中考数学第一轮复习讲义第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（练习）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习讲义第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（练习）（解析版），共168页。试卷主要包含了下面的三个问题中都有两个变量等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc154957875" 题型01 用反比例函数描述数量关系
\l "_Tc154957876" 题型02 判断反比例函数
\l "_Tc154957877" 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
\l "_Tc154957878" 题型04 判断反比例函数图象
\l "_Tc154957879" 题型05 反比例函数点的坐标特征
\l "_Tc154957880" 题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式
\l "_Tc154957881" 题型07 由反比例函数解析式判断其性质
\l "_Tc154957882" 题型08 由反比例函数图象分布象限，求k值
\l "_Tc154957883" 题型09 判断反比例函数经过象限
\l "_Tc154957884" 题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
\l "_Tc154957885" 题型11 已知反比例函数增减性，求k值
\l "_Tc154957886" 题型12 由反比例函数的性质比较大小
\l "_Tc154957887" 题型13 求反比例函数解析式
\l "_Tc154957888" 题型14 与反比例函数有关的规律探究问题
\l "_Tc154957889" 题型15 已知比例系数求特殊图形面积
\l "_Tc154957890" 题型16 已知图形面积求比例系数
\l "_Tc154957891" 题型17 一次函数图象与反比例函数图象综合
\l "_Tc154957892" 题型18 一次函数与反比例函数交点问题
\l "_Tc154957893" 题型19 一次函数与反比例函数综合应用
\l "_Tc154957894" 题型20 反比例函数的实际应用
\l "_Tc154957895" 题型21 反比例函数与几何综合
题型01 用反比例函数描述数量关系
1．（2022·北京昌平·统考二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数
【答案】D
【分析】根据PV=96结合反比例函数的定义判断即可．
【详解】由表格数据可得PV=96，即P=96V，
∴气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是反比例函数，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①京沪铁路全程为1463km，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；
②已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积y(单位：km2/人)与全市总人口x(单位：人)；
③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了14．油箱中的剩油量yL与加满汽油后汽车行驶的路程xkm．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】分别求出三个问题中变量y与变量x之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：y=1463x，符合题意；
②由人均面积等于总面积除以总人口得：y=1.68×104x，即y=16800x，符合题意；
③由加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了14，可知每公里油耗为：14×50÷200=116L，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：y=50-116x，不符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键．
题型02 判断反比例函数
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列函数y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=3xB．y=axC．y=1x2D．y=13x
【答案】D
【分析】利用反比例函数定义对四个选项分析解答即可．
【详解】解：A．由y=3x得y是x的正比例函数，那么A不符合题意．
B．由y=ax(a≠0)得y是x的反比例函数，那么B不符合题意．
C．由y=1x2得y是x2的反比例函数，那么C不符合题意．
D．由y=13x得y是x的反比例函数，那么D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键在于掌握形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
2．（2022·河南焦作·统考模拟预测）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=2x+1B．y=x2C．y=-5xD．yx=2
【答案】C
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：y＝kx(k≠0)或y=kx－1或xy=k的函数是反比例函数．
【详解】A. y=2x+1，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. y=x2，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
C. y=-5x，是反比例函数，故该选项正确，符合题意；
D. yx=2，不是反比例数，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y＝kx(k≠0)或y=kx－1或xy=k的函数是反比例函数
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
1．（2023·云南楚雄·统考二模）已知反比例函数y=-2x的图象过点Pa,b，则代数式ab的值为（ ）
A．-2B．2C．-12D．12
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质，即图象经过的点的坐标满足函数表达式，进行求解即可．
【详解】解：∵函数y=-2x的图象过点Pa,b，
∴ab=-2．
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握图象经过的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
2．（2023·山西阳泉·统考二模）若点A2,6,B-3,m在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ）
A．1B．-1C．4D．-4
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，列式计算即可．
【详解】解：∵点A2,6,B-3,m在同一个反比例函数的图象上，
∴2×6=-3m，
∴m=-4；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于k，是解题的关键．
3．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数y=kxk≠0的图象经过点2,k-n2-2，则k的取值范围为（ ）．
A．k≤-2B．k≤-4C．k≥2D．k≥4
【答案】D
【分析】将点2,k-n2-2代入y=kxk≠0，求出k的值，再根据2n2≥0，即可求出k的取值范围．
【详解】∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过点2,k-n2-2，
∴ 2k-n2-2=k
∴k=2n2+4
∵2n2≥0
∴k≥4
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键．
4．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数y=3x的图象经过a，m+33，b，m两点，则代数式2ab2a-2b+7ab的值是（ ）
A．23B．-23C．2D．-2
【答案】C
【分析】根据题意得到3a=m+33，3b=m，从而得到1a-1b=3，进一步得到a-b=-3ab，代入变形后的代数式即可求得．
【详解】解：∵反比例函数y=3x的图象经过a，m+33，b，m两点，
∴3a=m+33，3b=m，
∴3a-3b=33，
∴1a-1b=3，
∴b-aab=3，
∴a-b=-3ab，
∴2ab2a-2b+7ab=2ab-6ab+7ab=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
5．（2021·云南昭通·统考一模）若函数y=a+3x是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 ．
【答案】a≠-3
【分析】根据反比例函数定义，a+3≠0，求解即可．
【详解】解：∵y=a+3x是关于x的反比例函数
∴a+3≠0
所以a≠-3
故答案为：a≠−3
【点睛】本题考查反比例函数的定义，根据定义去解题是常考内容，也是解题的切入点．
6．（2021·云南红河·统考一模）已知关于x的反比例函数y=2axa经过点(1,b)，则b= ．
【答案】2
【分析】根据反比例函数的定义即可求出a的值，即得出该反比例函数的解析式．再将点(1，b)代入该反比例函数的解析式即可求出b的值．
【详解】∵y=2axa是关于x的反比例函数，
∴a=1，
∴y=2x，
∵该反比例函数经过点(1，b)，
∴b=21=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数的定义与反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的定义求出a的值是解答本题的关键．
7．（2019·湖南益阳·统考一模）若函数y=(k-1)x|k|-2是反比例函数，则k= ．
【答案】-1
【分析】由题意根据反比例函数的定义列出关于k的方程，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意，得
k-2=-1，且k-1≠0，
解得，k=-1．
故答案是：-1．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，注意掌握重点是将一般式y=kxk≠0转化为y=kx-1k≠0的形式
题型04 判断反比例函数图象
1．（2022·河北保定·校考一模）函数y=-1x的图象所在的象限是（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第二象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得x>0，进而可得y0，
∴y的取值范围是y0和函数y=-3xx0，-30的图象在第一象限，y=-3xx-3，
∴函数y=-3xx0-abb0)-3x(x0时，反比例函数y=3x在第一象限，
当xy1,y'30的图象上可得k=6a2，根据阴影部分为矩形，且长为k4a，宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B6a,0，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q为BE的中点，
∴BQ=12AB=a，
∴Q6a,a，
∵Q在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C6a,6a，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P点在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴P点横坐标为x=k4a，
∴Pk4a,4a，
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
∴NH=k4a，MH=a，
∴S▭OMHN=NH×MH=k4a×a=6，
∴k=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，点Aa,5a和Bb,5b在反比例函数y=kxk>0的图象上，其中a>b>0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为154，则ab= ．

【答案】 52 2
【分析】根据Aa,5a，得出OC=a,AC=5a，根据三角形面积公式，即可求出△AOC的面积；过点B作BD⊥x轴于点D，BD交OA于点E，根据S△OBD=S△ODE+S△OBE=52，S△AOC=S△ODE+S四边形DCAE=52，得出S△OBE=S四边形DCAE，进而得出S△AOB=S梯形BDCA，根据梯形面积公式，列出方程，化简得ab-ba=32，令x=ab，则x-1x=32，求出x的值，根据a>b>0，得出ab>1，即x>1，即可解答．
【详解】解：∵Aa,5a，
∴OC=a,AC=5a，
∴S△AOC=12OC⋅AC=12⋅a⋅5a=52，
过点B作BD⊥x轴于点D，BD交OA于点E，
∵Bb,5b，
∴OD=b,BD=5b，
∴S△OBD=12OD⋅BD=12⋅5b⋅b=52，
∵S△OBD=S△ODE+S△OBE=52，S△AOC=S△ODE+S四边形DCAE=52，
∴S△OBE=S四边形DCAE，
∴S△AOB=S△OBE+S△ABE=S四边形DCAE+S△ABE=S梯形BDCA，
∴S梯形BDCA=12CDAC+BD=12×a-b5a+5b=154，
整理得：ab-ba=32，
令x=ab，
则x-1x=32，
解得：x1=-12（舍），x2=2，
∵a>b>0，
∴ab>1，即x>1，
∴ab=2，
故答案为：52，2．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．
20．（2023·广东·统考中考真题）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I=48R，当R=12Ω时，I的值为 A．
【答案】4
【分析】将R=12Ω代入I=48R中计算即可；
【详解】解：∵R=12Ω，
∴I=48R=4812=4 A
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数y=8x(x>0)的图象上有P1,P2,P3,⋯P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,⋯,S2023，则S1+S2+S3+⋯+S2023= ．

【答案】2023253
【分析】求出P1,P2,P3,P4…的纵坐标，从而可计算出S1,S2,S3,S4…的高，进而求出S1,S2,S3,S4…，从而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．
【详解】当x=1时，P1的纵坐标为8，
当x=2时，P2的纵坐标为4，
当x=3时，P3的纵坐标为83，
当x=4时，P4的纵坐标为2，
当x=5时，P5的纵坐标为85，
…
则S1=1×(8-4)=8-4；
S2=1×(4-83)=4-83；
S3=1×(83-2)=83-2；
S4=1×(2-85)=2-85；
…
Sn=8n-8n+1；
S1+S2+S3+…+Sn=8-4+4-83+83-2+2-85+⋯+8n-8n+1=8-8n+1=8nn+1，
∴S1+S2+S3+…+S2023=8×20232024=2023253．
故答案为：2023253．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出Sn=8n-8n+1．
22．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若关于x的函数y，当t-12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=M-N2，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数y=4044x，当t=1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数y=2x （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数y=-x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①2022；②k>0时，h=k2，k0，y随x的增大而增大，
∴h=M-N2=4044×32-4044×122=2022，
②若函数y=kx+b，当k>0时，t-12≤x≤t+12，
∴ M=kt+12+b,N=kt-12+b，
∴h=M-N2=k2，
当k0时，h=k2，k0，x≥1，函数在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴t-12≥1，
解得t≥32，
当t-12≤x≤t+12时，
∴ M=2t-12=42t-1,N=2t+12=42t+1，
∴h=M-N2=1242t-1-42t+1=22t+1-22t-12t-12t+1=42t-12t+1=44t2-1，
∵当t≥32时，4t2-1随t的增大而增大，
∴当t=32时，4t2-1取得最小值，此时h取得最大值，
最大值为h=42t-12t+1=42×4=12；
（3）对于函数y=-x2+4x+k =-x-22+4+k，
a=-10，抛物线开口向上，在32≤t≤2上，
当t=2时，h有最小值18，
∴18=4+k
解得k=-318
ii)当 2-t-121x，
∴x4，
故答案为：x4．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y=6|x|-|x|的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝6|x|-|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程6|x|-|x|＝5的解 ；
②写出不等式6|x|-|x|≤1的解集 ．
【答案】(1)①1；②见解析，③见解析
(2)y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称轴（答案不唯一）
(3)①x=1或x=-1；②x≤-2或x≥2
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【详解】（1）①列表：当x=2时，a=6|2|-|2|=1，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称，
故答案为：y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称；
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
6|x|-|x|=5的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴6|x|-|x|≤1的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
25．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
(1)a=_______，b=_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2x≥0，结合表格信息，探究函数y=12x+2x≥0的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2x≥0的图象；

②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥-32x+6的解集为________．
【答案】(1)2，1.5
(2)①见解析；②函数值y逐渐减小
(3)x≥2或x=0
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，I=12R+2，
当I=3时，由3=12a+2得a=2，
当R=6时，b=126+2=1.5，
故答案为：2，1.5；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y=12x+2x≥0的图象如图：

②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小，
故答案为：函数值y逐渐减小；
（3）解：当x=2时，y=-32×2+6=3，当x=0时，y=6，
∴函数y=12x+2x≥0与函数y=-32x+6的图象交点坐标为2,3，0,6，
在同一平面直角坐标系中画出函数y=-32x+6的图象，如图，

由图知，当x≥2或x=0时，12x+2≥-32x+6，
即当x≥0时，12x+2≥-32x+6的解集为x≥2或x=0，
故答案为：x≥2或x=0．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
26．（2022·浙江温州·统考中考真题）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点(3,-2)．
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
【答案】(1)y=-6x，见解析
(2)x≤-65或x>0
【分析】（1）将图中给出的点(3,-2)代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象；
（2）当y=5时，5=-6x，解得x=-65，结合图象即可得出x的取值范围．
【详解】（1）解：（1）把点(3,-2)代入表达式y=kx(k≠0)，
得-2=k3，
∴k=-6，
∴反比例函数的表达式是y=-6x．
反比例函数图象的另一支如图所示．
（2）当y=5时，5=-6x，解得x=-65．
由图象可知，当y≤5，且y≠0时，
自变量x的取值范围是x≤-65或x>0．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
27．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kxx>0的图象分别与AB,BC交于点D4,1和点E，且点D为AB的中点．

(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=kxx>0的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为y=4x，E2，2
(2)-3≤m≤0
【分析】（1）根据矩形的性质得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D4,1是AB的中点得到B4，2，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线y=x+m恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，AB⊥OA，
∵D4,1是AB的中点，
∴B4，2，
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数y=kxx>0的图象分别与AB,BC交于点D4,1和点E，
∴1=k4，
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=4x，
在y=4x中，当y=4x=2时，x=2，
∴E2，2；
（2）解：当直线 y=x+m经过点E2，2时，则2+m=2，解得m=0；
当直线 y=x+m经过点D4，1时，则4+m=1，解得m=-3；
∵一次函数y=x+m与反比例函数y=kxx>0的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时（点M可与点D,E重合），
∴-3≤m≤0．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
28．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线y=x+b与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点C．

(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)直线AB的表达式为y=x+1，反比例函数的表达式为y=6x
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据BC∥x轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线y=x+b与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,3)，
∴k=2×3=6，2+b=3，即b=1，
∴直线AB的表达式为y=x+1，反比例函数的表达式为y=6x．
（2）解：∵直线y=x+1的图象与y轴交于点B，
∴当x=0时，y=1，
∴B0,1，
∵BC∥x轴，直线BC与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴6x=1，即x=6，
∴C6,1，
∴BC=6，
∴S△ABC=12×2×6=6．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
29．（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．

(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
【答案】(1)h=20ρ．
(2)该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
【分析】（1）由题意可得，设h=kρ，把ρ=1，h=20代入解析式，求解即可；
（2）把h=25cm代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：设h关于ρ的函数解析式为h=kρ，
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20．
∴h关于ρ的函数解析式为h=20ρ．
（2）解：把h=25代入h=20ρ，得25=20ρ．
解得：ρ=0.8．
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
30．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A-1，6，B3a,a-3，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若S△OAM=S△OAB，求点M的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为y=-6x，一次函数的解析式为y=-2x+4
(2)M点的坐标为-83,0或83,0
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=k1x，将A-1，6代入y=k1x，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将B3a,a-3代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据S△OAB=S△OAC+S△OBC求出S△OAB，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为y=k1x，
将A-1，6代入y=k1x，可得6=k1-1，解得k1=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-6x，
把B3a,a-3代入y=-6x，可得3a-3a=-6，
解得a=1，
经检验，a=1是方程的解，
∴B3,-2，
设一次函数的解析式为y=k2x+b，
将A-1，6，B3,-2代入y=k2x+b，
可得6=-x+b-2=3x+b，
解得k2=-2b=4，
∴一次函数的解析式为y=-2x+4；
（2）解：当y=0时，可得0=-2x+4，
解得x=2，
∴C2,0，
∴OC=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=12×2×6+12×2×2=8，
∵S△OAM=S△OAB，
∴S△OAM=8=12×6×OM，
∴OM=83，
M在O点左侧时，M-83,0；
M点在O点右侧时，M83,0，
综上，M点的坐标为-83,0或83,0．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出S△OAB是解题的关键．
31．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于Aa,4和B4,2两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
(3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．
【答案】(1)反比例函数为：y=8x，一次函数为y=-x+6．
(2)2≤x≤4
(3)9
【分析】（1）利用B4,2可得反比例函数为y=8x，再求解A2,4，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得答案；
（3）求解OA的解析式为：y=2x，结合过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B4,2，可得D1,2，BD=4-1=3，由AB为y=-x+6，可得C6,0，OC=6，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=kx过B4,2，
∴k=8，
∴反比例函数为：y=8x，
把Aa,4代入y=8x可得：a=84=2，
∴A2,4，
∴2m+n=44m+n=2，解得：m=-1n=6，
∴一次函数为y=-x+6．
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得
不等式mx+n≥kx的解集为：2≤x≤4．
（3）∵A2,4，同理可得OA的解析式为：y=2x，
∵过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B4,2，
∴yD=2，
∴xD=1，即D1,2，
∴BD=4-1=3，
∵AB为y=-x+6，
当y=0，则x=6，即C6,0，
∴OC=6，
∴梯形OCBD的面积为：123+6×2=9．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
32．（2023·山东济南·统考中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的x,y可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y=10，满足条件的x,y可看成一次函数y=-2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的x,y就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y=8xx>0的图象与直线l1：y=-2x+10的交点坐标为1,8和_________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=-2x+a．发现直线y=-2x+a可以看成是直线y=-2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点2,4时，直线y=-2x+a与反比例函数y=8xx>0的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y=-2x+a过点2,4时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=-2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）4,2；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=-2x+6，在图中画出y=-2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点2,4作l1的平行线，即可作出直线y=-2x+a的图象，将点2,4代入y=-2x+a，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程-2x+a=8xa>0有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函数图象经过点1,8，8,1，则当y=-2x+a与y=8x图象在点1,8左边，点8,1右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=8xx>0，直线l1：y=-2x+10，
∴联立得：y=8xy=-2x+10，
解得：x1=1y1=8，x2=4y2=2，
∴反比例函与直线l1：y=-2x+10的交点坐标为1,8和4,2，
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：4,24；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+y=6，则y=-2x+6，
画出直线y=-2x+6的图象，如图中l2所示：
∵l2与函数y=8x图象没有交点，
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l3所示，l3即为y=-2x+a图象，
将点2,4代入y=-2x+a，得：4=-2×2+a，
解得a=8；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=-2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程-2x+a=8xa>0有实数根，
整理得：2x2-ax+8=0，
∴Δ=-a2-4×2×8≥0，
解得：a≥8，
把x=1代入y=8x得：y=81=8，
∴反比例函数图象经过点1,8，
把y=1代入y=8x得：1=8x，解得：x=8，
∴反比例函数图象经过点8,1，
令A1,8，B8,1，过点A1,8，B8,1分别作直线l3的平行线，
由图可知，当y=-2x+a与y=8x图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；

把8,1代入y=-2x+a得：1=-16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mxx>0的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)k=2，m=12；
(2)点D的坐标为6，26+2或7-1，27
【分析】（1）求得A-1，0，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得C2，6，据此即可求解；
（2）设点Da，2a+2，则点Ea，12a，利用平行四边形的性质得到2a+2-12a=2，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵OA=1，
∴A-1，0，
∵直线y=kx+2经过点A-1，0，
∴0=-k+2，解得，k=2，
∴直线的解析式为y=2x+2，
∵点C的横坐标为2，
∴y=2×2+2=6，
∴C2，6，
∵反比例函数y=mxx>0的图象经过点C，
∴m=2×6=12；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为y=12x，
令x=0，则y=2×0+2=2，
∴点B0，2，
设点Da，2a+2，则点Ea，12a，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴DE=OB=2，
∴2a+2-12a=2，整理得2a+2-12a=2或2a+2-12a=-2，
由2a+2-12a=2得2a2+2a-12=2a，
整理得a2=6，
解得a=±6，
∵a>0，
∴a=6，
∴点D6，26+2；
由2a+2-12a=-2得2a2+2a-12=-2a，
整理得a2+2a-6=0，
解得a=±7-1，
∵a>0，
∴a=7-1，
∴点D7-1，27；
综上，点D的坐标为6，26+2或7-1，27．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
34．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C3，0，顶点A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=6x，y=-12x+4
(2)在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小,最小值是25+42．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACE≌△CBDAAS，则CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3-m得到点A的坐标是3-m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上得到33-m=6m，解得m=1，得到点A的坐标是2,3，点B的坐标是6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，利用轴对称的性质得到AP=A'P，A'2,-3，则AP+PB=A'B，由AB=25知AB是定值，此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小，利用待定系数法求出直线A'B的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，
则∠AEC=∠CDB=90°，

∵点C3，0，B6，m，
∴OC=3,OD=6, BD=m，
∴CD=OD-OC=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°,AC=BC，
∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴△ACE≌△CBDAAS，
∴CD=AE=3,BD=EC=m，
∴OE=OC-EC=3-m，
∴点A的坐标是3-m,3，
∵A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
∴33-m=6m，
解得m=1，
∴点A的坐标是2,3，点B的坐标是6,1，
∴k=6m=6，
∴反比例函数的解析式是y=6x，
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入得，
2p+q=36p+q=1，解得p=-12q=4,
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=-12x+4，
（2）延长AE至点A'，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，

∴点A与点A'关于x轴对称，
∴AP=A'P，A'2,-3，
∵AP+PB=A'P+PB=A'B，
∴AP+PB的最小值是A'B的长度，
∵AB=2-62+3-12=25，即AB是定值，
∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小，
设直线A'B的解析式是y=nx+t，
则2n+t=-36n+t=1，
解得n=1t=-5，
∴直线A'B的解析式是y=x-5，
当y=0时，0=x-5，解得x=5，
即点P的坐标是5,0，
此时AP+PB+AB=AB+A'B=25+2-62+-3-12=25+42，
综上可知，在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小，最小值是25+42．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
35．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ．
【答案】(1)λ=300f；
(2)4m
【分析】（1）设解析式为λ=kf k≠0，用待定系数法求解即可；
（2）把f=75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．
【详解】（1）解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=kf k≠0，
把点10,30代入上式中得：k10=30，
解得：k=300，
∴λ=300f；
（2）解：当f=75MHz时，λ=30075=4，
答：当f=75MHz时，此电磁波的波长λ为4m．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
36．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】(1)y=12x
(2)4cm
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把y=3代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
【详解】（1）由题意设y=kx，
把x=6，y=2代入，得k=6×2=12．
∴y关于x的函数解析式为y=12x．
（2）把y=3代入y=12x，得x=4．
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
37．（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A3,1和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】(1)3
(2)半径为2，圆心角为60°
(3)33-23π
【分析】（1）将A3,1代入y=kx中即可求解；
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出∠AOD的度数，最后结合菱形的性质求解；
（3）先计算出S菱形AOCD=23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO=3，从而问题即可解答．
【详解】（1）解：将A3,1代入y=kx中，
得1=k3，
解得：k=3；
（2）解：∵过点A作OD的垂线，垂足为G，如下图：

∵A3,1，
∴AG=1,OG=3，
∴OA=(3)2+12=2，
∴半径为2；
∵AG=12OA，
∴sin∠AOG=AGOG=12，
∴∠AOG=30°，
由菱形的性质知：∠AOG=∠COG=30°，
∴∠AOC=60°，
∴扇形AOC的圆心角的度数：60°；
（3）解：∵OD=2OG=23，
∴S菱形AOCD=AG×OD=1×23=23，
∵S扇形AOC=16×πr2=16×π×22=23π，
如下图：由菱形OBEF知，S△FHO=S△BHO，

∵S△BHO=k2=32，
∴S△FBO=2×32=3，
∴S阴影部分面积=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=3+23-23π=33-23π．
【点睛】本题考查了反比例函数及k的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握k的几何意义．
38．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】(1)点A的坐标为(0,5)，反比例函数的表达式为y=4x；
(2)点C的坐标为(6,9)或(-4,-1)
(3)点P的坐标为-14,114；m的值为3
【分析】（1）利用直线y=-x+5解析式可的点C的坐标，将点B(a,4)代入y=-x+5可得a的值，再将点B代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是AB的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式y=x+3，C点坐标为t，t+3，根据S△ABC=12AM⋅xB-xC=5(xB,xC分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到E-4,-1，由△PAB∽△PDE得到AB∥DE，继而得到直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：y=-x+b2，将E-4,-1代入y=-x+b2求得DE的解析式是：y=-x-5，再将直线DE与双曲线的解析式联立求得D-1,-4，再用待定系数法求出AD的解析式是y=9x+5，利用直线AD的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为-14,114，再用两点间的距离公式得到BP=542，EP=1542从而求得m=EPBP=3．
【详解】（1）解：令x=0，则y=-x+5=5
∴点A的坐标为(0,5)，
将点B(a,4)代入y=-x+5得：4=-a+5
解得：a=1
∴B(1,4)
将点B(1,4)代入y=kx得：4=k1
解得：k=4
∴反比例函数的表达式为y=4x；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线y=-x+5与x轴得交点为N，

令y=-x+5=0解得：x=5
∴N(5,0)，
∴OA=ON=5，
又∵∠AON=90°，
∴∠OAN=45°
∵A(0,5)，B(1,4)
∴AB=1-02+4-52=2
又∵直线l是AB的垂线即∠ABM=90°，∠OAN=45°，
∴AB=BM=2，AM=AB2+BM2=2
∴M0,3
设直线l的解析式是：y=k1x+b1，
将点M0,3，点B(1,4)代入y=k1x+b1得：k1+b1=4b1=3
解得：k1=1b1=3
∴直线l的解析式是：y=x+3，
设点C的坐标是t，t+3
∵S△ABC=12AM⋅xB-xC=12×2×1-t=5，(xB,xC分别代表点B与点C的横坐标)
解得： t=-4或6，
当t=-4时，t+3=-1；
当t=6时，t+3=9，
∴点C的坐标为(6,9)或(-4,-1)
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线y=4x的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：y=4xy=x+3
解得：x=1y=4或x=-4y=-1
∴E-4,-1
画出图形如下：

又∵△PAB∽△PDE
∴∠PAB=∠PDE
∴AB∥DE
∴直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，
设直线DE的解析式是：y=-x+b2
将点E-4,-1代入y=-x+b2得：-1=--4+b2
解得：b2=-5
∴直线DE的解析式是：y=-x-5
∵点D也在双曲线y=4x上，
∴点D是直线DE与双曲线y=4x的另一个交点，
将直线DE与双曲线的解析式联立得：y=4xy=-x-5
解得：x=-1y=-4或x=-4y=-1
∴D-1,-4
设直线AD的解析式是：y=k3x+b3
将点A(0,5)，D-1,-4代入y=k3x+b3得：-k3+b3=-4b3=5
解得：k1=9b1=5
∴直线AD的解析式是：y=9x+5，
又将直线AD的解析式与直线l的解析式联立得：y=9x+5y=x+3
解得：x=-14y=114
∴点P的坐标为-14,114
∴BP=-14-12+114-42=542
EP=-14--42+114--12=1542
∴m=EPBP=3
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合-几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
39．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点Pm,n在函数y=-2xx0)的图象交于点A，
∴设Aa,3a-9，
∵AM⊥x，OA=5，
∴在Rt△AOM中，OM2+AM2=AO2，
∴a2+3a-92=52，
∴解得a1=4，a2=75，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴a2=75应舍去，
∴a=4，
∴A4,3，
∴将A4,3代入y=mx(x>0)，解得m=12；
∴反比例函数的解析式为y=12x(x>0)；
（2）∵A4,3，B3,0，
∴MO=4，BO=3，
∴MB=1，AM=3，
∵AM⊥x，
∴tan∠BAM=BMAM=13，
∵AN⊥y，∠NOM=90°，
∴四边形NOMA是矩形，
∴∠NAM=90°，
∵将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，
∴∠BAE=45°，
∴∠BAM+∠NAE=45°，
∵tan∠BAM=13，
∴tan∠NAE=12；
（3）∵四边形NOMA是矩形，
∴AN=OM=4，NO=AM=3，
∵AN⊥y，tan∠NAE=12，
∴NEAN=12，即NE4=12，
∴解得NE=2，
∴OE=ON-NE=1，
∴E0,1，
∴设直线AE的解析式为y=kx+b，
∴将E0,1和A4,3代入得，b=14k+b=3，
∴解得b=1k=12，
∴直线AE的解析式为y=12x+1．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．
V（单位：立方米）
64
48
38.4
32
24
…
P（单位：千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
y
…
-103
-52
-2
2
52
103
…
S/m2
1
2
3
P/Pa
P1
300
P2
RΩ
100
200
220
400
IA
2.2
1.1
1
0.55
IA
5
…
a
…
…
…
b
…
1
RΩ
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
RΩ
…
1
a
3
4
6
…
IA
…
4
3
2.4
2
b
…
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6