（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——4二次函数（含答案详解）

这是一份（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——4二次函数（含答案详解），共40页。试卷主要包含了的图象，则下列结论等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•石峰区模拟）已知二次函数y＝ax2+cx+c和一次函数y＝ax+c，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞−13c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．①④D．②③④
3．（2023•岳阳楼区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+4与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当1≤m≤4时，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．﹣3B．1C．5D．8
4．（2023•绥宁县模拟）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023•岳阳县一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣2），若关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＜0）的实数根为a，β，且a＜β，则下列不等式正确的是（ ）
A．a＜1，β＜2B．1＜a＜β＜2C．1＜a＜2＜βD．a＜1＜β＜2
6．（2023•绥宁县模拟）若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
7．（2023•绥宁县模拟）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：
①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．
其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
8．（2022•零陵区模拟）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣4B．y＝（x+2）2﹣4
C．y＝2（x﹣2）2﹣4D．y＝2（x﹣2）2﹣3
9．（2022•开福区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，根据以上信息，甲、乙、丙三人的说法正确的是（ ）
甲：a+c＝b，2a﹣b＝0；
乙：方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；
丙：c﹣a＞2．
A．甲错，乙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲、乙、丙都对
10．（2022•株洲模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣4，y1），且点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，则下列结论中正确的有（ ）
①b﹣2a＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
③若y2＞y1，则x2＜﹣1；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为1和−13．
A．l个B．2个C．3个D．4个
11．（2022•岳阳模拟）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x+m有四个交点时m的范围是（ ）
A．−134＜m＜﹣1B．−134＜m＜3C．−114＜m＜﹣1D．−114＜m＜3
12．（2022•株洲模拟）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2B．若y1＝y2，则x1＝x2
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
13．（2022•零陵区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数），其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题）
14．（2023•绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，那么m的取值范围是 ．
15．（2023•绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是 ．
16．（2023•岳阳县一模）二次函数y＝（x+4）2+6的顶点坐标是 ．
17．（2023•凤凰县模拟）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为 ．
18．（2023•凤凰县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2经过平移得到抛物线y＝﹣x2﹣4x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共9小题）
19．（2023•零陵区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，12）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB的解析式为y＝﹣x+c，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线AB与抛物线y＝ax2+bx只有一个交点时，求点B的坐标；
（3）当t≤x≤t+1时，是否存在t的值，使函数y＝ax2+bx的最大值为14，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
20．（2023•长沙模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 （3，﹣2）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作直线PM⊥x轴，垂足为M，PM与直线l交于点N，当P，M，N其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是对称轴上的点，且△ADQ为直角三角形，求点Q的坐标．
21．（2023•长沙四模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，OA＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆半径；
（3）如图2，C与△ABC的外心所在的直线交抛物线于点E，点P是抛物线上的一个动点（不与A、B、C重合），作直线PM⊥x轴于点M，交直线CE于点N，直线CE交x轴于点H，连接BP，是否存在点P，使△BPM与△MNH相似？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
22．（2023•长沙四模）自国家发布新冠防疫政策新十条政策以来，核酸自测抗原检测试剂盒需求量上升，价格急剧上涨，据市场调研发现，某品牌抗原检测试剂盒经过连续两次价格的上调，由每盒60元涨到了每盒101.4元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在政府有关部门大力调控下，该品牌抗原检测试剂盒的价格下调回到了每盒80元，在线上平台发售时发现，定价为每盒80元时，该品牌一天可以卖出300盒，每降价5元，一天可以多卖出50盒．当销售额为每日3万元时，要让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
（3）在（2）的条件下，该品牌抗原检测试剂盒成本为每盒40元，在降价的情况下，定价多少时每日利润最大？
23．（2023•绥宁县模拟）为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（x≥90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：
（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y＝ （含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；
（2）当售价x定为 元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为 元；
（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？
24．（2023•绥宁县模拟）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x=−32．
（1）求该二次函数表达式；
（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023•岳阳县一模）如图，抛物线y=12x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2023•石峰区模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．
（1）当a＝2，求AB的长；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求a的值；
（3）如图2，当a＜2时，在第一象限的抛物线上有一点M（1，m），直线AM交y轴于点P，直线BM交y轴于点Q，OP•OQ＝12，求a的值．
27．（2023•涟源市一模）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴为直线x＝1，且AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD．求证：CD⊥BC；
（3）点P是x轴上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年湖南省中考数学冲刺专题练——4二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2023•石峰区模拟）已知二次函数y＝ax2+cx+c和一次函数y＝ax+c，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．图象中二次函数a＞0，c＜0，一次函数a＞0，c＞0，故A不符合题意．
B．图象中二次函数a＞0，c＞0，又对称轴在y轴右侧，则−c2a＞0，得出c＜0，矛盾，故B不符合题意．
C．图象中二次函数a＜0，c＞0，一次函数a＜0，c＞0，故C符合题意．
D．图象中二次函数a＜0，c＜0，又对称轴在y轴右侧，则−c2a＞0，得出c＞0，矛盾，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞−13c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．①④D．②③④
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴−b2a=1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
由图象可知，抛物线与x轴左侧的交点在（﹣1，0）的右侧，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴右侧的交点在（3，0）的左侧，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴3a+b＜−13c，
故②错误；
∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，
∴−92b+3b+c＜0，
∴2c＜3b，
故③正确；
当x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，
∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，
∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，
∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，
故④正确；
∴正确的有①③④，
故选：A．
3．（2023•岳阳楼区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+4与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当1≤m≤4时，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．﹣3B．1C．5D．8
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+4
∴对称轴为x=−−2am2a=m，
∵当1≤m≤4时，点C的横坐标最小值为﹣3，
∴当m＝1时，点C的横坐标为﹣3，
∴0＝a（﹣3）2﹣2×（﹣3）a+a+4，解得a=−14，
∴当m＝4时，点D的横坐标最大，
∴−14x2−2×(−14)×4x−14×42+4=0，
∴x1＝0，x2＝8，
∴点D的横坐标最大值为8．
故选：D．
4．（2023•绥宁县模拟）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，对称轴在y轴左侧，
故选：C．
5．（2023•岳阳县一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣2），若关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＜0）的实数根为a，β，且a＜β，则下列不等式正确的是（ ）
A．a＜1，β＜2B．1＜a＜β＜2C．1＜a＜2＜βD．a＜1＜β＜2
【解答】解：y′＝（x﹣1）（x﹣2）﹣m，相当于抛物线y＝（x﹣1）（x﹣2）向上平移了m个单位，
则α、β在x＝1和x＝2之间，
故选：B．
6．（2023•绥宁县模拟）若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．
即方程的另一解为﹣1．
故选：B．
7．（2023•绥宁县模拟）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：
①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．
其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴x=−b2a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0；
故①正确；
∵对称轴x=−b2a=1，
∴b+2a＝0；
故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
故④错误；
∵a﹣b+c＜0，b+2a＝0，
∴3a+c＜0；
故⑤正确．
故选：B．
8．（2022•零陵区模拟）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣4B．y＝（x+2）2﹣4
C．y＝2（x﹣2）2﹣4D．y＝2（x﹣2）2﹣3
【解答】解：将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x+2）2﹣1；
再向下平移3个单位为：y＝2（x+2）2﹣1﹣3，即y＝2（x+2）2﹣4．
故选：A．
9．（2022•开福区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，根据以上信息，甲、乙、丙三人的说法正确的是（ ）
甲：a+c＝b，2a﹣b＝0；
乙：方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；
丙：c﹣a＞2．
A．甲错，乙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲、乙、丙都对
【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，甲错误．
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线经过（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，乙正确．
∵抛物线与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴c﹣a＞2，丙正确．
故选：A．
10．（2022•株洲模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣4，y1），且点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，则下列结论中正确的有（ ）
①b﹣2a＝0；
②函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
③若y2＞y1，则x2＜﹣1；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为1和−13．
A．l个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线经过A（﹣3，0）．B（1，0），
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b＝2a，即b﹣2a＝0，①正确．
∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）．B（1，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣1），
将x＝﹣1代入y＝a（x+3）（x﹣1）得y＝﹣4a，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
∵抛物线开口向上，
∴函数最小值为﹣4a，②正确．
∵C（﹣4，y1），
∴点C关于抛物线对称轴对称点坐标为C'（2，y1），
∵y2＞y1，
∴x＜﹣4或x＞2，③错误．
∵y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∴cx2+bx+a＝﹣3ax2+2ax+a＝a（﹣3x﹣1）（x﹣1）＝0，
∴方程cx2+bx+a＝0的两个根为1和−13．④正确．
故选：C．
11．（2022•岳阳模拟）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x+m有四个交点时m的范围是（ ）
A．−134＜m＜﹣1B．−134＜m＜3C．−114＜m＜﹣1D．−114＜m＜3
【解答】解：如图所示，
将y＝0代入二次函数y＝x2+2x﹣3，可得x1＝1，x2＝﹣3，
当直线y＝x+m与这个新图象有三个交点时，
将x＝1，y＝0代入直线y＝x+m，得
0＝1+m，
解得m＝﹣1，
当﹣3＜x＜1时，对应的新函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴y=x2+2x−3y=x+m，
则x2+2x﹣3＝x+m可化为x2+x﹣3﹣m＝0，
当x2+x﹣3﹣m＝0有两个相等的实数根时，
Δ＝12﹣4×1×（﹣3﹣m）＝4m+13＝0，
解得m=−134，
故当−134＜m＜﹣1时，直线y＝x+m与这个新图象有四个交点，
故选：A．
12．（2022•株洲模拟）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2B．若y1＝y2，则x1＝x2
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2D．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
【解答】解：由y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a知，该抛物线的对称轴为直线x＝1，
A、若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，此选项说法正确，符合题意；
B、若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，此选项说法错误，不符合题意；
C、当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，此选项说法错误，不符合题意；
D、当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，此选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
13．（2022•零陵区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数），其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3．②正确．
∵抛物线经过（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴8a+c＞0，③错误；
∵当x＝1时，对应的函数值最小，即a+b+c≤am2+bm+c（m为实数），
∴a+b≤am2+bm＝m（am+b），④正确；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
14．（2023•绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，那么m的取值范围是 m＜﹣2 ．
【解答】解：∵抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，
∴m+2＜0，
∴m＜﹣2．
故答案为：m＜﹣2．
15．（2023•绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是 （﹣1，5） ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2+2+3＝（x+1）2+5，
∴得到的抛物线顶点坐标是（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
16．（2023•岳阳县一模）二次函数y＝（x+4）2+6的顶点坐标是 （﹣4，6） ．
【解答】解：由二次函数顶点式y＝（x+4）2+6知顶点坐标为（﹣4，6）．
故答案为：（﹣4，6）．
17．（2023•凤凰县模拟）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为 25 ．
【解答】解：∵p＝5，c＝4，p=a+b+c2．
∴a+b＝2p﹣c＝6．
∴S=5(5−a)(5−b)(5−4)=5⋅ab−5．
由a+b＝6，得b＝6﹣a，代入上式，得：S=5⋅a(6−a)−5=5⋅−a2+6a−5．
设y＝﹣a2+6a﹣5，当y＝﹣a2+6a﹣5取得最大值时，S也取得最大值．
∵y＝﹣a2+6a﹣5＝﹣（a﹣3）2+4．
∴当a＝3时，y取得最大值4．
∴S的最大值为5×4=25．
故答案为：25．
18．（2023•凤凰县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2经过平移得到抛物线y＝﹣x2﹣4x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 8 ．
【解答】解：如图，∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x2＝﹣4，
∴平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，2×4＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共9小题）
19．（2023•零陵区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的对称轴为x＝1，且过点（1，12）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB的解析式为y＝﹣x+c，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线AB与抛物线y＝ax2+bx只有一个交点时，求点B的坐标；
（3）当t≤x≤t+1时，是否存在t的值，使函数y＝ax2+bx的最大值为14，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的对称轴为x＝1，且过点（1，12），
∴−b2a=1a+b=12，
解得：a=−12b=1，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+x；
（2）∵直线AB与抛物线y=−12x2+x只有一个交点，
∴方程组y=−12x2+xy=−x+c有两组相同的实数解，
即方程−12x2+x=−x+c有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×12×c＝0，
∴c＝2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）；
（3）存在t的值，使函数y＝ax2+bx的最大值为14，理由：
∵y=−12x2+x=−12(x−1)2+12，
∴函数y在x＝1时，有最大值12，
∵14＜12，
∴存在t的值，可使函数y＝ax2+bx的最大值为14，
①当t+1＜1时，即t＜0时，
∵−12＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝t+1时，函数有最大值，
∴−12(t+1)2+t+1=14，
解得：t=−22或t=22（不合题意，舍去），
∴t=−22时，函数y＝ax2+bx的最大值为14；
②当t＞1时，
∵−12＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝t时，函数有最大值，
∴−12t2+t=14，
解得：t=2+22或t=2−22（不合题意，舍去），
∴t=2+22时，函数y＝ax2+bx的最大值为14．
综上，存在t的值，使函数y＝ax2+bx的最大值为14，t的值为−22或2+22．
20．（2023•长沙模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 （3，﹣2）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作直线PM⊥x轴，垂足为M，PM与直线l交于点N，当P，M，N其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是对称轴上的点，且△ADQ为直角三角形，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）在y=12x2−32x﹣2中，令y＝0得：
12x2−32x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0）；
设直线l的函数解析式为y＝kx+b，
将A（﹣1，0），D（3，﹣2）代入得：
−k+b=03k+b=−2，
解得k=−12b=−12，
∴直线l的函数解析式为y=−12x−12；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，12m2−32m﹣2），N（m，−12m−12），M（m，0），
①若P为MN中点，则2（12m2−32m﹣2）=−12m−12+0，
解得m=72或m＝﹣1（三点重合，舍去），
∴P（72，−98）；
②若N为PM的中点，则2（−12m−12）=12m2−32m﹣2+0，
解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴P（2，﹣3）；
③若M为PN中点，则12m2−32m﹣2−12m−12=0，
解得m＝5或m＝﹣1（舍去），
∴P（5，3）；
综上所述，P的坐标为（72，−98）或（2，﹣3）或（5，3）；
（3）由y=12x2−32x﹣2得抛物线对称轴为直线x=32，
设Q（32，t），
又A（﹣1，0），D（3，﹣2），
∴AQ2=254+t2，DQ2=94+（t+2）2，AD2＝20，
①若AQ为斜边，则254+t2=94+（t+2）2+20，
解得t＝﹣5，
∴Q（32，﹣5）；
②若DQ为斜边，则254+t2+20=94+（t+2）2，
解得t＝5，
∴Q（32，5）；
③若AD为斜边，则254+t2+94+（t+2）2＝20，
解得t=−2+192或t=−2−192，
∴Q（32，−2+192）或（32，−2−192）；
综上所述，Q的坐标为（32，﹣5）或（32，5）或（32，−2+192）或（32，−2−192）．
21．（2023•长沙四模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，OA＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆半径；
（3）如图2，C与△ABC的外心所在的直线交抛物线于点E，点P是抛物线上的一个动点（不与A、B、C重合），作直线PM⊥x轴于点M，交直线CE于点N，直线CE交x轴于点H，连接BP，是否存在点P，使△BPM与△MNH相似？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在y＝ax2+2ax+c中，令x＝0得y＝c，
∴C（0，c），
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0），B（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得：
ac2−2ac+c=0a+2a+c=0，
解得a=−1c=3或a=13c=−1（舍去），
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设点D是△ABC的外心，连接DA，DB，DC，如图：
由y＝﹣x2﹣2x+3得C（0，3），
∵点D是△ABC的外心，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴D的横坐标为−3+12=−1，
设D（﹣1，t），
∵DB＝DC，
∴（﹣1﹣1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（t﹣3）2，
解得t＝1，
∴D（﹣1，1），
∴DB=(−1−1)2+(1−0)2=5，
∴△ABC外接圆半径为5；
（3）存在点P，使△BPM与△MNH相似，理由如下：
如图：
设直线DC解析式为y＝kx+3，将D（﹣1，1）代入得：
﹣k+3＝1，
解得k＝2，
∴直线DC解析式为y＝2x+3，
解y=2x+3y=−x2−2x+3得x=0y=3或x=−4y=−5，
∴E（﹣4，﹣5）；
由y＝2x+3得H（−32，0），
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，0），N（m，2m+3），
∴PM＝|﹣m2﹣2m+3|，BM＝|m﹣1|，MN＝|2m+3|，MH＝|m+32|，
∵∠BMP＝90°＝∠NMH，
∴要使△BPM与△MNH相似，只需PMMN=BMMH或PMMH=BMMN，
即|−m2−2m+3||2m+3|=|m−1||m+32|或|−m2−2m+3||m+32|=|m−1||2m+3|，
当−m2−2m+32m+3=m−1m+32时，
解得m＝﹣5或m＝1（与B重合，舍去）或m=−32（增根，舍去），
∴P（﹣5，﹣12）；
当−m2−2m+32m+3=−m−1m+32时，
解得m＝﹣1或m＝1（与B重合，舍去）或m=−32（增根，舍去），
∴P（﹣1，4）；
当−m2−2m+3m+32=m−12m+3时，
解得m=−72或m＝1（与B重合，舍去）或m=−32（增根，舍去），
∴P（−72，−94），
当当−m2−2m+3m+32=−m−12m+3时，
解得m=−52或m＝1（与B重合，舍去）或m=−32（增根，舍去），
∴P（−52，74），
综上所述，P的坐标为（﹣5，﹣12）或（﹣1，4）或（−72，−94）或（−52，74）．
22．（2023•长沙四模）自国家发布新冠防疫政策新十条政策以来，核酸自测抗原检测试剂盒需求量上升，价格急剧上涨，据市场调研发现，某品牌抗原检测试剂盒经过连续两次价格的上调，由每盒60元涨到了每盒101.4元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在政府有关部门大力调控下，该品牌抗原检测试剂盒的价格下调回到了每盒80元，在线上平台发售时发现，定价为每盒80元时，该品牌一天可以卖出300盒，每降价5元，一天可以多卖出50盒．当销售额为每日3万元时，要让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
（3）在（2）的条件下，该品牌抗原检测试剂盒成本为每盒40元，在降价的情况下，定价多少时每日利润最大？
【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：60（1+x）2＝101.4，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．
答：这两次价格上调的平均增长率为30%；
（2）设降价5m元，
则（80﹣5m）（300+50m）＝30000，
解得m＝4或m＝6，
∵让顾客获得更大的优惠，
∴m＝6，
∴5m＝5×6＝30，
答：应该降价30元；
（3）设定价为每盒y元，每日利润为w元，
根据题意得：w＝（y﹣40）（300+80−y5×50）
＝（y﹣40）（1100﹣10y）
＝﹣10y2+1500y﹣44000
＝﹣10（y﹣75）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当y＝75时，w有最大值，
答：定价为每盒75元时每日利润最大．
23．（2023•绥宁县模拟）为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（x≥90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：
（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y＝ ﹣10x+1500 （含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；
（2）当售价x定为 115 元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为 12250 元；
（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？
【解答】解：（1）每周短袖T恤衫销量为y＝600﹣10×（x﹣90）＝﹣10x+1500，
∴y＝﹣10x+1500，
故答案为：﹣10x+1500；
根据题意得：Q＝（x﹣80）y＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+2300x﹣120000，
∴Q与x的函数关系式为Q＝﹣10x2+2300x﹣120000；
（2）Q＝﹣10x2+2300x﹣120000＝﹣10（x﹣115）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝115时，Q有最大值，最大值为12250，
故答案为：115，12250；
（3）当Q＝8500时，﹣10（x﹣115）2+12250＝8500，
解得x1＝95，x2＝135，
∵尽量给客户实惠，
∴x＝95．
答：这款T恤衫定价为95元/件．
24．（2023•绥宁县模拟）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x=−32．
（1）求该二次函数表达式；
（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于y=12x+2，当x＝0时，y＝2，即点C（0，2），
令y=12x+2＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=−32，则点B（1，0），
设二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）（x+4）＝a（x2+3x﹣4），
∵抛物线过点C（0，2），则﹣4a＝2，
解得：a=−12，
故抛物线的表达式为：y=−12x2−32x+2；
（2）存在，理由：
在Rt△AOC中，tan∠CAO=COOA=12，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，∠AOC＝∠MOB＝90°，
∴∠MOB＝∠CAO或∠ACO，
∴tan∠MOB＝tan∠CAO或tan∠ACO=12或2，
即OMBO=OM1=2或12，
解得：OM=12或2，
即点M（0，2）或（0，12）；
（3）存在，理由：
设点P（−32，t），
由点A、C、P的坐标得：PA2＝（−32+4）2+t2，AC2＝20，PC2=94+（t﹣2）2，
当PA＝AC时，则（−32+4）2+t2＝20，
解得：t=±552，
即点P的坐标为：（−32，552）或（−32，−552）；
当PA＝PC时，则（−32+4）2+t2=94+（t﹣2）2，
解得：t＝0，
即点P（−32，0）；
当AC＝PC时，则20=94+（t﹣2）2，
解得：t＝2±712，
即点P的坐标为：（−32，2+712）或（−32，2−712）．
综上，点P的坐标为：（−32，552）或（−32，−552）或（−32，0）或（−32，2+712）或（−32，2−712）．
25．（2023•岳阳县一模）如图，抛物线y=12x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，12x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，12m2−2m﹣6），
∴S△POC=12OC⋅xP=12×6⋅m=3m，
S△BOP=12OB⋅|yP|=3(−12m2+2m+6），
∵S△BOC=12OB⋅OC=12×6×6=18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（−12m2+2m+6）﹣18
=−32（m﹣3）2+272，
∴当m＝3时，S△PBC最大=272，此时P（3，−152）；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（12m2−2m﹣6）=−12m2+3m，
∴S△PBC=12PD⋅OB=12×6⋅(−12m2+3m)=−32（m﹣3）2+272，
∴当m＝3时，S△PBC最大=272，此时P（3，−152），
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x=−2+62=2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，12x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+27，x2＝2﹣27，
∴F2（2+27，6），F3（2﹣27，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+27，6）或（2﹣27，6）．
26．（2023•石峰区模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．
（1）当a＝2，求AB的长；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求a的值；
（3）如图2，当a＜2时，在第一象限的抛物线上有一点M（1，m），直线AM交y轴于点P，直线BM交y轴于点Q，OP•OQ＝12，求a的值．
【解答】解：（1）当a＝2，y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，即﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9，且函数的图像与x轴只有一个交点，
令y＝0，得到﹣x2﹣ax﹣3a+9＝0，
整理得：x2+ax+3a﹣9＝0，
∴Δ＝a2﹣4×1×（3a﹣9）＝0，
∴a2﹣12a+36＝0，
∴（a﹣6）2＝0，
∴a＝6；
（3）∵y＝﹣x2﹣ax﹣3a+9，M（1，m），
设A（x1，0），B（x2，0），
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
∴kx1+b=0k+b=m，
∴k=m1−x1b=mx1x1−1，
∴P(0，mx1x1−1)，
设直线BM的解析式为：y＝ex+f，
∴ex2+f=0e+f=m，
∴e=m1−x2f=mx2x2−1，
∴Q(0，mx2x2−1)，
∵OP⋅OQ＝12，
∴mx1x1−1⋅mx2x2−1=12，
∵x1，x2是方程﹣x2﹣ax﹣3a+9＝0的两个根，
∴x1x2＝3a﹣9，x1+x2＝﹣a，
∵M（1，m）在抛物线上，
∴﹣1﹣a﹣3a+9＝m，
∴m＝8﹣4a，
∵mx1x1−1⋅mx2x2−1=12，
∴m2x1x2x1x2−(x1+x2)+1=12，
∴(8−4a)2(3a−9)3a−9−(−a)+1=12，
解得：a=5+52或a=5−52，
∵a＜2，
∴a=5−52．
27．（2023•涟源市一模）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴为直线x＝1，且AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD．求证：CD⊥BC；
（3）点P是x轴上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且AB＝4，
则A（﹣1，0）、B（3，0），
由题意得：a−2+c=09a+6+c=0，解得：a=−1c=3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：
如下图，连接BD．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，顶点为D，
∴C（0，3），
当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，
即点D（1，4），
∵B（3，0），
由点B、C、D的坐标得：BC2＝OB2+OC2＝32+32＝18，
同理可得：CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
即CD⊥BC；
（3）解：
存在，理由：
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵B（3，0）、C（0，3），
∴3k+b=0b=3，解得：k=−1b=3．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∵D（1，4），
设点Q（m，﹣m+3），
当CD是对角线时，由中点坐标公式得：1＝x+m且3+4＝﹣m+3，
解得：m＝﹣4，x＝5，
则点P、Q的坐标分别为（5，0）、（﹣4，7），
经验证：CD≠PQ，故此种情况不存在；
当CP是对角线时，由中点坐标公式得：x＝1+m且3＝﹣m+3+4，
解得：m＝4，x＝5，
则点P、Q的坐标分别为（5，0）、（4，﹣1），
经验证：CP＝DQ，故此种情况存在；
当CQ是对角线时，由中点坐标公式得：x+1＝m且4＝﹣m+3+3，
解得：m＝2，x＝1，
则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（2，1），
经验证：CQ≠PD，故此种情况不存在；
∴点P、Q的坐标分别为（5，0）、（4，1）．