2024~2025学年吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区九年级上学期12月期末数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区九年级上学期12月期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在实数范围内有意义，
，解得，
故选：B．
2. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
【答案】C
【解析】关于的一元二次方程有一个根是，
将代入得，
解得，
故选：C．
3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
4. 北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意得，
故选：A．
5. 已知，点在边上，下列条件中，不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵两边对应成比例，但不能说明对应的夹角相等，
∴不能判断，故此选项符合题意；
D．∵，，
∴，
∴，故此选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）

A. 值越大，梯子越陡B. 值越大，梯子越陡
C. 值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【解析】A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意；
B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
C、正切值是随着角度减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
7. 数学兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，各组的作图痕迹如下，其中所作射线不一定平分的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、由作法知：，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴平分；
B、此作图为角平分线的尺规作图方法；
C、由作图知，，
∴，
∴；
由作图知，，
∴，
∴，
∴平分；
D、由作图知，点P为线段垂直平分线上的点，无法判断射线是否平分．
故选：D ．
8. 关于抛物线与，下列说法中正确的是（ ）
A. 两条抛物线交于点
B. 抛物线和关于x轴对称
C. 两条抛物线的顶点关于原点对称
D. 抛物线向左平移m个单位得到
【答案】D
【解析】令，则，，
∴两条抛物线交于点，故选项A错误；
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴抛物线和关于轴对称，故选项B错误；
两条抛物线的顶点关于轴对称，故选项C错误；
抛物线向左平移m个单位得到，故D选项正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
10. 若将抛物线向右平移1个单位长度，则所得抛物线的表达式______．
【答案】或
【解析】根据题意
故答案为：或 ．
11. 在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有a个红球，这些球除颜色外无其它差别．数学兴趣小组做摸球试验，将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：
根据以上数据，估计a的值约为______．
【答案】24
【解析】根据表格，摸到红球的频率稳定在左右，所以摸一次摸到红球的概率为，
则可估计口袋中红球的个数约为(个)
故答案为： ．
12. 如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚AD和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度4的地方（即同时使），然后张开双脚，使AB两个尖端分别在线段l的两个端点上．这时CD与AB的数量关系是______．
【答案】
【解析】因为，，且（对顶角相等），
所以，
所以相似比为。
根据相似三角形对应边成比例，得.
故答案为：.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点，以O为位似中心将放大，若点B的对应点坐标为0,4，则点A的对应点坐标为______．
【答案】
【解析】已知以O为位似中心将放大，点的对应点坐标为，则位似比为．
因为点，注意坐标值的正负变化，原图形放大的方向是反向延长的，
所以点A的对应点A′的坐标为，即．
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，点分别是边的中点，的延长线与CD的延长线相交于点，连接交CE的延长线于点．对角线分别交于点．下面四个结论正确的序号是______．
①；②是的中点；③；④．
【答案】①②④
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点到AD的高点到AD的高，
∵点是AD的中点，
∴，
∵，
∴①，正确；
∵，点是的中点，
∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，∴，
∴②是的中点，正确；
如图所示，延长，过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，即点是BM的中点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由②正确可得，是的中点；
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15.计算：．
解：．
16. 解方程：．
解：,
，
，
，
，
17. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等．
（1）甲走A出口的概率是______；
（2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率．
解：（1）甲走A出口的概率是．
故答案为：．
（2）用树状图表示甲、乙两人走同一出口的概率：
∴一共有9种等可能情况，其中甲、乙两人走同一出口的情况有3种，
∴．
故甲、乙两人走同一出口的概率为．
18. 如图，一张桌子的桌面长为，宽为，将长方形桌布铺在桌子上；四边垂下的长度相同（四个角除外），桌布的面积为桌面面积的倍，求桌布垂下桌边的长度．

解：设桌布垂下的长度为，
则由题意得，
整理方程得，
，
解得（负值，舍去），，
答：桌布垂下的长度为．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，点D是与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，在线段上取一点E，使得；
（2）图②中，在线段上取一点F，使得；
（3）图③中，在线段上取一点G，使得
解：（1）取线段与的交点为，连接，即为所得．
（2）连接，取线段与线段交于点F，连接，即为所得．
（3）连接，，取线段与的交点为，连接，与的交点为点，连接，即为所得．
20. 如图，在中，D、E分别是的中点，相交于点G．

（1）求证：；
（2）若的面积是，则的面积为______．
（1）证明：连接，

∵D、E分别是的中点，
．
．
．
．
（2）解：∵是的中线，
又
∴
∴
故答案为：．
21. 在数学项目——测量净月潭女神像高度的活动中，某校九年级学生给出以下两种测量方案．从两种方案中任选其中一种，计算净月潭女神像的高度（精确到）．
选择方案______，进行完整解答．
解：选择方案一，
解答过程如下：
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
答：净月潭女神像高约为；
解：选择方案二，
解答过程如下：
，
，
，
，
，
，
，解得，
答：净月潭女神像高约为．
22. 阅读材料，回答下列问题．
【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可）
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：；
【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：．
（3）用分子有理化直接比较和的大小．
解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；；
（2）
．
（3）．
理由如下：
∵，
，
∵，
∴，
∴．
23. 如图，在矩形中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止．将沿直线翻折得到，设点运动时间为，所在直线与射线交于点．
（1）用含的代数式表示的长为______；
（2）求证等腰三角形；
（3）当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，直接写出的取值范围；
（4）当时，直接写出的值．
（1）解：在矩形中，，
点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，
，
，
故答案为：；
（2）证明：由翻折性质可知，
∵在矩形中，，
，
，
，
为等腰三角形；
（3）解：点从点出发，将沿直线翻折得到，当落在边上时（与重合），如图所示：
由（2）知，
再由折叠性质可知，
点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，
；
当时，即当时，四边形与矩形重叠部分是筝形，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形，
综上所述，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，的取值范围是；
（4）解：当点落在矩形内部时，作于点，如图所示：
四边形是矩形，则，
由翻折性质可知，，，
∵在矩形中，，，
在和中，
，，，
在矩形中，，
，，
，，
，则，
在中，由勾股定理可得，
则，解得；
当点落在矩形外部时，如图所示：
由折叠性质得到，
由（2）知为等腰三角形，，
，，
当时，，即，
如图所示：
此时，点和点重合，则．
24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b、c是常数）与坐标轴的交点为和．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，y的取值范围是______；
（3）已知点P在抛物线上，横坐标为，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，将Q为向右平移一个单位长度至点M，连接，构造（不重合）．完成以下问题：
①当点P在点Q下方时，求面积的最大值；
②当抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
解：（1）将和代入，
得，，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式为，顶点坐标．
（2）由（1）得函数解析式为，
∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，且当时，取得最小值，最小值为，
∵包含，
∴内的最小值为，
当时，，
当时，，
∴．
（3）①由点P在抛物线上，点Q在直线上，
设，
∵点P在点Q下方，
∴，
当时，取最大值为，
∵Q为向右平移一个单位长度至点M，
∴，，
∴的面积最大值．
②解：如图1，设抛物线与直线的交点分别为G，H，
根据题意，得，
解得，∴，
当P在Q上方，且P、Q、H三点不重合时，抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而减小，符合题意，此时，∴；
如图2，当点P在Q的下方时，点M未落到抛物线上时，的内部都在抛物线的上方，二者无公共部分；
如图3，当点P在Q的下方时，点M落到抛物线上时，此时，，
故得，
解得，
∴；
如图4，当P在Q下方，且P、Q、G三点不重合时，抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而增大，符合题意，此时，
∴；
当点P在点G的上方时，在抛物线的外部，无公共部分，
综上所述，符合题意的m的取值范围是或．摸球的次数n
20
50
100
200
300
400
500
摸到红球的次数m
9
32
62
117
181
238
301
摸到红球的频率
0.45
0.64
0.62
0.585
0.603
0.595
0.602
活动项目
测量净月潭女神像的高度
活动方案
方案一
方案二
测量工具
测角仪、卷尺
平面镜、卷尺
方案示意图
实施过程
1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处；
2．用测角仪测量从点处观察女神像顶点的仰角；
3．测量点到地面的高度．
1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处；
2．在线段上放置一个平面镜，调整平面镜的位置，使观测者刚好从镜中看到女神像的顶点；
3．测量两点间距离；
4．测量到地面的高度CD．
参考数据
，，，，，．
．
备注
1．图上所有点均在同一平面内；
2．均与地面垂直．
1．图上所有点均在同一平面内；
2．均与地面垂直；
3．由物理学知识可得．