吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,直线,,若,则m的值为( )
A.B.C.D.或
2．某学校高二年级数学联考成绩,如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”,那么在参加考试的学生中随机选择一名,他的数学成绩为“良好”的概率是( )
（提示：若,则,,）=0.9973）
3．2025年的寒假就要到了,甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游,除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外,延边打卡也火爆全国,则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有( )
A.1800B.1080C.720D.360
4．某地根据以往数据,得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为,当地人小王16岁时身高167cm,他父亲身高180cm,则小王身高的残差为( )
A.B.C.D.
5．在平面直角坐标系中,已知两点,,点P为动点,且直线与的斜率之积为-2,则点P的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
6．已知,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的左、右焦点分别为,,直线l经过,且与C交于A,B两点,若,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知x,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知椭圆的焦距是,则m的值可能是( )
A.B.13C.D.19
10．下列命题正确的是( )
A.线性回归直线不一定经过样本点的中心
B.设,若,,则
C.两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1
D.一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中不放回地随机摸出20个球作为样本,用随机变量X表示样本中黄球的个数,则服从二项分布,且
11．已知,双曲线的左、右焦点,点P在C上,设的内切圆圆心为,半径为r,直线交于Q,若,,,则( )
A.B.圆心I的横坐标为1
C.D.C的离心率为2
三、填空题
12．已知圆和圆交于A,B两点,则直线的方程是_____________.
13．以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,其变换后得到线性回归方程,则_______________.
14．已知抛物线的焦点为F,直线,点A,点B分别是抛物线C、直线l上的动点,若点B在某个位置时,仅存在唯一的点A使得,则满足条件的所有的值为_______________.
四、解答题
15．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查,将收集的数据分成,,,,,六组,并作出频率分布直方图（如图）,将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据,将下面的列联表补充完整;
(2)根据(1)中所得数据,判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
附：.
16．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线与抛物线C交于A,B两点,且A与B的横坐标之和为4,求k的值及.
17．某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动,在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同）,抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球,若是红球,则放回袋中;若是白球,则不放回,再在袋中补充一个红球,这样反复进行3次,若最后袋中红球个数为X,则每位员工颁发奖金X万元：
方案二：从袋中一次性摸出3个球,把白球换成红球再全部放回袋中,设袋中红球个数为Y,则每位员工颁发奖金Y万元.
(1)若用方案一,求X的分布列与数学期望;
(2)比较方案一与方案二,求采用哪种方案,员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由;
18．已知椭圆的右焦点为,且该椭圆过点,直线l交椭圆E于A,B两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若AB的中点坐标为,求直线l的方程;
(3)若直线l方程为,过A、B作直线的垂线,垂足分别为P、Q,点R为线段PQ的中点,求证：四边形ARQF为梯形.
19．组合数有许多丰富有趣的性质,例如,二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质,请帮他完成下面的探究.
(1)计算：,,并与,比较,你有什么发现?写出一般性结论并证明;
(2)证明：;
(3)利用上述(1)(2)两小问的结论,证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：若,则,解得或,
故选：D.
2．答案：B
解析：因为,所以,,
所以.
故选：B.
3．答案：C
解析：第一步,先选恰有个同学所选的旅游地相同,有种;
第二步,从6个旅游地中选出个排序,有种,
根据分步计数原理可得,方法有种.
故选：C.
4．答案：A
解析：当时,得,则,
所以小王身高的残差为.
故选：A.
5．答案：D
解析：设,,,
,,
由,得.
即.
动点P的轨迹方程为.
故选：D.
6．答案：B
解析：,则.
由于,则.
则,
则.
故选：B.
7．答案：A
解析：由题意知,,且A,B都在双曲线的右支上.
设,则,,.
在中,,得,
则,.
在中,,
即,得.
所以双曲线C的离心率为.
故选：A.
8．答案：C
解析：可看成点到点的距离的平方,
点在直线的图象上,点在反比例函数的图象上,
问题转化为在图象上找一点,使得它到直线的距离的平方最小.
注意到反比例函数的图象关于直线对称,直线也关于对称,
观察图象知点P到直线的距离最短,,
最短距离为,所以的最小值为.
故选：C.
9．答案：BD
解析：由题知或,
解得或.
故选：BD.
10．答案：BC
解析：对于A,线性回归直线一定经过样本点的中心,故A错误;
对于B,由,,,得,解得,故B正确;
对于C,两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1,故C正确;
对于D,由于是不放回地随机摸出20个球作为样本,
所以由超几何分布的定义知X服从超几何分布,得,故D错误.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：对于A,因为,且,Q,三点共线,则,,A正确;
对于B,设切点分别为E,F,G,则,
又,,,点E为右顶点,圆心的横坐标为2,B错误;
对于C,因为,,由角平分线定理,得,
又,则,由,得,
因此,得,,则为等腰三角形,
所以,解得,C正确;
对于D,离心率,D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为圆和圆,
所以直线的方程为,整理得到,
故答案为：.
13．答案：
解析：,即,
,.
故答案为：.
14．答案：或
解析：设,,抛物线C的焦点为,
由抛物线定义,,
,
,,
,
,
又,即,代入上式可得,
,
,
①当时,可得,解得,
由,得,
此时方程只有一个解,满足题意,
,
②当时,
由,
解得,
代入,
可得,
求得,
可得,
综上所述,的值为或.
故答案为：或.
15．答案：(1)列联表见解析
(2)不能认为“课外体育达标”与性别有关
解析：(1)由题意得“课外体育达标”人数为,则“课外体育不达标”人数为150.
补充完整的列联表如下：
(2),
在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.
16．答案：(1);
(2)1,8.
解析：(1)因为抛物线的焦点到其准线的距离为2,
所以,
的方程为.
(2)设,,则,,
两式相减得,
,
,
联立,消去x整理得,
,
∵直线过抛物线C的焦点,
.
17．答案：(1)分布列见解析,
(2)方案二,理由见解析
解析：(1)对于方案一,由条件可知X有可能取值为3,4,5,6,
,,
,,
的分布列为：
期望值.
(2)对于方案二,由条件可得Y值为3,4,5,6,
,,
,,
的期望值
所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.
18．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)由题得,
将代入得：
,
椭圆E的方程为.
(2)设,,则,,
且,,
两式相减得：,可得,
l方程为,即.
(3)由得：
,,且,
,
,
又直线的斜率存在,AF与RQ不平行,
四边形ARQF为梯形.
19．答案：(1),,
,证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1),,
规律：,证明如下：
的展开式中,的系数为,
同时,的展开式中的系数为,
所以.
(2)证明：的展开式中的系数为,
又,的展开式中的系数为
,
所以.
(3)证明：由(1)可知,
由(2)可知,
两式相减可得,
即.
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
女
110
合计
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
X
3
4
5
6
P