中考数学第一轮复习16 尺规作图在压轴题中的应用练习（7种题型归类）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习16 尺规作图在压轴题中的应用练习（7种题型归类）（解析版），共67页。试卷主要包含了，连接AC、BC，【算一算】，已知线段a、b、c，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc159853884" 题型01 作线段
\l "_Tc159853885" 题型02 作角
\l "_Tc159853886" 题型03 作角平分线
\l "_Tc159853887" 题型04 作垂线
\l "_Tc159853888" 题型05 画圆
\l "_Tc159853889" 题型06 格点作图
\l "_Tc159853890" 题型07 与尺规作图有关的计算题
题型01 作线段
1．（2022·江苏常州·统考中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
(1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
【答案】(1)直角
(2)见详解
(3)小明的猜想正确，理由见详解
【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；
（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；
（3）当点C靠近点A时，设CM=13CA，CN=13CB，可证MN∥AB,推出MN=13AB=4cm，分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，可得MN=MP=NQ=4cm，进而可证四边形MNQP是菱形；当点C靠近点B时，同理可证．
【详解】（1）解：如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，
作图如下：
由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=12AB=6，
即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；
（3）解：小明的猜想正确，理由如下：
如图，当点C靠近点A时，设CM=13CA，CN=13CB，
∴ CMCA=CNCB=13,
∴ MN∥AB,
∴ MNAB=CMCA=13,
∴ MN=13AB=13×12=4cm．
分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，作MD⊥AB于点D，NE⊥AB于点E，
∴ MN=MP=NQ=4cm．
∵ MN∥AB,MD⊥AB，NE⊥AB，
∴ MD=NE，
在RtΔMDP和RtΔNEQ中，
MP=NQMD=NE，
∴ RtΔMDP ≅RtΔNEQHL，
∴ ∠MPD=∠NQE，
∴ MP//NQ，
又∵ MP=NQ，
∴ 四边形MNQP是平行四边形，
又∵ MN=MP，
∴ 四边形MNQP是菱形；
同理，如图，当点C靠近点B时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形，
故小明的猜想正确．
【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用上述知识解决问题．
2．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22﹣1、22+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．

【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组m+4b=12am+2b=8a，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
【详解】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝22+1﹣（22﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝22+1﹣1＝22，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；

（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．

+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
3．（2021·浙江金华·校联考二模）如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，试按要求作图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)如图1，在BC作一点D，使得BD=13BC；
(2)如图2，E为△ABC内一格点，M，N为AB，BC边上的点，使四边形EMBN为平行四边形；
(3)如图3，BC交网格线于点F，过点F作AB的平行线交AC于P．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】(1) 在点B右侧第一条竖格线画线，即可得到；
(2)过点E，在格点上画出与线段AB、BC相等的线，即可得到；
(3)点F是BC的三等分点，在AC上画出AC的三等分点，即可得到．
【详解】（1）解：如图：在点B右侧第一条竖格线画线，与BC的交点D即为所求的点
（2）解：四边形EMBN即为所求的平行四边形，
（3）解：过点F作AB的平行线交AC于点P
【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺作图，找到关键点是解决本题的关键．
4．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c-b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)4.5
【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a,EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB即为所求；
（2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长．
【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求：

（2）如图，

∵ a=6，b=4，c=7，
∴AB=a+c-b=6+7-4=9
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=12AB=12×9=4.5
即AC的长4.5．
【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
题型02 作角
5．（2022·江苏镇江·统考中考真题）操作探究题
(1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=180n°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=180n°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180n°所对的弧三等分吗？
探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180n°所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，⊙的圆周角∠PMQ=2707°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧CD（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)作图见解析；交流：60°-9×18028°=6028°，或19×18028°-2×60°=6028°；
探究：正整数n（n不是3的倍数），理由见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由操作可知，如果(60n)°可以用60°与(180n)°的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分
（2）将圆周14等分就是把∠PMQ=2707°所对的圆周角∠QOP所对弧三等分即可,给出一种算法：180°-540°7×2=180°7
【详解】（1）
操作：
交流：60°-9×18028°=6028°，或19×18028°-2×60°=6028°；
探究：设60°-k180n°=60n°，解得n=3k+1（k为非负整数）．
或设k180n°-60°=60n°，解得n=3k-1（k为正整数）．
所以对于正整数n（n不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180n°所对的弧三等分；
（2）
【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键．
6．（2023·广东广州·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，AD是⊙O的切线．
(1)尺规作图：过点B作AC的平行线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)证明：AF=BC；
(3)若⊙O的半径长为52，BC=4，求EF和BF的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)EF=855，BF=255，
【分析】（1）根据题意进行尺规作图即可；
（2）由BE∥AC可得∠ABF=∠BAC，从而得出AF=BC，最后证得结果；
（3）连接AO并延长交BC于点M，连接OC，先通过勾股定理求得CM及AC的长，再证四边形AEBC是平行四边形，再证△AEF∽△BEA，然后列比例式即可求得结果．
【详解】（1）作图如下图所示：
（2）∵BE∥AC，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BC，
∴AF=BC；
（3）如图，连接AO并延长交BC于点M，连接OC，
∵AB=AC，AM过圆心O，
∴AM⊥BC，
∴BM=MC=12BC=2，
∵在Rt△OMC中，OC=52,MC=2
∴OM=OC2-MC2=522-22=32，
∴AM=OA+OM=52+32=4，
∴AB=AC=AN2+MC2=42+22=25，
∵AD是⊙O的切线，
∴AM⊥AD，
∴AD∥BC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴BE=AC=25，AE=BC=4，∠AEB=∠ACB，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵四边形AFBC是圆内接四边形，
∴∠AFE=∠AEB，
∴∠AFE=∠BAE，
∴△AEF∽△BEA，
∴EFAE=AEEB，
∴EF4=425，
∴EF=855，
∴BF=25-855=255，
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、圆内接四边形性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△AEF∽△BEA是解本题的关键．
7．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A的大小保持不变，点D在斜边AB上，DE⊥AC，垂足为点E．如图2，把△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α0°