2023~2024学年四川省绵阳市名校联盟九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年四川省绵阳市名校联盟九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】：∵点与点关于原点成中心对称，
∴点的坐标为，
故选：A
2. 已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】∵1为关于的一元二次方程的根，
∴，
∴，
故选：A．
3. 在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下列美术字中是中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的概念可得，下列美术字中是中心对称图形的有、、，共3个，
故选：C．
4. 在中，弦长为，圆心到的距离为，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图：连接，作，
∵圆心到的距离为，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得：的半径，
故选：B．
5. 如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】列表可得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种，
∴能让灯泡发光的概率为，
故选：D．
6. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，点旋转后的对应点为，则（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】如图，
∵将绕点逆时针方向旋转，点旋转后的对应点为，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C
7. 向阳村老李家2023年每月收入持续增长，若10月份收入为元，12月份收入为元．设平均每月收入的增长率为，则方程可列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设平均每月收入的增长率为，则方程可列为，
故选：B．
8. 如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：D．
9. 已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 顶点坐标为B. 函数的最大值为
C. 当时，随的增大而减小D. 若，则
【答案】D
【解析】，
抛物线顶点坐标为，
抛物线的开口向上，顶点坐标为，函数的最小值为，抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
若，则，
选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，
故选：D
10. 如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】∵在中，，，，
∴，
设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，
则，，，，
∵，
，
∴，
∴，
故选：A．
11. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，∴，，∴正比例函数，反比例函数，
画出函数图象如图所示：

由图象可得：不等式的解集为或，
故选：B．
12. 如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，作于，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
如图，当点与点重合时，最大，
由勾股定理可得：，
如图，当与上的高，即点重合时，最小，
由勾股定理可得：，
∴的最大值与最小值的差为，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡的横线上．
13. 不透明的袋子中有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出2个球，则“取出的2个球中有红球”为________事件．
【答案】必然
【解析】不透明的袋子中装有1个黄球、2个红球，
则“取出的2个球中有红球”必有1个红球或2个红球，
“取出的2个球中有红球”为必然事件．
故答案为：必然．
14. 将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为________．
【答案】
【解析】设平移后函数的图象上任一点坐标为，
因为将平移后的函数图象向左平移1个单位长度，得到反比例函数的图象，
则向左平移1个单位后得到，其在函数图象上，
将代入，得，
故将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为，
故答案为：．
15. 已知二次函数，若和对应函数值相等，则________．
【答案】0或2
【解析】∵二次函数，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵和对应函数值相等，
∴或
解得，或，
故答案为：0或2
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知正六边形的顶点，在轴上，边长，坐标原点与正六边形的中心重合，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】如图所示，过点A作轴交x轴于点G，连接，
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵点O是正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
17. 已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为________．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，弧长为，，
解得：，
扇形面积为，
故答案为：．
18. 如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则________．
【答案】
【解析】如图，连接、、、，作于，于，于，于，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，平分，平分，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）解方程：．
（2）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应，请直接写出点和点的坐标，并求边扫过形成扇形的弧长．

解：（1）移项，得．
∵，，，
∴，
∴．
∴原方程的解为，．
（2），．
∵，，
∴．
∴边扫过形成扇形的弧长．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，是否存在另一个不等于1的根？若存在，求出此根；若不存在，请说明理由．
（2）在实数范围内讨论此方程根的情况．
解：（1）∵是该方程的一个根，
∴，解得
∴方程为．
∵
∴存在另一个不等于1的根．
解得，．
∴方程另一个不等于1的根为．
（2）由一元二次方程，得，，，
∴．
当，即时，原方程无实数根．
当，即时，原方程有两个相等的实数根．
当，即时，原方程有两个不相等的实数根．
21. 产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，）
（1）列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果；
（2）求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率．
解：（1）从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件的所有等可能的结果有，，，，，，，，，．
（2）由（1）得基本事件的总数为，
其中抽取的3件产品中没有次品的结果有种．
∴抽得的3件产品中至少含1件次品的概率为．
22. 某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润（万元）与成本（万元）满足，乙每月的利润（万元）与成本（万元）满足．
（1）今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本万元，一个月后两商品的利润相等，求的值；
（2）该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润．
解：（1）由题意，得，
整理得，
解得， （舍去），
∴．
（2）由（1）可得一月份的利润为（万元）．
∴（万元）．
设投入乙商品的成本万元，则投入甲商品的成本万元，二月份获利万元．
由题意得，
∴当时，取得最大值，（万元）．
∴当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元．
23. 如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式．
解：（1）如图，设与轴交于点．
∵是点关于轴的对称点，的面积是4，
∴．
∴，即．
又．
∴．
∴反比例函数的解析式．
（2）∵点的横坐标为1，
当时，，
∴．
由点与点关于轴对称得．
由题可得，点与点关于原点对称，
∴，
过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点，
∴．
设直线的解析式为．
将代入上式，得，
∴直线解析式为．
∵，
∴可设直线的解析式为，
将代入上式，得到，
解得．
∴直线的解析式为．
24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
（3）求的半径．
（1）证明：∵点是弧的中点，
∴
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）证明：连接交于点．
∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴半径，
∴半径，
∴是的切线．
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标．
解：（1）∵，∴，C0,6．
∵对称轴，∴．
设抛物线解析式为
由题意得，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）存在，
∵，C0,6，∴．
设中点为，则D1,3，连接．
设点，则．
当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，
此时，为直角，，则，
∴，
化简得，
解得，．
∴的坐标为或时，为直角．
（3）设点．
则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，
当在抛物线上时，，
化简得，
解得，．
∴时，，时，．
经检验，此时点不在抛物线上．
当在抛物线上时，，
化简得，
解得，．
∴当时，，当时，．
经检验，此时点不在抛物线上．
综上，满足题意的点的坐标为，，，．