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    2024~2025学年吉林省长春市汽开区九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)

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    2024~2025学年吉林省长春市汽开区九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)

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    这是一份2024~2025学年吉林省长春市汽开区九年级上学期期末考试数学试卷(解析版),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
    1. 方程的解为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】,∴.
    故选:C.
    2. 在平面直角坐标系中,抛物线的对称轴是( )
    A. 直线B. 直线
    C. 直线D. 直线
    【答案】A
    【解析】抛物线的对称轴是
    故选:A.
    3. 如图,是的直径,点在上.若,则的大小为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】如图,连接,
    ∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    故选B.
    4. 如图,某小区的一块草坪离边有一条直角小路,社区为了方便群众通过,沿修了一条小路,已知米,新修小路与的夹角,则小路的长为( )
    A. 米B. 米
    C. 米D. 米
    【答案】D
    【解析】根据题意知:,,,
    ∴(米),∴小路的长为米.
    故选:D.
    5. 将直尺和量角器按如图方式摆放,其中为量角器所在半圆的直径,直尺的边缘与的延长线交于点,并与是角器所在半圆相切于点.已知点在直尺上对应的刻度分别为和,点在量角器上对应的外圈刻度为则的长为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】连接,如图所示:
    ,,
    与半圆相切于点,


    在中,,则,

    设,则,
    由勾股定理可得,
    ,解得,则,
    的长为,
    故选:B.
    6. 已知二次函数(为常数)的图象经过点,则的大小关系是( )
    A. B.
    C. D. 与的值有关
    【答案】A
    【解析】∵二次函数(为常数)
    ∴二次函数的对称轴为直线,
    ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离,
    又∵二次函数中二次项系数,
    ∴二次函数(为常数)的图象开口向上,
    ∴的大小关系是.
    故选:A.
    7. 下表中列出了二次函数的一些对应值,则方程的一个解的范围是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】由表格数据可知,随的增大先增大后减小,
    ∴该二次函数的图象开口向下,
    ∵当时,;当时,,
    ∴二次函数的对称轴为直线,
    ∵当时,;当时,,
    ∴一元二次方程有一负解,且,
    ∴根据对称性可知:一元二次方程的一个正数解的范围为.
    故选:C.
    8. 如图,在中,.的半径为,点是AB边上的动点,过点作的一条切线(点为切点),则线段长的最小值为( )
    A. 2B. C. 3D.
    【答案】D
    【解析】连接.
    ∵是的切线,
    ∴;
    ∴,
    ∴当时,线段最短,
    ∴的长最短,
    ∵在中,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故选:D.
    二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    9. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是_____.
    【答案】
    【解析】根据题意得,
    解得.
    故答案为.
    10. 在某一时刻,测得高为的竹竿的影长为,同时同地测得一栋楼的影长为,则这栋楼的高度为______.
    【答案】60
    【解析】设这栋楼的高度为,
    根据题意有:,
    解得:,
    故这栋楼的高度为.
    故答案为:.
    11. 如图,平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,则的面积为______.
    【答案】
    【解析】∵抛物线,
    ∴当时,;当时,或,
    ∴,,,
    ∴,,
    ∴,
    ∴的面积为.
    故答案为:.
    12. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载:“斛底,方而圜()其外,旁有庣()焉”.意思是说:“斛的底面为:正方形外接一个圆,此圆外是一个同心圆”,如图所示.问题:现有一斛,其底面的外圆直径为九尺(即尺),“庞旁”为五寸(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺),则此斛底面的正方形的边长为______尺.(结果用最简根式表示)
    【答案】
    【解析】如图,

    ∵四边形为正方形,
    ∴,,
    ∴为直径,,
    由题意得,
    ∴,
    ∴(尺),
    ∴此斛底面的正方形的边长为尺.
    13. 如图,在平面直角坐标系中,将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点、平移后的对应点分别为点、.若图中的阴影部分图形的面积为,则新函数的表达式为______.
    【答案】
    【解析】如图,连接,,
    ∵将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点、平移后的对应点分别为点、,
    ∴,,
    ∴四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∵图中的阴影部分图形的面积为,且、,
    ∴,
    ∴,
    即函数的图象沿轴向上平移了个单位,
    ∴新函数的表达式为:,即.
    14. 如图,点在以为直径的半圆上运动(点在点左侧,点不与点重合),于点平分,交于点,交于点.给出下面四个结论:
    ①;
    ②是等腰三角形;
    ③当,时,的面积为;
    ③.
    上述结论中,正确结论的序号有______.
    【答案】①②③
    【解析】是的直径,
    ,则,

    ,则,
    ,故①正确;




    平分,



    ,即为等腰三角形,故②正确;
    ,如图所示:
    ,,
    在中,,,则,
    由勾股定理可得,
    由②知是等腰三角形,由①知,
    ,即是等边三角形,
    平分,

    在中,,,则,

    过点作,垂足为,如图所示:

    在中,,则,
    ,故③正确;
    如图所示:
    平分,




    由①可知,
    在中,,故④错误;
    综上所述,正确结论的序号有①②③,
    故答案为:①②③.
    三、解答题(本大题共10小题,共78分)
    15. 计算:.
    解:

    16. 寒假期间,班级开展社会实践,小红和小旗从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加服务活动,请用画树状图(或列表)的方法,求两人恰好选择同一场馆的概率.
    解:图书馆、博物馆、科技馆分别用、、表示,
    画树状图如图:
    共有个等可能的结果,小红和小旗恰好选择同一场馆的结果有个,
    ∴两人恰好选择同一场馆的概率为,
    答:两人恰好选择同一场馆的概率为.
    17. 某网店月份盈利元,月份盈利元,且从月到月,每个月盈利的增长率相同,求这两个月每个月盈利的增长率.
    解:设这两个月每个月盈利的增长率为,
    根据题意得:,
    解得:,(不合题意,舍去),
    答:这两个月每个月盈利的增长率为.
    18. 在平面直角坐标系中,抛物线经过点、.
    (1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
    (2)求这条抛物线的开口方向和顶点坐标.
    解:(1)∵抛物线经过点、,
    ∴,解得:,
    ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为;
    (2)由(1)知:抛物线解析式的二次项系数,∴抛物线开口向上,
    ∵,∴抛物线顶点坐标为.
    19. 如图,是的直径,弦交于点H,延长到点E,连接交于点F,连接、、,.
    (1)求证:;
    (2)若,则的长为 .
    (1)证明:∵是的直径,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    (2)解:∵,
    ∴,
    ∵,是的直径,
    ∴,
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴(负值舍去).
    故答案为:
    20. 图①、图②、图③均是的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,的顶点均在格点上,点为的三等分点.只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求作图,保留作图痕迹.
    (1)在图①中的边上确定一点,连结,使;
    (2)在图②中的边上确定一点,连结,使;
    (3)在图③中的边上确定一点,边BC上确定一点,连结、、,使的周长最小.
    解:(1)取格点,连接交于点,取格点、,连接、、、,
    ∵如图是的正方形网格,
    ∴,,,
    ∴,
    在和中,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    则点即为所作;
    (2)取格点,连接交于点,取格点、,连接、、、,
    ∵如图是的正方形网格,
    ∴,,,,
    在和中,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    则点即为所作;
    (3)取格点,连接交于点;取格点,连接;取格点,连接;取格点、,连接,,,交于点;连接,分别交、于点、,连接,,
    由(1)知:,由(2)知:,
    ∵如图是的正方形网格,
    ∴,分别为由四个小正方形拼成的正方形的对角线且点,正方形的中心,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴点和点关于对称,
    ∴,
    又∵垂直平分,
    ∴点和点关于对称,
    ∴,
    ∴,
    此时的周长最小,最小值为的长,
    则点点、即为所作.
    21. 从地面竖直向上抛出一小球,小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式是.
    (1)求小球落回地面时对应的值;
    (2)求小球运动中离地面的最大高度;
    (3)某科学小组在研究小球运动过程中,汇总小组成员得出的结论如下:
    ①小球从抛出到落地需要;
    ②小球运动中的高度不能达到;
    ③小球运动时的高度小于运动时的高度.
    上述结论中,正确结论的序号为 .
    解:(1)当时,得:,
    解得:或(不符合题意,舍去),
    ∴小球落回地面时对应的值为;
    (2)∵,
    ∴小球运动中离地面的最大高度为;
    (3)①由(1)知:小球从抛出到落地需要,故此结论错误;
    ②由(2)知:小球运动中离地面的最大高度为,
    ∴小球运动中的高度不能达到,故此结论正确;
    ③当时,得:,
    当时,得:,
    ∵,
    ∴小球运动时的高度小于运动时的高度,故此结论正确,
    综上所述,正确结论的序号为②③.
    故答案为:②③.
    22. 在综合与实践活动课上,小明以“圆”为主题开展研究性学习.
    【问题背景】如图①,在中,,是外一点,且,求的度数,若以点为圆心,线段长为半径作辅助圆,则点必在上,是的圆心角,而是圆周角,从而容易得到的度数为 .
    【深入探究】如图②,在矩形中,,为矩形内一点,且,求的最小值.
    下面是小明的部分解题过程:
    解:在矩形外,以边为斜边作等腰直角三角形,,再以点为圆心,线段长为半径作.
    ∵点矩形内一点,且,
    ∴点在的劣弧上运动.
    连接,交于点,此时,最小.
    在中,



    过点作于点,交延长线于点,

    请你补全余下的解题过程.
    【拓展应用】如图③,某小区绿化工程计划打造一片四边形绿地,其中.,,为了美化环境,要求四边形的面积尽可能大,则绿化区域面积的最大值为 .
    解:问题背景:,
    三点共,
    和分别是所对应的圆心角和圆周角,

    故答案为:;
    深入探究:补全余下的解题过程如下:
    为等腰直角三角形,
    四边形为正方形,,
    在中,,,则,


    拓展应用:连接,过点作,垂足,如图所示:
    在中,,,则为确定的大小和形状,其面积为定值,



    由可知,要使四边形的面积尽可能大,就需要尽可能大,而的边为定值,其对角,依据辅助圆模型-定弦定角,点的轨迹在的外接圆圆弧上运动,如图所示:
    即求出面积的最大值就找到使四边形面积最大值的点,
    以为边作等边三角形,根据圆周角定理,则,则的外接圆圆心为点;过点作的平行线,当与圆弧相切时,只有一个交点,此时直线到的距离最大,即面积最大;连接,交于点,如图所示:
    由切线的性质得,





    故答案为:.
    23. 如图,在中,于点D,M为的中点.点P从点D出发,沿方向向终点A运动,在边上的速度为每秒3个单位长度,在边上的速度为每秒5个单位长度.连接、.设点P的运动时间为.
    (1)的值为 ;
    (2)用含t的代数式表示的长;
    (3)当点B、P、M三点不共线时,以为邻边构造平行四边形.
    ①当为矩形时,求t的值;
    ②当被的一边分成面积比为两部分时,直接写出t的值.
    解:(1)∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    (2)当点P在边上运动时,且,
    ∴;
    当点P在边上运动,即时,.
    综上可知;
    (3)①分类讨论:ⅰ当点P在边上运动,即时,如图,
    ∵M为的中点,
    ∴.
    ∵为矩形,
    ∴,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    ⅱ当点P在边上运动,即时,
    由于此时,所以此情况不成立.
    综上可知,当为矩形时,;
    ②分类讨论:ⅰ当点P在边上运动,即时,如图,
    ∴此时被的边分成面积比为的两部分,不合题意;
    ⅱ当点P在边上运动,且位于直线下方时,如图,记与的交点为,连接,
    当为的中点时,则把的面积分为的两部分;
    延长交的延长线于,过作于,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,,
    ∵,,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    同理可得:,
    ∴是的中位线,
    ∴,
    ∴,
    解得:,
    如图,当过的中点时,连接,则把的面积分为的两部分;
    延长交于,过,作的平行线,,
    ∴,,垂足记为,
    同理可得:,,
    同理可得:,为中位线,为的中位线,
    ∴,,
    同理可得:,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    解得:;
    综上:或.
    24. 在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,点在点左侧,与轴交于点,抛物线的顶点为,作直线.点是抛物线上的一个动点,且点在抛物线对称轴左侧,过点作轴的垂线,与直线交于点,点关于直线的对称点为,连结、.设点的横坐标为.
    (1)求点、、、的坐标;
    (2)求直线所对应的函数表达式;
    (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时,的取值范围为 ;
    (4)连结,当与相似时,直接写出的值.
    解:(1)∵抛物线与轴交于、两点,点在点左侧,与轴交于点,
    当时,得:,
    解得:,,
    当时,得:,
    ∴,,,
    由得顶点;
    (2)设直线的解析式为,过点,,
    ∴,解得:,
    ∴直线的解析式为;
    (3)如图,
    ∵点在抛物线对称轴左侧,点的横坐标为,
    ∴,
    当时,抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小;
    当时,内部不含抛物线的点,不符合题意;
    当时,抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大;
    综上所述,的取值范围为或;
    (4)设交轴于点,抛物线对称轴交轴于点,
    ∵过点作轴的垂线,与直线交于点,
    ∴,,,
    ∵点与点关于直线对称,
    ∴,,
    ∴,
    ∵,关于抛物线的对称轴对称,
    ∴,,
    ∴,,
    ∵与相似,
    ∴,
    ∴,即①,
    ∵点的横坐标为,轴,,,
    ∴,,
    ∴,,
    代入①得:,
    当时,
    解得:或(不符合题意,舍去);
    当时,
    解得:或(不符合题意,舍去);
    综上所述,的值为或.

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