江苏省淮安市2024-2025学年高二第一学期期末调研测试数学试题-

这是一份江苏省淮安市2024-2025学年高二第一学期期末调研测试数学试题-，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l经过两点A(−4,1)，B(0,−1)，则直线l的斜率是( )
A. 2B. 12C. −12D. −2
2.已知等比数列{an}的公比为2，且前n项和为Sn，a1=1，则S5=( )
A. 15B. 31C. 63D. 127
3.已知函数y=f(x)在x=x0处可导，且limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=32，则f′(x0)等于( )
A. 94B. 32C. 1D. 23
4.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为( )升．
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.设m，n为实数，若点M(m,n)是圆x2+y2=1上的任意一点，则直线mx+ny=1与圆的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
6.已知F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过F1与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=±12xC. y=± 2xD. y=± 22x
7.数列{an}满足nan+1=3(n+1)an，a1=3，数列{an}的前n项和Sn为( )
A. 15n2+9n2B. n⋅3n
C. 1+(14n−8)3n−2D. 34+(n2−14)3n+1
8.已知关于x的方程lnx−aex−lna=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. (0,e)B. (e,+∞)C. (0,1e)D. (1e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某物体运动的位移方程为S(t)=3t2+2(1≤t≤6)( )
A. 该物体位移的最大值为100
B. 该物体在[1,4]内的平均速度为15
C. 该物体在t=5时的瞬时速度是32
D. 该物体的速度v和时间t时的关系式是v(t)=6t(1≤t≤6)
10.已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，a5−a1=15，a4−a2=6，则( )
A. q=2
B. a6=32
C. 1a1+1a2+1a3+⋯+1an>2
D. 数列{lg2an+1}的前n项和为(1+n)n2
11.已知抛物线x2=4y的焦点为F，过F的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线BO交抛物线的准线于点C，设抛物线在点A处的切线为l，且l与x轴的交点为D，则( )
A. C(−x2,−1)B. x1x2=−4
C. 四边形ACOF为梯形D. △ACF的面积是△ADF的面积的2倍
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两条直线l1:(m−1)x+y+1=0，l2:x−2my+2=0，且l1⊥l2，则m= ．
13.已知函数f(x)=ex−x，则f(x)的单调递增区间为 ．
14.已知A，B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在△ABQ中，∠QAB=π4，|QB|−|QA|= 22|AB|，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知各项为正数的等差数列{an}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=a1，b2=a2，问：数列{an}的前50项中哪些项在等比数列{bn}中?
16.(本小题15分)
已知△ABC的三个顶点为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，记△ABC外接圆为圆M
(1)求圆M的方程;
(2)过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且|CD|= 10，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，则存在x0∈(a,b)，使得f(b)−f(a)b−a=f′(x0).已知函数f(x)=x2−2x，数列{an}满足f(an+1)−f(an)an+1−an=f′(2an+1)，且a1=2．
(1)求a2，a3;
(2)证明：数列{an+1}为等比数列;
(3)若数列{bn}的前n和为Sn，且设bn=3nanan+1，问：是否存在实数p，q，使得对任意n∈N*，总有Sn=p+1q⋅3n+2成立?
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−2,0)，F2(2,0)，||PF1|−|PF2||=2 3，点P的轨迹为曲线C，过点F1的直线l与曲线C交于A，B两点(A,B两点均在y轴左侧)．
(1)求曲线C的方程;
(2)若点A在x轴上方，且BF1=5F1A，求直线l的方程;
(3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线BF2交于点M，线段AM的中点为N，若直线l与直线NF2交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−xlnx(a∈R)在点P(e,f(e))处的切线方程为y=−x+e．
(1)求实数a的值;
(2)若不等式f(x)≥m(x−e)对∀x∈[1,e]恒成立，求实数m的取值范围;
(3)对∀n∈N*，关于x的方程f(x)=(12)n总有两个不等的实数根x1(n)，x2(n)，求证：k=1n|x1(k)−x2(k)|>e(n−1)
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】−1
13.【答案】(0,+∞)
14.【答案】 427
15.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，d>0，
因为a1，a2，a5成等比数列，
所以a22=a1a5，
所以1+d2=1+4d，解得d=2或d=0，
若d=2，则an=1+2n−1=2n−1；
若d=0，则an=1+0×n−1=1
故数列{an}的通项公式为an=2n−1或an=1．
(2)若an=2n−1，则b1=a1=1,b2=a2=3，
所以等比数列{bn}的公比q=b2b1=3，
所以bn=1×3n−1=3n−1．
a50=2×50−1=99，
b1=1,b2=3,b3=9,b4=27,b5=81,b6=243，
b1=a1，b2=a2，b3=a5=9，b4=a14=27，b5=a41=81，
所以a1,a2,a5,a14,a41在等比数列{bn}中．
若an=1，则b1=a1=1,b2=a2=1，
所以等比数列{bn}的公比为1，
即bn=1，
所以a1在等比数列{bn}中．
16.【答案】解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为点A、B，C都在圆M上，
所以4D+3E+F+25=05D+2E+F+29=0D+F+1=0，解得D=−6E=−2F=5,
因此圆M的方程为x2+y2−6x−2y+5=0；
(2)设直线l的方程为y=k(x−1)，
因为圆心M3,1到直线l的距离d=|2k−1| k2+1，
圆M的半径r= 5，|CD|= 10，
所以由d2=r2−(|CD|2)2，
得|2k−1| k2+12=5−104=52，解得k=3或−13，
因此直线l的方程为3x−y−3=0或x+3y−1=0．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=x2−2x，所以f′(x)=2x−2，
因此由f(an+1)−f(an)an+1−an=f′(2an+1)，
得an+12−2an+1−an2+2anan+1−an=2(2an+1)−2，
即an+1+an−2=4an，所以an+1=3an+2，
因为a1=2，所以a2=3×2+2=8，a3=3×8+2=26；
(2)证明：由(1)知：an+1=3an+2，
因此an+1+1=3an+1，而a1+1=3，
所以an+1+1an+1=3且a1+1=3，
因此数列{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列；
(3)由(2)知：数列{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
因此an+1=3n ，即an=3n −1，
所以bn=3nanan+1=3n3n−13n+1−1=1213n−1−13n+1−1，
因此Sn=1212−132−1+132−1−133−1+133−1−134−1+⋯+13n−1−13n+1−1
=1212+11−3n+1=14+1−6·3n+2，
所以存在p=14，q=−6，使得对任意n∈N*，总有Sn=p+1q⋅3n+2成立．
18.【答案】解：(1)由题知：点P的轨迹是以F1、F2为焦点，且实轴长为2 3的双曲线，
因此b2=c2−a2=4−3=1，所以曲线C方程为x23−y2=1；
(2)设直线l：x=my−2m≠± 3，A(x1,y1)，B(x2,y2)(y1>0)，
由x=my−2x23−y2=1，得(m2−3)y2−4my+1=0，
显然Δ=16m2−4m2−3=12m2+12>0，
因此y1+y2=4mm2−3，y1y2=1m2−3，Δ=16m2−4(m2−3)>0，
因为BF1=5F1A，所以y2=−5y1，
因此y1=−mm2−3，−5y12=1m2−3，
所以−5−mm2−32=1m2−3，解得m2=12，
因为A，B两点均在y轴左侧，且y2=−5y1(y1>0)，
所以直线l的斜率1m> 33，即00x∈1,e,
因此函数h(x)在区间[1,e)上单调递增，
所以h(x)k=1n |x1′(k)−x2′(k)|
=k=1n |(12)n−[e+(1−e)(12)n]|
=k=1n |e(12)k−e|=k=1n[e−e(12)k]
=ne−e·121−12n1−12=ne−e+e(12)n>e(n−1)．