天津市和平区2024-2025学年高三上学期期末质量调查数学试卷(含答案)

这是一份天津市和平区2024-2025学年高三上学期期末质量调查数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，使得不等式“”成立的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
3．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，m，7，10，11，若该组数据的中位数是这组数据极差的，则该组数据的第45百分位数是( )
A.3B.4C.5D.7
5．若直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
6．设a，b，c分别为函数，，的零点，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图像向右平移后得到函数的图像，若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在正方体中，M是棱上的点，且.平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则( )
A.B.C.D.
9．已知双曲线的一条渐近线与抛物线的准线相交于点A，点A的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和.若过点的直线l交的左支于B，C两点，且（O为坐标原点），记点O到直线l的距离为d，则( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为_________.
11．在的二项展开式中，常数项为_________.
12．若曲线在点处的切线与x轴的交点横坐标为，则_________.
13．设，是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，.若在区间上，关于x的方程有5个不同的实数根，则实数k的取值范围是_________.
三、双空题
14．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是_________；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为_________.
15．在平行四边形中，，，与交于点O.设，，请用，表示_________；若，则_________.
四、解答题
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
(i)求的面积；
(ii)求的值.
17．如图，正方形所在的平面与平面垂直，点P为的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点D到平面的距离.
18．已知各项均为正数的数列，其前n项和为，与1的等差中项等于与1的等比中项.
(1)求数列的通项公式以及；
(2)若，数列的前n项和为；
(i)求证：；
(ii)若数列的前n项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为点和，点在E上且轴.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，若的面积为，，（O为坐标原点），求的最大值.
20．已知函数，，.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当k为奇数时，
(i)若函数在其定义域内是增函数，求实数m的取值范围；
(ii)设（p、q均为实数，且），若函数有两个零点，，记为与的平均数，证明：（其中是的导函数）
参考答案
1．答案：D
解析：，
令得，
令得，令得，
故，
，
所以.
故选：D
2．答案：C
解析：由，则有，
即，解得，
则是使得不等式“”成立的一个充分不必要条件.
B是必要不充分条件，A是既不充分也不必要条件，D为充要条件
故选：C.
3．答案：B
解析：对于A：若，，则或m与n异面，故A错误；
对于B：在内任取一点P，设点P与直线m确定一个平面，且，
由，由线面平行的性质定理，可得，
因为，所以，因为，所以，故B正确；
对于C：若且，则或n在内，故C错误；
对于D：若，，则或，故D错误.
故选：B.
4．答案：A
解析：该组数据的中位数为，极差为，
则有，即，
，则该组数据的第45百分位数是3.
故选：A.
5．答案：C
解析：，
令，
解得，
故直线l过定点，
又，故在圆C内，
，
故圆心，半径为4，
连接，当和l垂直时，最小，
其中，
由垂径定理得.
故选：C
6．答案：A
解析：
又由，得，
即函数与的交点横坐标就是a，
根据递增且过点，在递减，由图可得：，
又由，得，
即函数与的交点横坐标就是b，
根据递增且过点，在递减且过点，
由图可得：，
由于，根据幂函数，
解得，即，（也可以数形结合判断）
综上可知：，
故选：A.
7．答案：B
解析：由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，
则有，
则，又，则，
则，
当时，，
由函数在区间上单调递增，则有，
则有，
解得，
则当时，，
又，故.
故选：B.
8．答案：D
解析：延长，交的延长线于点G，
连接，交于点P，连接，
平面将此正方体分为两部分，
设两部分体积分别为和，
故台体体积为，剩余图形的体积为，
设正方体的棱长为4，则正方体体积为，
又，，故，
，，
台体的高为，
故台体的体积为，
故，
所以.
故选：D
9．答案：C
解析：由抛物线的准线方程为，则，
则双曲线的渐近线满足，即，
连接，取中点D，连接，
由，则，，则，
则，则，
即有，
化简得，
又，则，
即有，
即，则，
则，
又，故.
故选：C.
10．答案：-1
解析：由，
则，
故z的虚部为-1.
故答案为：-1
11．答案：112
解析：展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为
故答案为：112
12．答案：-1
解析：求导得：，
则曲线在点处的切线为，
令得：切线与x轴的交点横坐标为，
故
，
故答案为：-1
13．答案：
解析：当时，由，
得，，
又因为是奇函数，有，
且当时，则有，
即，，
而，
再利用的周期为4，的周期为2，
在区间上，可分别作出函数，的图像：
由图可知,函数和在上的图像有2个不同的交点,
故函数和在上的图像只有1个交点,
才可以满足在上在x轴上方两图像有3个交点.
所以圆心到直线的距离为，
解得,
因为两点，连线斜率为,
所以根据图形可知，当直线与半圆在上仅有一个交点，
则满足或.
故答案为：.
14．答案：；
解析：①设事件A表示使用已校正的气枪，事件B表示射中10环，
则，
故任取一支气枪射中10环的概率是；
②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：.
故答案为：①；②.
15．答案：；
解析：，
如图，B，O，F三点共线，
设，则，
所以，
C，O，E三点共线，
设，则，
所以，
所以，
解得，
所以，
又，即得.
故答案为：；.
16．答案：(1)
(2)(i)
(ii)
解析：(1)由已知及正弦定理，
可得①，
又，代入①式得，
，
整理得，
因为，所以，
，所以，
因为，所以；
(2)(i)因为，，
所以，
整理得，解得或（舍），所以c的值为3，
所以的面积为.
(ii)由正弦定理,得,有，
由余弦定理得，
又，，
故
.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
(3).
解析：(1)因为平面平面，
交线为，平面且，
所以平面，
又因为，所以.
以点B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系.
所以，，，
，，，.
因为，平面的法向量为，
，所以，
又因为平面，所以平面.
(2)因为，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面与平面的夹角为，，
，
则平面与平面夹角的余弦值为.
(3)因为，
则点D到平面的距离为.
18．答案：(1)，.
(2)(i)证明见解析
(ii).
解析：(1)由已知得，即，
当时，，
解得，当时，，
则，
即，
所以有，
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，；
(2)(i)，
则，
所以.
因为，所以，所以；
(ii)由(i)有，
所以，
，
则
，
所以.
若对任意，均有恒成立，
等价于恒成立，即恒成立，
设，则，
所以当时，当时，
所以的最大值为，故，
即实数的取值范围是：.
19．答案：(1)
(2)7
解析：(1)因为轴，所以，
将代入椭圆得到，又，
解得，
所以椭圆E的方程为；
(2)设直线l与椭圆E交于不同的两点、，
当直线l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，
则，，
由在椭圆上，则，
的面积为，即，
与联立，解得，，
，故，，
故；
当直线l的斜率存在时，设直线l为，
点O到直线l的距离为d，
联立方程组，
整理得到.
，
①，，
，，
，
其中，
则，
化简为，
，
即，则②，且满足.
将②式代入①式化简可得，
，
，
由②可知，解得，
故，
，
，
当且仅当，
即时等号成立，故.
综上，的最大值为7.
20．答案：(1)答案见解析
(2)(i)
(ii)证明见解析
解析：(1)当时，，
的定义域是.
，
当k为偶数时，，
所以在上单调递增；
当k为奇数时，，
令，解得，或，
在区间，上单调递增，
在区间上单调递减.
因此，当k为偶数时，在上单调递增，
当k为奇数时，在，上单调递增，
在上单调递减.
(2)当k为奇数时，，，
(i)因为在其定义域内是增函数，所以，
即，
即在恒成立，
所以，或
解得，
当k为奇数时，函数在其定义域内是增函数，
此时实数m的取值范围为.
(ii)，，
因为有两个零点，
则有，
②-①得，
即③，
所以，
将③式代入有
不妨设，令，
则，且.
因为，
由(2)(i)知在定义域上为增函数，
而，所以，即.
又因为，，所以.
综上，当k为奇数时得证.