2024~2025学年江苏省南京市联合体九年级上学期期末练习卷 数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年江苏省南京市联合体九年级上学期期末练习卷 数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴x=0或，
∴，，
故选：．
2. 在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的个白球和个红球，随机摸出个球，恰好是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】随机从装有形状、大小、质地完全相同的个白球和个红球的不透明的袋子中摸出一个球，共有种等可能的结果，其中摸到红球有种可能结果，
所以摸到红球的概率为，
故选：D．
3. 已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】A、平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故A不符合题意；
B、中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，跟被涂污数字有关，故B不符合题意；
C、数据中出现次数最多的数是47，即众数是47，与被涂污数字无关；
D、方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故D不符合题意；
故选：D．
4. 如图，是⊙的直径，、是⊙上直径两侧的两点，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
，，
∴，
，
，
，
故选：B．
5. 如图，，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
故选：B．
6. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示．下列结论：；方程一定有两个不相等的实数根；；；（为常数，且）．其中所有正确的序号有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，
故正确；
抛物线与轴有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，
，
方程中，
可得：，
，，
，
有两个不相等的实数根，
故正确；
抛物线的对称轴在轴的右侧，抛物线与轴的一个交点坐标是，
抛物线与轴的交点到对称轴的距离小于，
抛物线与轴的另一个交点的坐标一定在的右侧，
当x=-1时，，
故错误；
由图象可知：，，
，
移项得：，
故正确；
，
，
当x=1时，，
，
整理得：，
故正确．
正确的有个．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7. 若，则＝_______．
【答案】
【解析】，
，
．
故答案为：．
8. 二次函数图象的顶点坐标是 _____．
【答案】
【解析】，
∴顶点坐标是．
9. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则__________．
【答案】
【解析】∵点P是线段的黄金分割点，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
10. 已知，是方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴
；
故答案为．
11. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____．
【答案】5
【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，
故答案为：5．
12. 在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒．
【答案】120
【解析】由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为，
所以瓶子中豆子的总数为粒．
故答案为：120．
13. 如图，已知的面积为3，点D、E分别是边AB、的三等分点，则四边形的面积是_______．
【答案】24
【解析】∵D、E分别是边AB、的三等分点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：24．
14. 已知二次函数，当时，的取值范围是_______．
【答案】
【解析】二次函数中，
抛物线开口向下，有最大值为，抛物线的对称轴为轴，
当时，在对称轴的两侧，
当时，，
当x=1时，
当，的取值范围是，
故答案为．
15. 如图，已知，以为直径作半圆，分别交于点，若，则的长为_______．
【答案】
【解析】连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，则，即，
，解得（负值，舍去）或，
，
故答案为：．
16. 如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，，．若P在线段上，且始终满足，连接，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】连接，过点作，交于点M，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点是定点，
∴点P在以M为圆心，为半径的圆上，
连接，交于点Q，
则点P在劣弧上，
∵,
∴故当点P与点Q重合时，取最小值，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）方程整理得，，
∴，
∴或，
∴；
（2），
∴或，
∴．
18. 体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数情况记录如下表：
两个小组的跳绳成绩单位：次
（1）根据所给数据填写上表：
（2）请分别解释甲组中两个“92”的实际意义．
（3）如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93次，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变．你认为小明的说法对吗？请说出你的理由．
解：（1）
乙组6号的成绩为，
乙组从小到大排列为87，93，93，94，95，96
∴中位线为
填表如下：
（2）甲组中第一个92表示：甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92次；
第二个92表示：甲组6位同学在规定时间内跳绳的平均次数为92次；
（3）不对，理由如下：
∵乙组的平均数为93，
∴若果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93次，
∴平均数不会变化；
增加一名学生后的
∴方差会发生改变．
19. 有不透明的、两个袋子，每个袋子中各装有一黑一白两个球，他们除颜色不同外无其他差别．
（1）若摇匀后从、两个袋子中各摸出一个球，求摸出的两个球都是白球的概率；
（2）若摇匀后从袋子中随机取一个球，放入袋子中，再从袋子中随机取出一个球，则袋子中取出的球是白球的概率是_______．
解：（1）根据题意，可知共有黑黑，黑白，白黑，白白，四种情况；
摸出的两个球都是白球的概率为：；
（2）画树状图，
共有6种等可能的结果,其中B袋子中取出的球是白球的结果有3种,
故B袋子中取出的球是白球的概率为.
故答案为：
20. 如图，现利用一面长度为的墙围，以及长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在边上开了一个宽度为的小门，问能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由．
解：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园，理由如下：
设AB长为时，，
由题意，得：，
解得：，，
当，（舍去）；
当，，
答：当长为，宽为时，可以围出一个面积为的矩形菜园．
21. 如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为．
（1）该函数图像与x轴的另一个交点坐标为_______；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的图像的函数表达式为_______．
解：（1）∵二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为．
∴，
∴该函数图像与x轴的另一个交点坐标为，
故答案为：；
（2）∵该函数图像与x轴的交点坐标为和，
∴设二次函数的表达式为，
把代入，
得，
解得，
∴；
（3）∵将该二次函数沿x轴翻折，且原函数的顶点坐标是，二次项系数是1，
∴翻折后的图像的函数的顶点坐标是，二次项系数是，
∴，
∴整理得，
则翻折后的图像的函数表达式为，
故答案为：．
22. 如图，为的直径，过上的一点作的切线，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
23. 某商家销售一种产品，已知该产品进价为元/件，规定销售期间销售单价不低于进价．调查发现：当销售单价定为10元时，每天可以销售件；销售单价每提高元，日销量将会减少40件．设该商品的销售单价为（单位：元）（），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元）．
（1）当定价为元时，每天可以销售_______件；
（2）直接写出与的函数关系式；
（3）求销售单价为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
解：（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
即；
（3）由题意得，，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元．
24. （1）如图（）已知是外一点．要求：仅用无刻度的直尺和圆规，过点作出的一条切线，保留痕迹，写出必要的文字说明．
（2）如图（），已知线段和．要求：仅用无刻度的直尺和圆规，在直线上作点，使点到的切线长为线段的长度．保留痕迹，写出必要的文字说明．
（3）如图（），已知的半径是，点在线段及射线CD上运动，若，，记点到的切线长为，若满足条件的点的位置有个，则的取值范围是_______．
解：（1）如图，即为所求，
说明：如图，作所在的，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）如图，点即为所求，
说明：如图，连接，过作切线长，为切点，
∴，
由作图可知，，，∴，
∵，∴，
∴，即点为所求，
同理可证点也为所求，
综上点即为所求；
（3）过作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴CD与以为圆心，以为半径的圆相切，此时与CD只有一个交点，与有一个交点，CD与以为圆心，以为半径的圆有两个交点，如图，
∵点到的切线长为，满足条件的点的位置有个，
∴当作以大于，且小于的长为半径时，圆与线段及射线CD共三个交点，该个交点为点位置，（半径为的的圆与交于点，）
如图，过作半径为的的的切线，切点为，连接，则，
∴，
∴的取值范围是．
25. 已知二次函数（为常数）．
（1）求证：该函数的图像与轴总有两个公共点；
（2）已知该函数上有两点、，且始终满足，则的取值范围是_______
解：（1）当时，，
整理后得：，
，
有两个不同的根，
二次函数与轴总有两个公共点；
（2）把，两点代入得：
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
26. 如图，已知，过A、B、C三点的与相交于点E，连接、、，若，过点C作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，则的面积为_______．
（1）证明：连接，延长交于点H，
∵点O是的圆心，
∴点O一定在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）证明：延长到点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如（1）问图示，连接，延长交于点H，
∵点O是的圆心，
∴点O一定在线段的垂直平分线上，
∵，，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
过点A作于点K，
则，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴
∵，
∴，∴，
∴．
故答案为：．
27. 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4．
（1）操作发现
操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______．
（2）变换探究
如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F.
（Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由．
（Ⅱ）直线与直线相交所形成夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由．
（3）拓展应用
在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积．
解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∵、分别为边、的中点，
∴，
∴；
（2）（Ⅰ）的比值不变；
由旋转的性质可的出，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的比值不变；
（Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变；
由（Ⅰ）知，
∴，
设与交于点，
∴，
∵，
∴，
∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变；
（3）①当时，如图，过点作，则，
由（2）知，∴，
∴，∴，
∴；
②当时，过点作，设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴．
综上：的面积为或．组别
1号
2号
3号
4号
5号
6号
平均数
中位数
方差
甲
96
92
88
94
101
81
92
93
_______
乙
95
96
87
93
94
_______
93
_______
组别
1号
2号
3号
4号
5号
6号
平均数
中位数
方差
甲
96
92
88
94
101
81
92
93
乙
95
96
87
93
94
93
93