2024~2025学年广东省六校高二上学期12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省六校高二上学期12月联考数学试卷（解析版），共19页。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知双曲线的离心率为 ，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，可得，
因此，双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
2. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（ ）
A. x+y-4=0B. x-y+4=0
C. x+y+4=0D. x-y-4=0
【答案】A
【解析】由，得，则的垂心为，外心为，
所以欧拉线的方程为，即.
故选：A
3. 已知抛物线准线为，则与直线的交点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于抛物线，，可得，所以，其准线方程为，
联立，解得，
因此，与直线的交点坐标为.
故选：D.
4. 如图，在平行六面体 中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则 （ ）
A. B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】在平行六面体 中，，
由点P是与的交点，得，
而，因此
.
故选：B
5. 在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A. 96πB. 84πC. 72πD. 48π
【答案】B
【解析】在中，，则，中点为的外心，
于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，则平面，，
令正的外心为，则为的3等分点，，
又平面，则，而，则四边形是矩形，
，因此球O的半径，
所以球O的表面积为.
故选：B
6. 已知点和圆，圆M上两点A，B满足 ，O是坐标原点. 动点 P在圆M上运动，则点 P到直线AB的最大距离为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】设满足的动点，则，
整理得，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
依题意，点在圆上，圆的圆心，半径为2，
因为，所以两圆相交，
则直线方程为，
点到直线的距离，所以点 P到直线AB的最大距离为.
故选：C
7. 已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可设：，
则
，
令，则，
注意到，则，
可知的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，可知在内的最小值为，
则，
整理得，解得，不合题意；
当，即时，可知在内的最小值为，符合题意；
综上所述：.
可得椭圆的离心率，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：D.
8. 已知矩形ABCD，，， M为边DC上一点且， AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则的最大值是（ ）
A. B. C. 23D.
【答案】A
【解析】在矩形，，，，
由可得由可得，
则，即，
可知折起后，必有，，平面，
故平面，
因为是确定的直线，故对任意点P， 都在同一个确定的平面内，
因为，可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上（如图），
由图知，当且仅当PB与该圆相切时，取到最大值，
则也取到最大值，
此时,，则的最大值为故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ）
A. 圆C上恰有1个点到直线l的距离为
B. |PA|的最小值是
C. |AB|存在最大值
D. |AB|的最小值是
【答案】ABD
【解析】圆的圆心，半径，
对于A，点到直线距离，
点到直线的距离的最小值为，
因此圆C上恰有1个点到直线l的距离为 ，A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，B正确；
对于CD，由垂直平分得，，
则，当且仅当时取等号，D正确，C错误.故选：ABD
10. 已知椭圆 的右焦点为F ，抛物线Γ顶点在原点并以F 为焦点，过F 的直线l交抛物线Γ于两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 当 时，直线l的倾斜角为或
C. 若，P 为抛物线Γ上一点，则的最小值为
D. 的最小值为9
【答案】AD
【解析】椭圆的右焦点，
则抛物线的方程为，其准线为，
对于A，，A正确；
对于B，直线不垂直于轴，设直线，由消去，
得，则，由，得，
联立解得，因此直线的斜率为，倾斜角不为，B错误；
对于C，过点作垂直于准线于，过作垂直于准线于，
由抛物线定义得，因此，
当且仅当是线段与抛物线的交点时取等号，C错误；
对于D，，
由选项B知，，则，
又，因此，
当且仅当时取等号，D正确.
故选：AD
11. 如图，三棱台 中，M 是AC上一点，平面ABC，∠ABC=90°，，则（ ）
A. 平面
B. 平面平面
C. 三棱台 的体积为
D. 若点P在侧面上运动（含边界），且CP与平面所成角正切值为4，则BP长度的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，令，连接，
由，，得，
由，得，则，
而平面，平面，则平面，A正确；
对于B，由平面，平面，得，而，
平面，则平面，在上取点，
使得，则，，因此平面，
即点在平面上的投影为线段BC上靠近点较近的3等分点，又点不在直线，
则过点与平面垂直的直线不在平面内，因此平面与平面不垂直，B错误；
对于C，依题意，，，
三棱台 的体积，C正确；
对于D，由选项B知，平面，而平面，则平面平面，
过作于，平面平面，则平面，
在直角梯形中，，在直角中，，
，由与平面所成角的正切值为4，得，，
因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确.

故选：ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，若，则实数a的值为_______
【答案】0或1
【解析】直线，
由，得，解得或，
所以实数a的值为0或1.
故答案为：0或1
13. 已知分别是椭圆 的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点 P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为_________.
【答案】
【解析】由为等腰三角形，，
则有，而，
，若，则，，
由，得，则，
在中，，
在中，，
，即，整理得，则.
故答案为：
14. 已知实数、满足，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】当，时，曲线方程可化为；
当，时，曲线方程可化为；
当，时，曲线方程可化为，即曲线不出现在第三象限；
当，时，曲线方程可化为，
作出曲线的图形如下图所示：
设，即，
由图可知，当直线与圆相切，且切点在第一象限时，
则，且，解得，
由因为双曲线、的渐近线方程均为，
当直线与直线重合时，，
所以，，故.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.
（1）求四面体ABCD 的体积;
（2）求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.
解：（1）在四面体ABCD中，在平面内过点作于，
由平面ABC⊥平面ACD，平面平面，得平面，
在中，，则，
于，在中，，，
则，
，所以四面体ABCD 的体积.
（2）由（1）知，平面，平面，则，
过作交于，连接，由，得，
而平面，则平面，又平面，
因此，是平面ABC与平面ABD所成的角，
由（1）知，，由，得，
所以平面ABC与平面ABD所成角的正切值.
16. 已知点、的坐标分别为、直线、相交于点，且它们的斜率之积是
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线与点轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点. 试判断点到直线的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解：（1）设点，则，
由题意可得，整理可得.
所以，点的轨迹方程为.
（2）由题意可知，直线、的斜率存在且都不为零，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，可得，则，
同理可得，
则原点到直线的距离为
.
因此，点到直线的距离为.
17. 如图,在斜三棱柱中，是边长为2的等边三角形，侧面为菱形，.
（1）求证：；
（2）若为侧棱上（包含端点）一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
解：（1）如图所示，
取的中点为为菱形，且，
所以为等边三角形，，
又为等边三角形，则，
所以平面，
又平面平面，
所以.
（2）如图所示，
在中，，由余弦定理可得
，所以，
由（1）得平面，因为平面，所以平面平面，
所以在平面内作，则平面，
以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，
设是平面的一个法向量，，
，则，即，
取得，
设，
，
设直线与平面所成角为，
则，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
18. 已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.
（1）求双曲线的方程：
（2）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（3）当时，求面积的最大值.
解：（1）根据题意，设双曲线的标准方程为，
由题意可得，解得，故双曲线的方程为.
（2）当时，
此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意；
当时，设，则直线的方程为，
设点Ax1,y1、Bx2,y2，则点，
由对称性可知，直线过轴上的定点，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则的斜率为，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程可得，
可得
，
此时，直线过定点.
综上所述，直线过定点.
（3）因为，则，且，
，
因为函数在上单调递减，
故当时，取最大值，且最大值为.
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．
（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；
（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．
解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角至点，，
则，由任意角的三角比定义，有和
所以，
将代入，得
（2）方法1：设点，的坐标分别为，，
由点的旋转坐标公式，有与
由直线的斜率，得，
，或
或，
，
、、．
方法2：由三角比的定义，可得点设点的坐标分别为，
即；同理可得的坐标为，
以下与解法1相同．
（3）设为方程的曲线上任意一点，将点绕坐标原点旋转角至点．
则，可解得①
注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结论．
将①代入方程，得，整理，得．
令，可解得，是该方程的解，
所以，将方程的曲线按顺时针旋转，所得曲线的方程为：
．故曲线是以和为焦点的双曲线．
又因为双曲线是由曲线绕坐标原点旋转而得到的，所以曲线也是双曲线．
将点按逆时针旋转，得到点，
所以，双曲线的焦点坐标为与．