2024~2025学年吉林省长春市经开区九年级上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年吉林省长春市经开区九年级上学期期末数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，故与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，故与是同类二次根式，符合题意；
C、，故与不是同类二次根式，不符合题意；
D、，故与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 盒中装有4只白球和5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得：盒中装有4只白球和5只黑球，共9个，
任意摸出1个，摸到白球的概率是．
故选：D．
3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以>0，
所以，又，所以，所以的取值范围是，
故选D．
4. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，作轴于点，
四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故选：C．
5. 如图，是的半径，是弦，，点在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵是的半径，是弦，，
∴，
∴，
故选：C．
二、多项选择题（每小题3分，共9分）
6. 下列调查中，适合做抽样调查的有（ ）
A. 了解某品牌酸奶的益生菌含量B. 审查一本书稿有没有科学性错误
C. 了解一架飞机的零件是否生锈D. 做菜的时候尝尝盐放得是否恰当
【答案】AD
【解析】A、了解某品牌酸奶的益生菌含量，适合抽样调查；
B、审查一本书稿有没有科学性错误，适合普查；
C、了解一架飞机的零件是否生锈，适合普查；
D、做菜的时候尝尝盐放得是否恰当，适合抽样调查；
故选：AD．
7. 下列函数的图象中，与坐标轴有三个交点的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】A、当时，，解得或，即与轴的交点为，，当时，，即与轴的交点为，故与坐标轴只有2个交点，不符合题意；
B、当时，，，即与轴有两个交点，当时，，即与轴的交点为，故与坐标轴有3个交点，符合题意；
C、当时，，，即与轴有两个交点，当时，，即与轴的交点为，故与坐标轴有3个交点，符合题意；
D、当时，，，即与轴有两个交点，当时，，即与轴的交点为，故与坐标轴有3个交点，符合题意；
故选：BCD．
8. 如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】∵、切于、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，故选项A正确；
在和中，，
∴
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，故选B正确；
由得，
∴，
又∵，
∴，故选项C正确；
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，故选项D错误．
∴一定正确的有．
故选：．
三、填空题（每小题3分，共18分）
9. 请你以“盒中装有4只白球和5只黑球”为背景，举一个“不可能事件”的例子：_________．
【答案】在只装有4个白球和5个黑球的袋子里，摸出一个红球（答案不唯一）
【解析】事件：“盒中装有4个白球和5个黑球的袋子里，从盒中摸出一个红球”是不可能事件，
故答案为：盒中装有4个白球和5个黑球的袋子里，从盒中摸出一个红球（答案不唯一）．
10. 有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程：_________．
【答案】
【解析】根据题意得：，
故答案为：．
11. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线的表达式是________．
【答案】
【解析】将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的新抛物线的表达式是，
故答案为：．
12. 一个大正方形周长是一个小正方形周长的2倍，若小正方形的面积为6，则大正方形的面积为________．
【答案】24
【解析】设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
则由题意得，
则，
∵小正方形的面积为6，
∴，
则，
∴大正方形的面积为，
故答案为：24．
13. 如图，榕榕在地面A处，用测角仪测得一座大楼的楼顶处的仰角为，又用激光测距仪测出间的距离为米，则这座大楼的高度为_________米．

【答案】
【解析】如图，

由题意得：在中，米，
米，
则这座大楼的高度为米，
故答案为：．
14. 如图，是圆的直径，弦、相交于点，点是弧的中点．若，则的值是_______．
【答案】
【解析】∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∵点是弧的中点．
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
四、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 计算：．
解：
．
16. 解方程：．
解：
或
解得：．
17. 小宇有红、黑两双袜子混放在一起．早上上学时，由于忙乱，在黑暗中随机摸出两只穿上，用列表或树状图求两只袜子恰好同色的概率．
解：列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是颜色相同的袜子的情况有4种，
所以恰好是颜色相同的袜子的概率为．
18. 如图，是的两条直径，点、点是圆上的两个点，．求证：．
解：如图，连接，，
∵是的两条直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴．
19. 若二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）若该图象与轴交于、两点，求线段的长度．
解：（1）∵二次函数图象顶点坐标为，
∴可设该二次函数的表达式为，
把代入得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
（2）当时，，解得：，
∵该图象与轴交于、两点，
∴、两点的坐标分别为，∴．
20. 请按要求完成下列图形，确定圆心的位置，并简要说明方法与依据．
（1）在图①中，只允许使用三角尺．
（2）在图②中，只允许使用直尺和圆规．
解：（1）圆心如图：
理由如下：线段，所对圆周角都是，即可根据圆周角所对弦是直径得到，为直径，它们交点即为圆心；
（2）圆心如图：
理由如下：由，的垂直平分线可得，则为圆心．
21. 某校在九年级举行了一次口语测试，满分为10分，因各班学生的水平差异较小，故随机抽取了一个班的成绩作为样本进行初步分析：有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分．
（1）从上面的数据来看，抽取样本的容量是_________．
（2）样本平均数是__________．
（3）教务处决定对成绩低于7分的学生开展强化训练，在九年级共700名学生中，估算一下有多少人需要参加训练．
解：（1）
故答案为：40．
（2）
故答案为：．
（3）（人）
答：在九年级共700名学生中，估计有人需要参加训练．
22. 海中有一小岛，在它周围10千米内布满了暗礁，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向，航行10千米后到达点，此时测得小岛在北偏东方向．如果这艘轮船不改变航向，继续向东航行，请通过计算判断是否存在触礁的危险．
（参考数据：）
解：没有触礁危险，理由如下，
过点A作于点E，
由题意得．，千米，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
∴，
∵，
答：轮船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险．
23. 如图，是半圆的直径，，点在线段之间，，与半圆弧交于点，以为边，向右作正方形，连结、．
（1）当时，的大小为_________．
（2）当点落在半圆弧上时，_________．
（3）当时，求正方形与半圆形的公共部分的面积．（结果保留）
（4）当线段把正方形分成的两部分图形的面积之比为时，直接写出的长．
解：（1）如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵为直径，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）连接，过点作于点，则，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
∴；
（3）连接
∵
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴；
（4）①记与交于点，连接
当时，则，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴中，由勾股定理得：，
∴，
解得：或（舍），
∴；
②当时，则，连接
同理可得，
设，则，，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴
综上所述：为或．
24. 如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点，点，，与抛物线交于点．连结、．
（1）直接写出的长度为_________．
（2）求的长度．
（3）求这个二次函数的表达式．
（4）如图②，点从点出发，沿射线向点运动；同时，点从点出发，沿射线向点运动，两点运动的时间为秒，速度均为1个单位长度/秒，当点到达终点时，点也随之停止运动．作轴，交于点．当直线垂直于的一条边时，直接写出值．
解：（1）∵抛物线过，
∴抛物线的对称轴为直线，
又轴，且，点与点关于对称，
∴，
∴；
故答案为：3；
（2）∵，，
∴；
（3）∵二次函数的图象经过原点和点，点，
∴设抛物线的解析式为，
把，代入解析式得，，解得，
∴抛物线的解析式为；
（4）设直线的解析式为
把，代入解析式得，解得，
∴直线的解析式为
当时，延长交于点，过点作轴，如图，
则
∴
又，
∴
∴
根据题意得，
∴，
解得，；
当时，
∵轴，轴，则在同一直线上，如图，
∴∴
又，，
∴，解得，，
综上，当或2时，直线垂直于的一条边.
红1
红2
黑1
黑2
红1
（红2，红1）
（黑1，红1）
（黑2，红1）
红2
（红1，红2）
（黑1，红2）
（黑2，红2）
黑1
（红1，黑1）
（红2，黑1）
（黑2，黑1）
黑2
（红1，黑2）
（红2，黑2）
（黑1，黑2）