2024~2025学年上海市九年级上学期期末模拟卷（一模）02数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年上海市九年级上学期期末模拟卷（一模）02数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．下列命题是真命题的是
A．有一个角是的两个等腰三角形相似
B．有一个角是的两个等腰三角形相似
C．有一个角是的两个等腰三角形相似
D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似
【答案】C
【解析】．有一个角是的两个等腰三角形不一定相似，所以选项错误；
．有一个角是的两个等腰三角形不一定相似，所以选项错误；
．有一个角是的两个等腰三角形相似，所以选项正确；
．有一个角是钝角的两个等腰三角形不一定相似，所以选项错误．
故选：．
2．已知在中，，，，那么下列等式正确的是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，，，，
，
那么，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
故选：．
3．在四边形中，如果，，那么四边形是
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
【答案】D
【解析】，
，，
又，，且，
四边形是等腰梯形，
故选：．
4．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是25米，那么教学大楼的高是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，过点作，垂足为，则米，米，
在中，米，，
（米，米，
故选：．
5．抛物线的图象如图所示，下列判断中不正确的是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由所给图形可知，，，，
当时，函数值大于零，则．
故选：．
6．如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点、分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于
A．4B．1C．D．
【答案】B
【解析】设的重心是，连接，延长交于，，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，，
，
，
，，
，，
，，，，
，．故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
7．如果，那么 ．
【答案】
【解析】设，，，
，
故答案为：．
8．化简： ．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
9．如图，已知、、分别是的边、、上的点，，，、的面积分别为1、4，四边形的面积为 ．
【答案】4
【解析】，，
，，，
，，，
，，，
，，
，，，，
四边形的面积，
故答案为：4．
10．已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于 ．
【答案】
【解析】线段，是线段的黄金分割点，，
，，
故答案为：．
11．如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 ．
【答案】9
【解析】如图，连接，延长交于点．
点是的重心，
，为边上的中线，
，
边上的中线长为9．
12．在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．
【答案】
【解析】抛将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是：，即．
故答案为：．
13．如果点、在二次函数的图象上，那么 （填“”“ ”或“” ．
【答案】
【解析】点、在二次函数的图象上，
；；．
故答案为：．
14．如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，，，那么 ．
【答案】2
【解析】，，
，
，
，
解得．
故答案为：2．
15．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度，那么相邻两树间的坡面距离为 米．
【答案】
【解析】株距是4米，斜坡的坡度，
铅直高度是2米，
由勾股定理得：相邻两树间的坡面距离为：（米，
故答案为：．
16．如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ．
【答案】
【解析】，，，，
，，，，
过作交的延长线于，
，
，
，
，
，，，，，
，，，
，，，
故答案为：．
17．平面直角坐标系中，在轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与轴的“亲密点”．那么抛物线与轴的“亲密点”的坐标是 ．
【答案】，
【解析】，
抛物线开口向上，顶点为，
顶点关于轴的对称点为，
当时，，
抛物线与轴的交点为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
抛物线与轴的“亲密点”的坐标为，，
故答案为：，．
18．在△中，，，，点、分别在边、上，且（如图），将△沿直线翻折，翻折后点落在点处．如果，那么 ．
【答案】
【解析】作出△沿直线翻折后的△，
则，，
，
，
作的平分线，
则，
，
过点作交的延长线于点，
则，，，
，，
，，
在△中，，，，
由勾股定理，得，
，
在△中，
由勾股定理，得，
，
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分，10+10+10+10+12+12+14）
19．计算：．
解：原式
．
20．如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、．已知，，，．
（1）求的值；
（2）若的面积为16，求四边形的面积．
解：（1），，
，，，
，，；
（2），，，
，，
，，，
的面积是16，，
，，，
的面积，
四边形的面积．
21．如图，在中，，，平分交于点，交于点．
（1）求的长；
（2）联结交于点，设，，用、的线性组合表示向量 ， ．
解：（1），，
又平分，，，
，，，，；
（2），，；
，，，
，
故答案为：；．
22．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．
（1）求坡顶到地面的距离的长；
（2）求古塔的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：，，
解：（1）由题意得：，
斜坡的坡度为，
，
设米，则米，
在中，（米，
米，
，
解得：，
米．米，
坡顶到地面的距离的长15米；
（2）延长交于点，
由题意得：，米，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
（米，
，
，
解得：，
（米，
古塔的高度约为29米．
23．已知：如图，在△中，点、分别在边、上，，．求证：
（1）△△；
（2）．
（1）证明：，，，
，
，
△△；
（2）解：，，
，
△△，，
．．
，
△△，，．
24．如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点．
①求的值；
②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别联结、，如果，求点的坐标．
解：（1）由题意得，点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）①平移后的抛物线表达式为：，
令，解得：，
，则，解得：；
②由①抛物线的表达式为：，其对称轴为直线，
则点，
当时，，即点，，
点、的纵坐标相同，则轴，
由直线的表达式知，，则，
，
设，则，
在中，，解得：，
则点的坐标为：，．
25．如图1，在和中，，，，．
（1）求证：；
（2）已知点在边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点．
①如图2，设，，求与的函数关系式，并写出定义域；
②当是等腰三角形时，求的长．
（1）证明：，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：①，，，
，
，
，
即，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
即与的函数关系式为；
②由（2）可知，，
当是等腰三角形时，也是等腰三角形，
分三种情况：
、当时，，
，，
，
，
，
，
解得：；
、当时，，
，
解得：；
、当时，
如图3，过作于点，
则，
，
，
，
，，解得：；
综上所述，的长为或10或7．