2025届山东省淄博市高三上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届山东省淄博市高三上学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）
A. 7B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
所以集合的子集个数为.
故选：B.
2. 已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，且，则，解得，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 在内，使的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】以及的图象如图，
由图可知，；
故选：A.
4. 设， ，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据，可得，
由是上的增函数，可得，即．
因为，是上的增函数，
所以，可得，
又因为，可得，
所以，可得．
综上所述，，
故选：D．
5. 在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为，则下列各数为常数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在等比数列中，设公比为，
则，
若为一确定的常数，则为一确定的常数，
又∵，，
，，
∴为常数.
故选：D.
6. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由题意得，
即，由正弦定理得，
即，则，
因为，所以，
又，
所以,
故，因为，所以．
综上可知三角形为等边三角形．
故选：C.
7. 若正数满足，则的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】因为正数满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
8. 设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，当时，，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以；
当时，，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以.
综上，实数的取值范围是.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等差数列
B. ，，成等差数列，公差为
C. 当或时，取得最大值
D. 时，的最大值为32
【答案】AC
【解析】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
所以
对于选项A：
当时，；
当时，；
.
数列是等差数列，故选项A正确；
对于选项B：
，，
，
则，
所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；
对于选项C：，
当或时，最大，故选项C正确；
对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.
故选：AC
10. 在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列式子不正确的是（ ）
A
B.
C.
D. 若上有一动点P，则最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，，则，即，
，即,
又，,
由正弦定理得，，故A错；
对于B，由及余弦定理，可得，
即，
由基本不等式知，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，故B项错误；
C项，在锐角中，由，且，
由基本不等式可得，，
整理得
当且仅当时，等号成立，又由，
可得＝，故C项正确；
对于D，过作，则，
又在之间运动时，与的夹角为钝角，
因此要求的最小值，应在之间运动，即，
又
当时，取最小值为,故D错误.
故选：ABD．
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】令，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，故A错误，B正确；
又，所以，
即，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
且，
依题意可得存在唯一的变号正实根，
即存在唯一的变号正实根，
当时，，方程只有唯一变号正实根，符合题意，
当，方程，即没有除之外的正实根，
令，则，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，解得
此时，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则函数存在唯一的极值点，合乎题意.
综上可得.
故答案为：.
13. 已知数列满足，，则________．
【答案】
【解析】由题意：，，，，，
所以满足.
所以
故答案为：
14. 对任意实数，以表示不超过的最大整数，称它为的整数部分，如，等.定义，称它为的小数部分，如，等.若直线与有四个不同的交点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】当时，，又由题意，易知：是周期为1的函数；
作出与图象如下：
由图像，为使直线与有四个不同的交点，
只需或，
解得或，
即.
故答案为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，.设.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，若，，，的平分线交于点，求长.
解：（1）
令，，
则，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）由题意得：，
因为，所以，
即，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，解得，
因为平分线交于点，所以，
所以，
所以，解得．
16. 已知函数为上的偶函数，且.
（1）求；
（2）求在处的切线方程.
解：（1）因为函数为上的偶函数，所以有，
当时，，即，
，，解得，
此时，
经检验，为上的偶函数，
所以.
（2）由（1）得，所以，
则，则，又，
所以在处的切线方程为：，
即.
17. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）设数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
即，
解得或，
因为各项均为正数，
所以，
所以，
由，
得，
解得，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
所以，
两式相减可得，
整理可得．
18. 已知函数，.
（1）当时，研究的单调性；
（2）若，当时，函数有极大值m；当时，有极小值n，求的取值范围.
解：（1）易知函数的定义域为，则，
又因为，所以当时，，
当或时，；
因此可得在上单调递减，在上单调递增；
（2）若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，即；
设函数，则，
所以在上单调递增，所以，
即的取值范围为.
19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.
（1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值；
（3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
解：（1）对于函数的定义域内取，
则，无解，
故不是“依赖函数”.
（2）因在上递增，故，
即，所以.
（3）①当时，取，则，此时不存在，舍去；
②当时，在上单调递减，
从而，由于，故
解得（舍）或，
且，所以
由于存在实数，使得不等式能成立，
故
从而得到，
由于，所以
综上，实数的最大值为4.