2025北京燕山初三（上）期末数学试卷和参考答案

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燕山地区 2024—2025 学年第一学期九年级期末质量检测
2025.1
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C B A C D C D C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9．(1，5)；上 10．20° 11．m< 43 12．AT⊥BA.（答案不唯一）
13．a=5， b=3 14． 2 15．3 16． 12 ,4
三、解答题(本题共 68 分，第 17-19 题，每小题 5 分，第 20 题 6 分，第 21-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26-28 题，每小题 7 分)
17． 2
解：由 2 得； 2 ································1 分
a=1 , b= -4 , c = -1.

b2 4ac ································2 分 16 4 1(1)
20x
2
2
2
2
2
4x 4 5
4x 4 5 x 4x 1 0
································3 分
x 2 5 ，x 2 5 ································5 分
x(x 2) x 2 0
1 2x，2 1
由垂径定理得； ，································3分
b b 4ac 4 20
2a 2
1 2
18．解： 由 得；
(x 2)(x 1) 0 ································3 分
································5 分
（其他方法酌情给分） 19．解：∵CD=8 ，OC=5
∴OD=3，连接OA，∴OA=5. ································1分
OA OD AD 5 3 4
∴AB=2OA=8. ································4 分
∴此时水面的宽AB是8米． ································5分
20．（1）
················································2分
（2）解：∵点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
y =a(x-1)²+3 (0≤x≤3). ·····························4分
由这段抛物线经过点(3，0)，可得 0=a(3-1)2+3,
解得a= 34 ,
因此y = 34 (x-1)²+3 (0≤x≤3). ·····························5分
9
4
也就是说，水管应2.25m长. ·····························6分
21． 解：画树状图为：
a b 3 0
由题意得， ·····························································1 分
又当x=0时，y = =2.25，
解得， b 2 c 3
………………………3 分
由树状图可知，所有可能出现的结果共有 9 种，其中两次抽取的卡片上都是“立春”的结果有 4 种，
所以 P（两张都是“立春”）＝ 49 ． ………………………5 分
22．（1）∵设二次函数的解析式为 y ax2 bx c( a 0 )
a b 3 4
a 1
∴ y x2 2x 3 ········································································· 2 分 （2）画图略························································································· 4 分
4 y 5 ················································································ 5 分
23．解：（1）补全图形如下图； …………… 2 分
（2）90，直径所对的圆周角是直角；
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． …………… 5 分
（1）补全图形如下图
……………3 分
（2）① ；
2
点 B' 的坐标为 （-1,3） ． …………… 5 分 25．证明：(1)∵点 A、C、D 为O 的三等分点，
∴ DA CD CA , ∴AD=DC=AC. …………… 1 分
5
1 1
2
2 2
∵AB 是 O 的直径，
∴AB⊥CD. …………… 2 分
∵过点 B 作 O 的切线 BM，
∴BE⊥AB.
∴CD / /BM . …………………………3 分
连接 DB.
∵AD=DC=AC，AB⊥CD，得∠EAB=30°，∴∠AEB=60°．

∴得出∠DBE=30°，在 Rt△DBE 中，由 DE=m，解得 BE=2m，DB= m. …………………4 分

又∵在 Rt△ADB 中，∠DAB=30°，DB= m


∴AB=2 m，OB= m. …………………5 分
∴在 Rt△OBE 中， sOBE BE OB 2 3 3m . ……………………………6 分
26．解：（1） x 1； （0，4）······································································· 2 分
（2）∵抛物线的顶点恰好在 y = x 上，对称轴为 x 1；
∴抛物线的顶点坐标为（1,1）．······················································ 3 分 当抛物线过点（1,1）时，a=3
∴抛物线的解析式为 y 3x2 6x 4 ················································4 分 （2）A（m-1, y1）关于对称轴 x=1 的对称点为 A(3 m，y1)
B（m,y2）关于对称轴 x=1 的对称点为 B(2 m，y2 )
C（m+2，y3）关于对称轴 x=1 的对称点为C(m，y3 ) …………………5 分
因为 y＝ax2﹣2ax+4（a>0）的对称轴 x=1，所以 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，x＞1 时，y 随 x 的增大而增大．又 m-1＜ m ＜m+2
m≤1 时，A（m-1，y1），B（m，y2）在对称轴左侧，C（m+2，y3）在对称轴右侧，点 C 的对称
点为C(m，y3 ) ．
因为 y3＞y1＞y2，所以-m＜ m-1 ＜m，得出 12 m 1． …………………6 分
m＞1 时，A（m-1，y1）在对称轴左侧，B（m，y2 ）， C（m+2，y3）在对称轴右侧，点 A 的对
称点为 A(3 m，y1) ．
AB AC
BAD CAE
AD AE
1 3 3
2 2 2
综上，m 的取值范围是 m
因为 y3＞y1＞y2，所以 m＜3-m ＜m+2，得出 m ． 即1 m …………7 分
1 3
2 2
证明（1）CE//AB. …………… 1 分
连接 AE.
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE 是等边三角形.
∴AE=AD，∠DAE=60°.
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC， …………… 2 分
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE.
∴∠ACE=∠ABD=60°.
∵∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠ACE.
∴CE//AB. …………………………3 分

DG (AG DC) …………………………4 分
点Ｄ 是线段ＢＣ 延长线上一点(不与Ｂ、Ｃ 重合)， 过 Ｄ 过 ＤＧ⊥ＡＢ，垂足为 Ｇ，

①当点Ｇ在线段 AB 上时，DG= 3 （AG+DC） …………………………5 分
如图，在 BA 延长线上截取 AH=CD，连接 DH.
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC，
∵AH=CD，
∴BH=BD.
∵∠ABC=60°,
∴△BHD 是等边三角形.
∴DH=BD，∠DHG=60°.
∵DG⊥AB，垂足为 G，
∴∠DGH=90°. ∴∠HDG=30°.
∴HD=2GH

由勾股定理的，DG= 3 GH
∵GH=AG+AH，AH=DC，
3 5

∴GH=AG+DC. DG= 3 （AG+DC）

∴DG= 3 （AG+DC） …………………………6 分

点Ｇ在线段 AB 延长线上时，DG= 3 （DC-AG） ，

同上，截取 AH=CD，连接 DH，同理可证，DG= 3 （DC-AG） …………………………7 分
28. （1）H； ………………………………………….……1 分
（2）①若点 P 在第一象限，如图 OP 与⊙M 的位置关系是：相切. ………………………..……2 分
∵AB 为⊙M 的直径，
∴ M 为 AB 的中点.
∵A（1，0）, B（4，0），
AM 2 . ∴ OM 2 .
连接 PM.∵P 为⊙M 的“图象关联点”，
∴点 P 为抛物线的顶点.
∴ 点 P 在抛物线的对称轴上.
∴PM 是 AB 的垂直平分线.
∴PM⊥AB.
过点 M 作 MN⊥OP 于 N.
SOMP 2OM PM 2OP MN. ……….…………………………3 分
∵ 3OP 5PM
∴ MN OP 2 AM .
∴OP 与⊙M 相切.
同理，若点 P 在第二象限，OP 与⊙M 也是相切 ……….…………………………4 分
②抛物线的顶点坐标是（ ， ）或（ ， ） ….…………………………5 分
（3） a ……………………………………………………7 分
1 1
OM PM 3
5 15 5 15
2 8 2 8
8 2
9 3