（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——6圆（含答案详解）

这是一份（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——6圆（含答案详解），共36页。

A．6B．63C．10D．103
2．（2023•长沙模拟）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．35°C．37.5°D．40°
3．（2023•长沙四模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（2023•绥宁县模拟）如图⊙O的直径AB⊥弦CD，连接OC，BC，若∠DCO＝20°，那么∠BCO的度数为（ ）
A．35°B．40°C．30°D．28°
5．（2023•石峰区模拟）如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
6．（2023•岳阳县一模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．25°B．60°C．65°D．75°
7．（2023•衡山县校级一模）在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二．填空题（共11小题）
8．（2023•长沙模拟）如图，在▱ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O与它的边BA，BC相切，射线BO交边AD于点E．当AB＝6，AD＝8时，DE的长等于 ．
9．（2023•零陵区模拟）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积等于 ．（结果保留π）
10．（2023•绥宁县模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD＝8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为 ．
11．（2023•长沙四模）如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA＝PB＝4cm，△PMN的周长是 ．
12．（2023•长沙模拟）为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示．经过测量，纸杯口的直径为8cm，母线长为10cm，则生产100个这种纸杯需要原纸 cm2．（结果保留π）
13．（2023•岳阳县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，切线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）若∠DAC＝30°，BC＝6，则弧BC的长为 ；
（2）若AF＝6，EF=25，则BE的长为 ．
14．（2023•岳阳楼区校级模拟）如图，BC为△ABC外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，①若∠ABC＝30°，⊙O的直径为4，则扇形AOC的面积为 ；
②若∠ABC＝30°，AC＝2，则DMAD= ．
15．（2023•石峰区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在劣弧AB上，则∠CFE的度数为 °．
16．（2023•零陵区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是 ．
17．（2023•绥宁县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为 ．
18．（2023•长沙模拟）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为 m．
三．解答题（共9小题）
19．（2023•长沙四模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．
（1）如图1，点C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP，DP．
①线段DP的最小值为 ，最大值为 ；线段OP的取值范围是 ；
②点O与线段DE （填“是”或“否”）满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
20．（2023•长沙四模）如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BE，连接OE，过点A作AD∥OE交⊙O于点D，连接ED交BA的延长线于点C．
（1）直线CE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝4，CD＝8，求DE的长．
21．（2023•长沙模拟）如图，点A，B，C是⊙O上三点，且点A是弦BC所对优弧的中点，过点A作EF∥BC．
（1）如图1，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，作射线BO交AC于点G，交⊙O于点I，交直线EF于点H，当AG＝3，CG＝5时，求sin∠AHB的值．
22．（2023•绥宁县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且FC=BC，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠CAD＝30°，CD=3，求AC的长．
23．（2023•石峰区模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．
24．（2023•涟源市一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝6，tanE=34，求BE的长．
25．（2023•长沙一模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为AC的中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE是半圆O的切线．
（2）若OC＝3，CE＝2，求AC的长．
26．（2023•衡山县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA=12，BD＝1，求BE的长．
27．（2023•凤凰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．
2023年湖南省中考数学冲刺专题练——6圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2023•长沙模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，AB＝12，则BD的长为（ ）
A．6B．63C．10D．103
【解答】解：连接AD，如图，
∵OC交⊙O于点D，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，
∵∠B=12AOC＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AD=12AB=12×12＝6，
∴BD=3AD＝63．
故选：B．
2．（2023•长沙模拟）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠OAB＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．35°C．37.5°D．40°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝55°，
∴∠OBA＝∠OAB＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝70°，
∴∠C=12∠AOB＝35°．
故选：B．
3．（2023•长沙四模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
∴这个正多边形的边数=360°40°=9．
故选：C．
4．（2023•绥宁县模拟）如图⊙O的直径AB⊥弦CD，连接OC，BC，若∠DCO＝20°，那么∠BCO的度数为（ ）
A．35°B．40°C．30°D．28°
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠DCO+∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC=12∠AOC＝35°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠ABC＝35°．
故选：A．
5．（2023•石峰区模拟）如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，
∴∠A＝∠BDC＝40°，
故选：D．
6．（2023•岳阳县一模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．25°B．60°C．65°D．75°
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝25°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°．
故选：C．
7．（2023•衡山县校级一模）在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB=12×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC=OA2−AC2=52−42=3，
即圆心O到AB的距离为3．
故选：A．
二．填空题（共11小题）
8．（2023•长沙模拟）如图，在▱ABCD中，∠ABC＜90°，⊙O与它的边BA，BC相切，射线BO交边AD于点E．当AB＝6，AD＝8时，DE的长等于 2 ．
【解答】解：如图，过O分别作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，
∵⊙O与它的边BA，BC相切，
∴OP＝OQ，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AB＝6，AD＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣6＝2．
故答案为：2．
9．（2023•零陵区模拟）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积等于 24π ．（结果保留π）
【解答】解：它的侧面展开图的面积=12•2π•4•6＝24π．
故答案为：24π．
10．（2023•绥宁县模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD＝8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为 35 ．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD=12×8＝4，OC=12AB=12×10＝5，
∴OE=OC2−CE2=52−42=3，
∴sin∠OCE=OEOC=35．
故答案为：35．
11．（2023•长沙四模）如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA＝PB＝4cm，△PMN的周长是 8cm ．
【解答】解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，
∴MA＝MD，ND＝NB，
∴△PMN的周长
＝PM+PN+MD+ND
＝PM+MA+PN+NB
＝PA+PB
＝4+4
＝8（cm）．
故答案为：8cm．
12．（2023•长沙模拟）为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示．经过测量，纸杯口的直径为8cm，母线长为10cm，则生产100个这种纸杯需要原纸 4000π cm2．（结果保留π）
【解答】解：∵纸杯口的直径为8cm，
∴纸杯口的周长为π×8＝8π（cm），
∵母线长为10cm，
∴纸杯展开后所得扇形的面积=12×8π×10=40π（cm2），
∴生产100个这种纸杯需要原纸为100×40π＝4000π（cm2）．
故答案为：4000π．
13．（2023•岳阳县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，切线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）若∠DAC＝30°，BC＝6，则弧BC的长为 2π ；
（2）若AF＝6，EF=25，则BE的长为 42 ．
【解答】解：（1）∵DP是圆的切线，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠BOC＝∠OAC+∠OCA＝30°+30°＝60°．
∵OC＝OB，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∴弧BC的长为60π×6180=2π．
故答案为：2π；
（2）连接OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵弦CE平分∠ACB，
∴∠ECB=12∠ACB＝45°，
∴∠BOE＝2∠ECB＝90°．
∵OB＝OE，
∴BE=2OE．
设圆的半径为r，则OA＝OE＝OB＝r，
∴OF＝AF﹣OA＝6﹣r，
在Rt△OEF中，
∵OF2+OE2＝EF2，
∴(6−r)2+r2=(25)2，
解得：r＝2（不合题意，舍去）或r＝4．
∴OE＝4，
∴BE＝42．
故答案为：42．
14．（2023•岳阳楼区校级模拟）如图，BC为△ABC外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，①若∠ABC＝30°，⊙O的直径为4，则扇形AOC的面积为 2π3 ；
②若∠ABC＝30°，AC＝2，则DMAD= 3−1 ．
【解答】解：①∵∠ABC＝30°，AC=AC，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∴扇形AOC的面积为60°×π×22360°=2π3；
②如图所示，作ME⊥AC交AC于点E，作CF⊥AD交AD于点F，
∵∠ABC＝30°，AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AC＝4，
∴AB=BC2−AC2=23，
∵点M为△ABC的内心，
∴ME是△ABC内切圆的半径，
∴ME=2+23−42=3−1，
∵点M为△ABC的内心，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝45°，AM=2ME=6−2，
∵CF⊥AD，
∴∠ACF＝45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵AC＝2，
∴AF=CF=2，
∵AC=AC，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴CD=2CF=22，
∴DF=CD2−CF2=6，
∴AD=AF+DF=2+6，
∴DM=AD−AM=2+6−(6−2)=22，
∴DMAD=222+6=3−1．
故答案为：2π3，3−1．
15．（2023•石峰区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在劣弧AB上，则∠CFE的度数为 72 °．
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CDE=(5−2)×180°5=108°，
∵四边形CDEF是⊙O外接四边形，
∴∠EFC+∠CDE＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，
故答案为：72．
16．（2023•零陵区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是 25° ．
【解答】解：∵∠BOC＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°，
∴∠D=12∠AOC＝25°，
故答案为：25°．
17．（2023•绥宁县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为 50° ．
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°．
故答案为50°．
18．（2023•长沙模拟）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为 4 m．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD=12AB＝8，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD=102−82=6，
∴CD＝10﹣6＝4（m）．
故答案是4．
三．解答题（共9小题）
19．（2023•长沙四模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．
（1）如图1，点C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP，DP．
①线段DP的最小值为 3 ，最大值为 2 ；线段OP的取值范围是 32≤OP≤3 ；
②点O与线段DE 是 （填“是”或“否”）满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵点C（3，0），E（0，1），
∴OE＝1，OC=3，
∴EC＝2，∠ECO＝30°，
当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是3，
Rt△OPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；
如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，
Rt△DEP中，∠OEC＝60°，
∴∠EDP＝30°，
∵DE＝2，
∴cs30°=DPDE，
∴DP2=32，
∴DP=3，
∴当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，
线段DP的最小值为3，最大值为2；线段OP的取值范围是32≤OP≤3；
故答案为：3，2，32≤OP≤3；
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，
故点O与线段DE满足限距关系；
故答案为：是；
（2）∵点C（3，0），E（0，1），
∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，
∴3k+m=0m=1，解得k=−33m=1，
∴直线CE的解析式为：y=−33x+1，
∵FG∥EC，
∴设FG的解析式为：y=−33x+b，
∴G（0，b），F（3b，0），
∴OG＝b，OF=3b，
当0＜b＜33时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1−3b，最大距离为1+3b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+3b≥2（1−3b），
解得b≥39，
∴b的取值范围为39≤b＜33；
当1≤3b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当3b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为3b﹣1，最大距离为3b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴3b+1≥2（3b﹣1），
而3b+1≥2（3b﹣1）总成立，
∴3b＞6时，线段FG 与⊙O满足限距关系，
综上所述，点G的纵坐标的取值范围是：b≥23；
（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，
两圆的距离的最小值为2r﹣6，最大值为2r+6，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+6≥2（2r﹣6），
解得r≤9，
故r的取值范围为0＜r≤9．
20．（2023•长沙四模）如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BE，连接OE，过点A作AD∥OE交⊙O于点D，连接ED交BA的延长线于点C．
（1）直线CE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝4，CD＝8，求DE的长．
【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切，理由如下：
连接DO，
∵DO＝AO，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD∥OE，
∴∠OAD＝∠BOE，∠ODA＝∠DOE，
∴∠BOE＝∠DOE，
OE=OE∠BOE=∠DOEOB=OD，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OBE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
所以直线CE与⊙O相切．
（2）连接DO，设DO＝AO＝x，
根据勾股定理，得x2+82＝（x+4）2，
解得x＝6，
∴DO＝AO＝6，
∴AD∥OE，
∴CAAO=CDDE，
∴46=8DE，
解得：DE＝12．
21．（2023•长沙模拟）如图，点A，B，C是⊙O上三点，且点A是弦BC所对优弧的中点，过点A作EF∥BC．
（1）如图1，求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，作射线BO交AC于点G，交⊙O于点I，交直线EF于点H，当AG＝3，CG＝5时，求sin∠AHB的值．
【解答】（1，）证明：如图1，连接AO，BO，CO，
∵点A是弦BC所对优弧的中点，
∴AB=AC，
∴AB＝AC，
∵BO＝CO，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AO⊥EF，
∵AO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AO，并延长交BC于M，
∵AM⊥BC，AB＝AC，
∴BM＝MC，
∵EF∥BC，
∴∠MBO＝∠AHB，△AGH∽△CGB，
∴AHBC=AGCG=35，
∴AH2MB=35，
∴AHMB=65，
∵△AOH∽△MOB，
∴MOOA=BMAH=56，
∴MOOB=56，
∴sin∠MBO=MOOB=56
∴sin∠AHB＝sin∠MBO=56．
22．（2023•绥宁县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且FC=BC，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠CAD＝30°，CD=3，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵FC=BC，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，
∵∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2∠CAD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC=12AB，
∵CD⊥AD，∠CAD＝30°，CD=3，
∴AC＝2CD＝23，
∴AB2−(12AB)2=(23)2，
∴AB＝4或AB＝﹣4（舍去），
∴OA＝2，
∴AC的长=120π×2180=43π．
23．（2023•石峰区模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，
∴BC∥EF；
（2）证明：
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴CE=BE，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（3）解：如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，OF＝x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴⊙O的半径为15；
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴BEAE=BFEF=1020=12，
∴AE＝2BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即BE2+（2BE）2＝302，
解得：BE＝65，
∴AE＝125，
∵BC∥EF，
∴ABAF=ADAE，
即3040=AD125，
∴AD＝95．
24．（2023•涟源市一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝6，tanE=34，求BE的长．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过原点，
∴OP垂直平分AC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△OAP和△COP中，
OA=OC∠AOP=∠COPOP=OP，
∴△OAP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECB+∠BCO＝∠BCO+∠ACO，
∴∠ECB＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB，
∵∠E＝∠E，
∴△ECB∽△EAC，
∴EC：EA＝EB：EC，
∴EC2＝EA•EB，
∵tanE=APAE=34，PA＝PA＝6，
∴AE＝8，PE=AP2+AE2=62+82=10，
∴EC＝PE＝PC＝4，
∴BE=168=2．
25．（2023•长沙一模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为AC的中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE是半圆O的切线．
（2）若OC＝3，CE＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：连结OD交AC于点F，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圆O的切线；
（2）解：∵OC＝3，CE＝2，
∴OE＝5，OD＝OC＝3，
在Rt△ODE中，DE=OE2−OD2=4，
∴csE=DEOE=45，
∵AC∥DE，
∴∠FCO＝∠E，
∴cs∠FCO=45，
∴FC=OC⋅cs∠FOC=125，
∵OD⊥AC，
∴AC=2FC=245．
26．（2023•衡山县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA=12，BD＝1，求BE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD是的⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵BD⊥CD
∴∠D＝90°，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠ABE＝∠COB，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠ABE＝2∠A；
（2）解：连接CE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠E＝∠BCD，
在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD=tanA=12，
∴CD＝2BD＝2，
在Rt△CDE中，tanE=CDDE=tanA=12，
∴ED＝2CD＝4，
∴BE＝DE﹣BD＝4﹣1＝3．
27．（2023•凤凰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAO＝30°，BC＝2，
∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴OB=12AB＝2，
∴BC的长=60⋅π×2180=23π．