2024~2025学年山东省德州市九年级上学期期末模拟卷数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年山东省德州市九年级上学期期末模拟卷数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且．
故选：C．
3. 已知抛物线y＝－(x－1)2＋4，下列说法错误的是（ ）
A. 开口方向向下B. 形状与y＝x2相同
C. 顶点(－1，4)D. 对称轴是直线x＝1
【答案】C
【解析】A、抛物线y＝−（x−1）2＋4，a＝−1＜0，抛物线开口向下，此选项正确；
B、抛物线y＝−（x−1）2＋4形状与y＝x2相同，此选项正确；
C、抛物线y＝−（x−1）2＋4顶点坐标是（1，4），此选项错误；
D、抛物线y＝−（x−1）2＋4对称轴是直线x＝1，此选项正确．
故选C．
4. 计算的值等于（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】sin60°+cs45°=+=.
故选B.
5. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：，解得，
故选：B．
6. 将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：长方体的长为：15，宽为：(30-2x)÷2=15-x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15(15-x)x=600
故选：C．
7. 如图，ΔABC是等边三角形，点，，分别在，，边上，且若，则与ΔABC的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是等边三角形
，，
，
，
∴，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
，，
．
故选：C．
8. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表：
下列结论正确的是（ ）
A. 足球飞行路线的对称轴是直线
B. 足球距离地面的最大高度为
C. 足球被踢出时落地
D. 足球被踢出时，距离地面的高度是
【答案】A
【解析】设该抛物线的解析式为，
代入表中前三对值得，解得，
∴，
∴足球飞行路线的对称轴是直线，故选项A的结论正确，符合题意；
当时，取得最大值，此时，
∴足球距离地面的最大高度为，故选项B的结论错误，不符合题意；
当时，得或，
∴足球被踢出时落地，故结论C的结论错误，不符合题意；
当时，，
∴足球被踢出时，距离地面的高度是，故选项D的结论错误，不符合题意；
故选：A．
9. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵点作的切线，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，已知等边三角形的边长是，为上一点，且，为上一点，，则线段的长是（ ）
A．B. C. D.
【答案】B
【解析】是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
11. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，
∵四边形内接于，
∴
∴
∵
∴，
∴是的直径，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴，,
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
12. 如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
，，，
，
由旋转可知：，，
，，三点共线，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______．
【答案】1
【解析】∵、是方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
14. 车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为__________．
【答案】30
【解析】设反比例函数为：，
由函数图像可知，函数过点，∴，解得：，
∴反比例函数为：，
当时，则：，
故答案为：30．
15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．
【答案】8
【解析】连结OA，
拱桥半径OC为5cm，
cm，
m，
cm，
m
m，
故答案为：8．
16. 是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点．如图，若点在内，，则 ______；现将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是______．
【答案】
【解析】，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
如图中，设交于点，
同法可证≌，
，
，
，
点在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，
，
，，
，，
≌，
，
，
的最小值，
故答案为：，．
17. 四分仪是一种十分古老测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得AB为，为，实地测得为．则井深为 _____．
【答案】
【解析】依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴．
18. 如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：①；②关于的一元二次方程的根是；③当时，随增大而减小；④；⑤．其中正确的有______．（填序号）
【答案】①②④⑤
【解析】由题意知，抛物线图象开口向下，对称轴为直线，经过，交轴的正半轴，∴，即，
∴，①正确，故符合要求；
关于对称轴对称的点坐标为，
∴关于的一元二次方程的根是，②正确，故符合要求；
当时，随增大先增大后减小，③错误，故不符合要求；
将代入得，，
∴，④正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴当时，，⑤正确，故符合要求；
故答案为：①②④⑤．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 解下列方程：
（1）
（2）
解：（1），
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2），
∴，
∴，
∴或，
解得：．
20. 第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义．
（1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 ；
（2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率．
解：（1）∵共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同，
∴随机抽去一张卡片，上面写有“菊”的概率为；
（2）把写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为A、B、C、D，画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同的结果有4种，
∴．
故两人抽到的卡片上是相同名称的概率为．
21. 如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边，可绕点开合，在边上有一固定点，支柱可绕点转动，边上有六个卡孔，其中离点最近的卡孔为，离点最远的卡孔为．当支柱端点放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得的长为，为，支柱为．
(1)当支柱的端点放在卡孔处时，求的度数；
(2)当支柱的端点放在卡孔处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．(结果精确到十分位)
解：(1)如图1，作，垂足为点，
在中，根据勾股定理，．
同理，(，为同一点)．
∵，，，，
解得．在中，
∴，即．
(2)如图2，作，垂足为点，
在中，．
．
在中，，
∴．(，为同一点)
∴．
．
∴相邻两个卡孔的间距为．
22. 神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？
（3）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
解：（1）设解析式为
根据图像可知，点在上
∴，解得
∴y与x的函数关系式为
（2）设每天获利w元，根据题意得
∵，
∴当时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
（3）由（2）知，当w最大时，
，解得，，
∵当时，时，当时，w最大，
即．
23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，与轴、轴分别交于点，．

（1）求反比例函数的解析式和点的坐标．
（2）求过，两点的最小圆的面积．
解：（1）把点代入得，，，
把代入得，
反比例函数的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标；
（2）过，两点的最小圆是以线段AB为直径的圆，
由（1）知，，B-2,1，
，
过，两点的最小圆的面积为．
24. 学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______．
初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______；
问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______．
②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长．
解：是的圆心角，是的圆周角，，
；
故答案为：；
如图，取BD的中点，连接、，
，
，，
，
点、、、共圆，
，
，
，
故答案为：；
在上截取，连接，以为直径，交AD于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交AD于交于，如图所示：
，
，
的半径为，即，
，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，
，
，
在中，，
，为圆心，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
．
25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，交y轴于点D．
（1）求k的值；
（2）当为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）连接，求面积的最大值．
解：（1）把代和，得，
所以k的值是4；
（2）①当时，如图所示，
当时，，
，
，
在中，，即，
，
；
②当时，此时，如图所示：

点P在第四象限，不符合题意；
③当时，，
则，如图所示：
点P在第四象限，不符合题意；
综上所述，当为等腰三角形时，点D的坐标为；
（3）设，
，
设直线的表达式为，
将，代入，
得，解得，
，
点D 的坐标为，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
面积的最大值为2．0
1
2
3
4
5
6
7
…
0
8
14
18
20
20
18
14
…