2023~2024学年江西省赣州市石城县九年级上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年江西省赣州市石城县九年级上学期期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，∴，所以①错误；等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C.
2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A. 竹篮打水B. 瓮中捉鳖
C. 水滴石穿D. 守株待兔
【答案】A
【解析】A、竹篮打水，是不可能事件，符合题意；
B、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D、守株待兔，随机事件，不符合题意；
故选：A．
3. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ）
A. ，B. -2，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】把，代入方程，得：，
∴，
∴方程化为：，
∴，
∴，
∴方程的另一个根为；
故选A．
4. 如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( )
A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°
【答案】D
【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AB=AD
∴∠ADB=∠B=40°
∵∠ADB+∠B+∠BAD=180°
∴∠BAD=180°-40°-40°=100°
故选D．
5. 反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②若，在该图象上，则；③y随x的增大而增大；④若在该图象上，则也此在图象上．其中正确的是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】∵反比例函数图象经过第二、四象限，∴，所以①错误；
在每一象限，y随x的增大而增大，所以③错误；
∵，在图象上，∴，
而，∴，所以②错误；
∵，
∴若在该图象上，则也此在图象上，所以④正确．
故选D．
6. 若、是抛物线上两点，当时，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线，
∵，则说明数轴上到2的距离比到2的距离大，
当时，图象开口向上，图象上横坐标是的点比横坐标是的点离对称轴远，
∴；
则C、D正确，A、B不确定；
当时，图象开口向下，图象上横坐标是的点比横坐标是的点离对称轴远，故，则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____．
【答案】1
【解析】∵点与点关于原点对称，
∴a=-2，b= 3，
∴a+b=-2+3=1，
故答案为：1．
8. 一元二次方程配方为，则k的值是______．
【答案】１
【解析】
∴
故答案为：1．
9. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过大量摸球实验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为______个．
【答案】
【解析】估计红球的个数约为个，
故答案为：．
10. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度．
【答案】144
【解析】正五边形每个内角：180°－360°÷5＝108°，
∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝(5－2)×180°－90°×2－108°×2＝144°．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为______．

【答案】
【解析】∵，
，
，
而，
．
12. 如图，已知点A的坐标是，的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，则点P的坐标为________．

【答案】，或
【解析】①过点作与相切，此时，连接，作轴于点，

根据题意易得，，，
∴，，∴，
∴，，∴点的坐标为；
②当时，若点位于如图所示位置，

∵，
∴，又，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
满足，此时点的坐标为；
③当时，点的位置如图所示：

过点作轴于点，
由①知，，
∴，
∵，，即为的垂直平分线，
则满足，此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
13. （1）解方程：．
（2）如图，已知点，，是上三点，且于点，若半径，，求弦长．
解：（1）原式可化为，
则或，
解得：，．
（2）连接，
，为的半径，
，
，，
，
，
．
14. 已知抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点．
（1）求点、、的坐标；
（2）求此抛物线的顶点坐标．
解：（1）当时，，
，，，，
将x=0代入得：，；
（2），
顶点坐标是：．
15. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．

（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是 ．
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
解：（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，
∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为．
16. 请用无刻度的直尺完成下列作图：(保留作图痕迹，不写作法)
（1）如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，请作出的平分线；
（2）如图，已知等腰内接于，且，请作出的平分线；
（3）如图，已知直角内接于，为直径，是上一点，且，请作出的平分线．
解：（1）如图，连接，则平分，说明如下：
∵ 是直径，
∴，
又，
∴，
∴即为所求；
（2）如图所示，即为所求．说明如下：连接，
∵，，
∴
∴
∴平分．
（3）如图，连接，延长交于点P，连接，即为所求．
∵
∴
∵
∴
∴．
17. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱．
（1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量；
（2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？
解：（1）由题意，得：；
（2）设这种脐橙的售价单价定为每箱元，则每箱的销售利润为元，
日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让利给顾客，
．
答：这种脐橙的售价单价应定为每箱50元．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
（1）证明：，
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
19. 周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离．
解：（1）由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，将代入得：，
解得，
，
答：抛物线的表达式为；
（2）当时，，
解得x=1或，
他与小江的水平距离为或，
答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或．
20. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
（1）证明：，
，
矩形绕点旋转，
，
，
∴ ≌，
∴ ；
（2）解：∵ ，，
∴，
∴，
∵矩形绕点旋转，
∴，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．

（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求的面积；
（3）如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标．
解：（1）∵B在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
把A代入，得；
（2）设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线解析式为，
∴直线与y轴的交点M的坐标为，
∴的面积;

（3）设点E的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∵，则当时，
∴，
解这个方程，得：，
∴点E的坐标为或．

22. 如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，交于点G，过点D作分别交，的延长线于点E，F．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求劣弧的长．
（1）证明：连接交交于H，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵AD平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又点E在上，
∴是的切线；
（2）解：∵为直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，设，则，
由，即，
解得，
由，
∴，
∴，
∴，
∴．
六、（本大题共1小题，共12分）
23. 已知二次函数、为常数)的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由．
（3）如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线CD于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把，代入得：，
解得：，；
（2）的面积存在最大值；理由如下：
设，则，
，
令，则，解得，
，
①当点P位于直线的右侧时，如图，过点作轴交直线于点，
则
，
当时，有最大值，此时；
②当点P位于直线的左侧及其上时，如图，过点作轴交直线于点，
则
，
∵点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，且位于直线的左侧及其上，
∴，
当时，有最大值，此时；
综上所述，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时；
（3）存在点，使得，理由如下：
如图2，
，
，
轴，
，
，
，
，，
，
，
设，
∵右侧，
则，
点在直线上，
，
解得：或，
或；
综上，的坐标为或．