2024~2025学年吉林省松原市前郭县九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年吉林省松原市前郭县九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．是的一次函数，故该选项不符合题意；
．是的反比例函数，故该选项符合题意；
．是的一次函数，故该选项不符合题意；
．不是的反次函数，故该选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】D
【解析】是方程的一个根，
，即，
，
故选：D．
5. 下列事件属于随机事件的是（ ）
A. 地球绕着太阳转B. 煮熟的鸭子飞走了
C. 掷一枚硬币，正面朝上D. 一匹马奔跑的速度是800米/秒
【答案】C
【解析】A．地球绕着太阳转，是必然事件；
B．煮熟鸭子飞走了，是不可能事件；
C．掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件；
D．一匹马奔跑的速度是800米/秒，是不可能事件，
故选：C．
6. 如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接、，如图，
∵，
∴，
，
，
，
是直径，
，
，
，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 一元二次方程 的解为_______．
【答案】
【解析】，
，
∴或，
解得，
故答案为：．
8. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】反比例函数的图象分布在第一、三象限，
∴
解得：，
故答案为：．
9. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式是______；
【答案】
【解析】的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得，
故答案为：．
10. 如图所示的图形绕着中心至少旋转______度后，能与原图形完全重合．
【答案】72
【解析】图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转5次所组成，
故绕其中心至少旋转72度后能与原图案完全重合．
故答案为：72．
11. 反比例函数的图象如图所示，若的面积是5，则的值为______．
【答案】
【解析】令点的坐标为，
则，
，
又∵点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是________个．
【答案】9
【解析】设袋中红球有x个，
根据题意，可得：，
解得：，
则黄球的个数为（个），
故答案为：9．
13. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为______．

【答案】8
【解析】如图，

根据题意得，D在上，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（负值已舍），
∴，
故答案为：8．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为______．
【答案】
【解析】点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，
的横坐标为，、关于对称轴对称，
点的横坐标是，则
即正方形的边长是，
所以正方形的周长是，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：．
解：
∵，
∴，
解得：，
16. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，直接写出函数值的取值范围．
解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得：．
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，
∴双曲线在二，四象限，在每个象限随的增大而增大，
把代入，得，
∴当时，．
17. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
（1）求这个抛物线的函数解析式；
（2）写出它的开口方向和对称轴．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线为，
将代入得，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2），
∴抛物线开口向下，
，
∴对称轴．
18. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“中”、“考”、“必”、“胜”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀．
（1）若从中任取一个小球，小球上的汉字刚好是“胜”的概率是______；
（2）从中任取一个小球，不放回，再从中任取一个小球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个小球上的汉字能组成“中考”的概率（汉字不分先后顺序）．
解：（1）共有4个小球，从中任取一个小球，小球上的汉字刚好是“胜”的概率是；
故答案为：．
（2）画树状图如图，
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的汉字能组成“中考”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“中考”的概率是．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为，求的值；
（2）若方程有实数根，求的取值范围．
解：（1）方程的一个根为，
将代入方程，可得，
解得：．
（2）是一元二次方程，
，
方程有实数根，
，
，
且．
20. 如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，．
（1）点关于原点对称的点的坐标是______；
（2）将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的；
（3）在旋转过程中，点经过的路径为，求的长（结果保留根号和）．
解：（1）点A关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
（2）如图，即为所求作的三角形，
（3）∵，
∴，
由图可知：的长为．
21. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
（1）证明：如图所示，连接．
是的垂直平分线，．点在上．
，，．
，．
．
即，是的切线．
（2）解：，．
，
在中，，
．
22. 紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例．在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．

（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过．
解：（1）设．
∵过点，
，
∴当时，与的关系式为：；
（2）将代入上式中得：．
∴温度在时，电阻．
∵在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加，
当时，，
把代入得；
把代入得；
故当时，电阻不超过．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 在九年级学生即将毕业之际．某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册．当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本．
（1）设售价降低了元，用含的代数式表示降价后每周可售出纪念册的本数；
（2）商家要想平均每周盈利300元，每本纪念册应该降价多少元？
（3）商家要想获得最大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？
解：（1）售价降低了元，每周可售出纪念册的本数是；
（2）设每本纪念册应降价元，商家平均每周盈利300元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
∵商店扩大销售量，减少库存，
∴应略去，
∴，
答：每本纪念册应降价3元；
（3）设每本纪念册应降价元，商家获得收益最大为元，
根据题意，得．
所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是320元．
24. 【问题引入】
（1）如图①，将绕点按逆时针方向旋转得到（点、的对应点分别为点、），连接，若，求的长；
【衍生拓展】
（2）如图②，在中，，，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），连接，当时，求的长；
【深入探究】
（3）如图③，在边长为8等边三角形中，是的中点，是所在直线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接、．在点运动的过程中，当点、、在同一直线上时，直接写出线段的长．
解：（1）∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
∴是等边三角形，
．
（2）连接，延长交于，
由（1）知，是等边三角形，
，
∴点在的垂直平分线上，
，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
，
，
，
．
（3）∵等边三角形的边长为8，是的中点，
∴，
连接并延长，在的延长线上取点M，使得，连接，
∴，
由旋转的性质可知，，
，
，
在和中，
，
，
则点F在与夹角为的直线上运动，延长与的延长线交于点，
，
，
在中，，
，
当点、、在同一直线上时，点和点重合，此时，．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点A5,0，点在第一象限，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接．设与重合部分的面积为，点运动的时间为秒．
（1）直接写出点的坐标；
（2）当点落在上时，求的值；
（3）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
解：（1）过点B作于点G，如图所示：
是等腰直角三角形，
．
点，
，
，
（2）过点B作于点G，过点M作于点N，如图，
依题意，，则，
，，
为等腰直角三角形，
．
，，
四边形为平行四边形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
（3）由（2）可得点落在上，当点和点重合时，正好是的中点，则，当运动到点，，
∴分三种情况讨论，，，
①时，
②时，如图，
，
．
由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，
，．
为等腰直角三角形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
．
③当时，如图，
与重合部分面积为的面积，
由题意：，为等腰直角三角形，，
，，
，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）与轴的两个交点分别为、．点是轴上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点是线段的中点，当点和点不重合时，以为边，在的右侧作矩形，且矩形的边的长为3．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）当时，的取值范围是______；
（3）当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求的值；
（4）当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
解：（1）把、代入，
可得出，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）∵，
∴二次函数开口向上，顶点坐标为：，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，的取值范围是；
（3）∵，过点作轴的垂线交抛物线于点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
当P、Q落在抛物线上时，，
则P、Q关于对称轴对称，故Q点的横坐标为：，
由对称性可得，
解得：；
当P、N落在抛物线上时，
∵以为边，在的右侧作矩形，
此时N点坐标为，
从而可得，
即
解得 ，，
综上，当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，的值为或或；
（4）由（3）知，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部没有点；
当时，点P、点D、点M和点B重合，抛物线在矩形内部没有点；
当时，抛物线在矩形内部没有点；
故当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大．