江苏省常州市2025届高三上学期期末质量调研数学试题

这是一份江苏省常州市2025届高三上学期期末质量调研数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={0,1,2}，B={0,2,4}，C={x|2lgx0,b>0)的一条渐近线与圆(x−1)2+y2=1相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
7.已知角α的终边经过点P(1,3)，角β为钝角，且cs(α+β)=− 55，则sinβ=( )
A. 22B. 23C. 25D. 210
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为( )
A. π3B. 2π3C. πD. 4π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，O为底面A1B1C1D1的中心，则( )
A. AC1=AB+AD+AA1B. DO=12(AB−AD+AA1)
C. |BD1|=2D. A1D,CD1=120∘
10.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)，则下列说法正确的有( )
A. 若f(x)在[0,π]上的值域为[−1,1]，则ω的取值范围是[32,+∞)
B. 若f(x)在(0,π3)上恰有一条对称轴，则ω的取值范围是(32,3]
C. 若f(x)在(−π3,π4)上单调递增，则ω的取值范围是(0,32]
D. 若f(x)在(0,π2)上有且只有两个不同的零点，则ω的取值范围是(4,6]
11.某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有：
表1甲每股收益的分布列
表2乙每股收益的分布列
A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B. 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥(方差小)
C. 此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元
D. 此人按照1:1的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)满足以下两个条件：①是奇函数;②在(0,+∞)上单调递减;请写出符合要求的f(x)的一个解析式 ．
13.已知(x+ay)(2x−y)5的展开式中x2y4项的系数为30，则a= ．
14.在△ABC中，点D满足BD=DC，∠BAD=30°，∠ABC=∠CAD，则tan∠ABC= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为AA1，AC的中点，且AB=BC=1，AA1=AC= 3．
(1)求证：BE⊥AC1；
(2)求二面角B−CD−A1的正弦值．
16.(本小题15分)
某校A，B两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得−1分．设每轮比赛中A班答对的概率为23，B班答对的概率为12，A，B两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响．
(1)经过1轮比赛，设A班的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)求经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的概率．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1a2+a2a3+⋯+anan+1=4n(n+1)(n+2)3(n∈N∗)．
(1)设bn=anan+1，求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，且S10=145，求a1的值．
18.(本小题17分)
平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2+y23=1(a>0)的离心率为12，其右焦点与抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点重合．
(1)求C1，C2的方程；
(2)点P是C2上位于第一象限的动点，C2在点P处的切线与C1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为Q，直线OQ与过P且垂直于y轴的直线交于点M.问点M是否在一条定直线l上，若在，求出直线l的方程；若不在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx．
(1)若f(x)在区间(a,+∞)上单调，求实数a的取值范围；
(2)若函数g(x)=f(x)−bx2有两个不同的零点．
(ⅰ)求实数b的取值范围；
(ⅱ)若(xlnx−bx2)(x2−cx+d)≤0恒成立，求证：2c0，
令f′(x)>0，解得x>1e，
令f′(x)0，解得0