2025届上海市虹口区高三上学期期终学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷（解析版）

这是一份2025届上海市虹口区高三上学期期终学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷（解析版），共16页。
1. 已知集合，则_______．
【答案】
【解析】由，
则.
故答案为：.
2. 函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】函数的定义域是，
所以，解得：或.
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
3. 若，则_______．
【答案】
【解析】因为，
所以.
故答案为：
4. 在的二项展开式中，项的系数为_______．
【答案】
【解析】二项式的通项公式为，
令，可得，所以.
故答案为：.
5. 设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______．
【答案】
【解析】令，可得恒成立，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
6. 若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．（结果保留）
【答案】
【解析】因为圆锥的底面半径，高，设母线为，则，
所以该圆锥的侧面积为.
故答案为：
7. 已知非零复数满足，则的虚部为_______．
【答案】
【解析】设，则，
因为，，所以，解得或（舍去），
所以，则的虚部为.
故答案为：
8. 已知，则的解集是_______．
【答案】
【解析】因为，
设，则，所以，
所以，
不等式，即或，解得或，
综上可得的解集.
故答案为：
9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______．

【答案】
【解析】设分别为的中点，连接，
在正三角形ABC中，，，
在正方形BCDE中，，，，
所以为二面角的平面角，即，
.
故答案为：.

10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______．
【答案】
【解析】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，
因为是抛物线的焦点，∴
∵，∴，
在△中，由余弦定理得，
∴，
即，解得
又∵和是双曲线的左、右焦点，
∴，
∴.
故答案为：.
11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示）
【答案】
【解析】设第二次拍照飞船的实际上升了，
所以，解得：，
所以拍照时飞船的瞬时速度为：.
故答案为：.
12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个．
【答案】
【解析】由于，可以先将任意排列，
再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种，
再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种，
再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种，
以此类推，将插入该数列，共有种.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．
13. 已知，则“”是“”的（ ）条件．
A. 充要B. 充分非必要
C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
【答案】C
【解析】由题意，，
由，即，则或，
由，则，
所以“”是“”的必要非充分条件．
故选：C.
14. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A. 事件和事件独立B. 事件和事件互斥
C. 事件和事件对立D. 事件和事件互斥
【答案】B
【解析】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；
因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；
抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，
则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.
故选：B
15. 已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）．
A. B. C. ．D.
【答案】A
【解析】空间中的动点P满足，
则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，
将正四面体放入如图所示的正方体中，
则正四面体的内切球心O为正方体的中心，
设正方体的棱长为，所以，所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，
，
，
，
所以，
所以，
所以以为邻边的平行四边形面积为：
，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，，
又因为点到平面距离为，
以为邻边的平行六面体的体积为：.
故选：A.
16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
①存在等比数列以及锐角α，使成立．
②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题
【答案】A
【解析】对于①，若，，成等比数列，即，，
则，即，得，
在同一坐标系内作和的图象：

可知方程，有且只有一解，
所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题；
对于②，假设存在等差数列以及锐角α，
使成立，则必有，
当时，显然不成立；
当时，，，
所以，，
所以，
则，
，即，即，
因为，所以，，
不存在这样的使得等式成立；
当时，，，
所以，，
所以，
同理，
因为，所以，，
不存在这样使得等式成立；
所以②是真命题.
故选：A.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤．
17. 设．
（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
（2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．
解：（1）因为且函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
则，
由，则，
所以当，即时取得最大值.
（2）当时，，则，
因为，所以，则，解得；
因为，所以，
由余弦定理，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
18. 如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：连接交于点，连接，，
在四棱柱中，四边形，为平行四边形，
所以为的中点，
又、分别是、的中点，
所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）解：因为异面直线与所成角为，又，
所以即为异面直线与所成角，即，即，
又平面，
如图建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．
（1）求图2中这20名观众满意度评分的第35百分位数；
（2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
（3）已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
解：（1）∵，∴第35百分位数为第两个数的平方数
（2）由图1可知，图2中有2人，
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，
所以.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，
位于上的均值为73，方差为134.6，
所以，
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，
所以，解得：，
，
解得：.
这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．
（1）当时，求的值；
（2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．
解：（1）由椭圆方程知：，，，则，
设，，解得：，即，
由椭圆定义知：.
（2）由（1）知：，
，；
若存在点，使的面积为，
则点到直线的距离，
，
直线方程为：，即，
设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为，
，解得：或；
当时，直线方程为，
由得：，解得：或，
或，点或；
当时，直线方程为，
由得：，方程无解，
即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点；
综上所述：存在满足条件点，点坐标为或.
（3）由题意可设直线，，，
由得：，
，即，，，
设线段中点为，则，，
，又为中点，，
，，即，，
直线与轴和轴均不平行，，，
，整理可得：，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．
（1）判断是否具有性质，并说明理由；
（2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；
（3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．
（1）解：记，
显然，则其是偶函数.
当时，，故，
所以对恒成立，具有性质.
（2）解：，
当时严格单调递增，
当时严格单调递减.
若，则，函数在上严格单调递增，恒成立，
此时函数具有性质.
若，则函数在上严格单调递减，
，
故函数不具有性质.
若，则函数在上严格单调递增，
“对恒成立”等价于“对恒成立”，
而在上严格单调递减，在上严格单调递增，
故，即，
即.
综上，的取值范围是.
（3）证明：对任意及，
都有，
即对任意都有.
假设存在使得不具有性质，
则存在使得.
若，则.
当时，则在中取，
对任意有，
于是，
即.
而当时，，
故有，矛盾.
当时，记，则，
由得，
得，
故.
与当时同理可得矛盾.
若，则，与时同理可得矛盾.
综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质.