中考数学第一轮复习讲义第21讲 相似三角形及其应用（练习）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习讲义第21讲 相似三角形及其应用（练习）（解析版），共172页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
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\l "_Tc156557563" 题型01 添加条件使两个三角形相似
\l "_Tc156557564" 题型02 证明两个三角形相似
\l "_Tc156557565" 题型03 确定相似三角形的对数
\l "_Tc156557566" 题型04 在网格中判断相似三角形
\l "_Tc156557567" 题型05 利用相似的性质求解
\l "_Tc156557568" 题型06 利用相似的性质求点的坐标
\l "_Tc156557569" 题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
\l "_Tc156557570" 题型08 证明三角形的对应线段成比例
\l "_Tc156557571" 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
\l "_Tc156557572" 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象
\l "_Tc156557573" 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用
\l "_Tc156557574" 题型12 三角板与相似三角形综合应用
\l "_Tc156557575" 题型13 平移与相似三角形综合应用
\l "_Tc156557576" 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
\l "_Tc156557577" 题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值
\l "_Tc156557578" 题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
\l "_Tc156557579" 题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
\l "_Tc156557580" 题型18 A字模型
\l "_Tc156557581" 题型19 8字模型
\l "_Tc156557582" 题型20 一线三垂直模型
\l "_Tc156557583" 题型21 三角形内接矩形模型
\l "_Tc156557584" 题型22 旋转相似模型
\l "_Tc156557585" 题型23 相似三角形的应用
题型01 添加条件使两个三角形相似
1．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠CAB=∠DB．ACBC=DEAEC．AD∥BCD．BCAC=ADAE
【答案】D
【分析】】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A．由∠C=∠AED=90°，∠CAB=∠D，可知△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；
B．设ACBC=DEAE，即ACDE=BCAE，
又∵∠C=∠AED=90°，
∴△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；
C．由BC∥AD，可得∠B=∠DAE，由∠C=∠AED=90°，可得△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；
D．由BCAC=ADAE，无法判断三角形相似，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
2．（2023·广东广州·统考一模）已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠ 时，则△ADC∼△ACB．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可．
【详解】解：当∠1=∠B时，△ADC∼△ACB，理由如下，
∵∠A=∠A，∠1=∠B，
∴△ADC∼△ACB，
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键．
3．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可）
【答案】∠B=∠E或∠C=∠D（答案不唯一）
【分析】根据图形，结合相似三角形的判定，即可得出答案．
【详解】解：根据图形，可得：∠DAE=∠BAC，
∴添加∠B=∠E或∠C=∠D，
∴△AED∽△ABC．
故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握相似三角形的判定定理．
题型02 证明两个三角形相似
4．（2023·广东广州·广州市第二中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明∠A=∠C，∠CDE=∠F，即可证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A=∠C，
∴∠CDE=∠F，
∴△CDE∽△AFD．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．
5．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．

(1)求证：△DCE∽△BCA；
(2)若AB=6，AC=8，求BDCD的值．
【答案】(1)见解析
(2)BDCD=34．
【分析】（1）已知AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC，再由∠EAD=∠ADE，可得∠BAD=∠ADE，即可得DE∥AB，从而得△DCE∽△BCA；
（2）作DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，利用角平分线的性质得到DF=DG，再利用三角形面积公式求得S△ADBS△ADC=34，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴DE∥AB，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：作DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，

∵AD平分∠BAC，
∴DF=DG，
∴S△ADBS△ADC=12AB×DF12AC×DG=ABAC=68=34，
∵S△ADBS△ADC=BDCD，
∴BDCD=34．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质，掌握“角平分线上点到角两边的距离相等”是解题的关键．
6．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
【答案】(1)△ABP∽△PCE，理由见解析
(2)0≤m≤42
【分析】（1）证明 ∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPE可得△ABP∽△PCE；
（2）设BP=x，CE=y，则PC=m-x，根据△ABP∽△PCE，可得y=-14x2+m4x，求出y最大值为m216，因为m216≤2且m≥0即可得到答案．
【详解】（1）解：△ABP∽△PCE，理由如下：
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠B=∠C=90°，∠BAP+∠APB=90°，
∵PE⊥PA，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCEAA；
（2）解：∵BC=m，
设BP=x，CE=y，则PC=m-x，
∵△ABP∽△PCE，
∴ABPC=BPCE，
∵AB=4，
∴4m-x=xy，整理得y=-14x2+m4x，
∴y=-14x2+m4x=-14x-m22+m216 0AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①等腰直角三角形，见解析；②AB=3k；PE=52k
【分析】（1）根据新定义，画出等联角；
（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≌Rt△CNE，得出∠PCF=45°即可求解；
②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°．证明△APC≌△RFP，得出AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2=BF2，BF=2k，进而证明四边形BRFQ为正方形，则BQ=QF=k，由FQ∥CN，得出△AEF∽△NEC，根据相似三角形的性质得出NE=32k，根据PE=PM+ME即可求解．
【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）
（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．
由折叠得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2
∵AC=AB，∠A=∠PBD=∠N=90°，
∴四边形ABNC为正方形
∴CN=AC=CM
又∵CE=CE，
∴Rt△CME≌Rt△CNEHL
∴∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∠CPF=90°
∴∠PCF=∠2+∠3=∠CFP=45°
∴△PCF是等腰直角三角形．
②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°．
∵∠1+∠5=∠5+∠6=90°，
∴∠1=∠6，
由△PCF是等腰直角三角形知：PC=PF，
∴△APC≌△RFPAAS，
∴AP=FR，AC=PR，而AC=AB，
∴AP=BR=FR，
在Rt△BRF中，BR2+FR2=BF2，BF=2k，
∴AP=BR=FR=k，
∴PB=2AP=2k，
∴AB=AP+PB=BN=3k，
由BR=FR，∠QBR=∠R=∠FQB=90°，
∴四边形BRFQ为正方形，BQ=QF=k，
由FQ⊥BN，CN⊥BN得：FQ∥CN，
∴△QEF∽△NEC，
∴QENE=QFCN，而QE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE，
即2k-NENE=k3k=13，解得：NE=32k，
由①知：PM=AP=k，ME=NE=32k，
∴PE=PM+ME=k+32k=52k．
【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC=am，BC=bm；
（ⅱ）分别在AC，BC，上测得CM=a3m，CN=b3m；测得MN=cm．求解过程：
由测量知，AC=a， BC=b，CM=a3，CN=b3，
∴CMCA=CNCB=13，又∵①___________，
∴△CMN∽△CAB，∴MNAB=13．
又∵MN=c，∴AB=②___________m．
故小水池的最大宽度为___________m．