2024~2025学年四川省成都市蓉城联盟高二上学期12月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年四川省成都市蓉城联盟高二上学期12月期末考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 在空间直角坐标系中，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】点关于轴的对称点的坐标为，
故选：C.
2. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因直线的方向向量为，则直线的斜率
于是直线的方程为，即.
故选:A.
3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A. 56B. 59C. 62D. 64.5
【答案】B
【解析】数据个数共有10个，且为从小到大排列，
这组数据的第70百分位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59，
故选:B.
4. 设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，
，双曲线的方程为.
故选：B.
5. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记4个白球为，2个红球为，
从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有:
，共种不同的取法，
其中抽出2球均为白球有共种不同的取法，
所以抽出的2个球均为白球的概率.
故选：C.
6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】由圆，可得圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
由圆上至少有3个点到直线的距离为1，
所以.
故选：A.
7. 如图,在平行六面体中,,，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，
，
.
，.
，
异面直线与所成角的余弦值.
故选：D.
8. 设为双曲线上的两点,线段的中点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线上的点，线段的中点为，
则，
则，且，
两式相减，得，即，
则直线斜率，直线的方程为：，
由，消去，得，解得，
.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A.
B. 点到直线的距离为
C.
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BC
【解析】A选项：，故A错误；
B选项：取
，
点到直线的距离，故B正确；
C选项：，故C正确；
D选项：，设平面的法向量为，
故，取，则，故D错误；
故选:BC.
10. 已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若事件与事件互斥，则
B. 若事件与事件相互独立，则
C. 若事件发生时事件一定发生，则
D. 若，则事件与事件相互独立
【答案】ABD
【解析】对于A，事件与事件互斥，，故A正确；
对于B，事件与事件相互独立，，
，故B正确；
对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误；
对于D，因则事件与事件相互独立，
故事件与事件相互独立，故D正确.
故选:ABD.
11. 已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】A选项：为焦点三角形，，故A正确；
B选项：根据椭圆和双曲线的定义，可得，，
在中，由余弦定理，可得：，
，整理得，
，当时，，故B错误；
C选项：，当且仅当，
即时等号成立，
故C正确；
D选项：，故取，
，当且仅当,
即，此时时取到等号，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设一组数据的平均数为11，则的平均数为______.
【答案】90
【解析】因的平均数
则的平均数为：.
故答案为：90.
13. 过三点的圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】设圆的方程为，
代入三点，有
解得
故圆的方程为,
故圆的标准方程为.
故答案为：
14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______.
【答案】26
【解析】离心率，，
，又因为为等边三角形，
设，
过点作线段的垂线，的倾斜角为，
直线的方程为，代入中，
得，
周长.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. “世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组40,50，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.
解：（1）众数：75，
第1至第6组的频率分别为，
平均数：；
（2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，
总体平均数：，
总体方差：.
16. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；
（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.
解：（1）由圆，可得圆心，半径，
点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
，
此时，切线方程为，化简，得，
切线方程为或；
（2）为公共边，，
，
又当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小，
此时，，
，
四边形面积的最小值为.
17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.
（1）求第3次投篮者为乙的概率；
（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.
解：（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，
根据题意可知，与互斥，
；
（2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：
，
事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，
.
18. 在平行四边形中（如图1）,为的中点,将等边沿折起，连接，且（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上,若点到平面的距离为,求平面与平面所成角的余弦值.
解：（1）连接
在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面
（2）设为的中点，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
，，
取，
设直线与平面所成角为，
（3）设，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，
是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
.取，
设平面与平面所成的角为，
.
19. 一动圆与圆外切，与圆内切.
（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；
②设和的面积分别为和，求的最大值.
解：（1）设动圆的半径为，动圆与圆外切，，
又动圆与圆内切，且圆在圆内部，，
，又，
即，
故动圆圆心的轨迹是一个椭圆，且故得，
动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）①如图，设点，因
则直线的方程为，
代入椭圆中，得：，
依题意，，解得：，同理可得：，
，
直线方程为，
整理得：，
直线恒过定点；

②如图，根据①已得：直线恒过定点，且，
即点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，故，
，
，
设直线，代入椭圆中，
得：，
，
，
设则，
在上单调递增，，
，
的最大值为3.