）因为是等差数列，设其公差为d，
则，
又是等方差数列，所以，
故，
所以，
即，
所以，故是常数列；
（3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故，而，所以，
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项(含前共有项，
令，结合，解得，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和.