中考数学第一轮复习讲义第26讲 圆的相关概念及性质（练习）（解析版）

这是一份中考数学第一轮复习讲义第26讲 圆的相关概念及性质（练习）（解析版），共155页。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157267112" 题型01 理解圆的相关概念
\l "_Tc157267113" 题型02 圆的周长与面积相关计算
\l "_Tc157267114" 题型03 圆中的角度计算
\l "_Tc157267115" 题型04 圆中线段长度的计算
\l "_Tc157267116" 题型05 求一点到圆上一点的距离最值
\l "_Tc157267117" 题型06 由垂径定理及推论判断正误
\l "_Tc157267118" 题型07 利用垂径定理求解
\l "_Tc157267119" 题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解
\l "_Tc157267120" 题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
\l "_Tc157267121" 题型10 利用垂径定理求平行弦问题
\l "_Tc157267122" 题型11 利用垂径定理求同心圆问题
\l "_Tc157267123" 题型12 垂径定理在格点中的应用
\l "_Tc157267124" 题型13 利用垂径定理的推论求解
\l "_Tc157267125" 题型14 垂径定理的实际应用
\l "_Tc157267126" 题型15 利用垂径定理求取值范围
\l "_Tc157267127" 题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
\l "_Tc157267128" 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解
\l "_Tc157267129" 题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值
\l "_Tc157267130" 题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明
\l "_Tc157267131" 题型20 利用圆周角定理求解
\l "_Tc157267132" 题型21 利用圆周角定理推论求解
\l "_Tc157267133" 题型22 已知圆内接四边形求角度
\l "_Tc157267134" 题型23 利用圆的有关性质求值
\l "_Tc157267135" 题型24 利用圆的有关性质证明
\l "_Tc157267136" 题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题
\l "_Tc157267137" 题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题
\l "_Tc157267138" 题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
\l "_Tc157267139" 题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角
题型01 理解圆的相关概念
1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
【答案】D
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．
2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记定理是解此题的关键．
①根据确定圆的条件进行解答即可；
②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可；
③根据垂径定理即可得出结论；
④根据三角形外心的性质可得出结论；
⑤根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；
②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；
③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误．
∴正确命题的个数为0个．
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆的对称性、垂径定理及三角形的外心的性质，难度不大．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（ ）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形；
③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆.
A．①④B．②③C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．
【详解】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；
②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；
③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；
④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．
4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大
B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的π倍
D．圆是轴对称图形
【答案】B
【分析】根据圆的特征即可求解．
【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．
题型02 圆的周长与面积相关计算
5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，12对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π-4B．π-2C．2πD．14π
【答案】A
【分析】由题意得半径为2，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴正方形的对角线的长为22
∴半径为2
∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积
∴阴影部分面积=π（2）2-22=2π-4
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系．
6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定
【答案】C
【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可．
【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3,
∴d1+d2+d3=D
根据圆周长公式，得图（1）中，需要2πD；
图（2）中，需要πD +πd1+πd2+πd3=πD +π( d1+d2+d3)= 2πD
故选：C．
【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．
7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且R-r=1，则半径为R的圆周长为（ ）
A．a+1B．a+2C．a+πD．a+2π
【答案】D
【分析】根据半径为r的圆的周长表示出半径r.
【详解】∵半径为r的圆周长为a，
∴2πr=a，
∴r=a2π，
∵R-r=1，
∴R=1+r=1+a2π=2π+a2π，
∴半径为R的圆周长为2π⋅2π+a2π=a+2π，
故选：D.
【点睛】此题考查圆的周长公式，熟记公式是解题的关键.
8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．
（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积．
【答案】（1）画图见详解；（2）BC扫过的面积S圆环==9π．
【分析】（1）由三角板ABC可求AB=2BC=6cm，由勾股定理：AC=AB2-BC2=36-9=33，边BC在平面内绕顶点A旋转一周．图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示；
（2）BC扫过的面积S圆环=πAB2-πAC2计算即可．
【详解】解：（1）∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，
∴AB=2BC=6cm，
∴由勾股定理：AC=AB2-BC2=36-9=33，
边BC在平面内绕顶点A旋转一周．图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：
（2）BC扫过的面积S圆环=πAB2-πAC2=36π-27π=9π．
【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积，掌握画旋转图形方法，勾股定理，30°直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键．
题型03 圆中的角度计算
9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．
【详解】如图：连接OB，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝12OD，
∴OC＝12OB．
∵OC⊥AB，
∴sin∠OBC=OCOB=12,
∴∠OBC＝30°．
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故选D．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键．
10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】C
【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：连接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵∠AOC=80°，点D为弦AC的中点
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=180∘-100∘-x2=40∘+x2
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED＜180∘-140∘-x2=20∘+x2
∴∠CED＞∠OEC-∠OED=40∘+x2-20∘+x2=20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°，
故答案为C．
【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．
11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'=27°，则∠OCB= 度．

【答案】87
【分析】根据旋转对应边相等及半径相等得到等边△OBO'，得到旋转角为60°，然后利用三角形外角和定理计算即可．
【详解】∵△AOB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，点O落在⊙O上，
∴∠A=∠A'=27°，OB=O'B，
连接OO'，

∵OB=OO'，
∴△OO'B为等边三角形，
∴∠OBO'=60°，
∴△AOB绕点B按顺时针方向旋转了60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠OCB=∠A+∠ABA'=27°+60°=87°．
故答案为：87.
【点睛】本题考查旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等．本题中利用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键．
题型04 圆中线段长度的计算
12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）

A．403B．8C．245D．6
【答案】C
【分析】连接OE，证明OE∥BC，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接OE，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴OEBC=AOAB，
∵⊙O的半径为3，AD=2，
∴AO=AD+OD=5，AB=AO+OB=8，
∴BC=OE⋅ABAO=3×85=245，
故选：C．

【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）
A．403B．8C．245D．95
【答案】C
【分析】连接OE，由角平分线的性质，等腰三角形的性质的推出∠OEB=∠CBE，得到OE∥BC，因此△AOE ∼ △ABC，得到AO：AB=OE：BC代入有关数据，即可求出BC的长．
【详解】解：如图，连接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠ABE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴△AOE ∼ △ABC，
∴AO：AB=OE：BC，
∵⊙O的半径为3，AD=2，
∴AO=AD+OD=2+3=5，AB=AD+BD=2+6=8，
∴5：8=3：BC，
∴BC=245．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定和性质．
14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4B．10C．13D．26
【答案】B
【分析】连接OA，OF，由题意得OA=OF，设OC=x，由勾股定理得(x+2)2+22=(3-x)2+32，解答方程可得OC的值，再运用勾股定理可得OD的长．
【详解】解：连接OA，OF，如图，
∵OF是半圆O的半径，
∴OA=OF，
∵四边形ABCD、EFGC是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°，AB=BC=CD=3,CE=EF=2
设OC=x，
∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，
在RtΔABO和RtΔEFO中，
AB2+BO2=AO2,OE2+EF2=OF2,
∴32+(3-x)2=AO2,(x+2)2+22=OF2，
∵AO=FO
∴32+(3-x)2=(x+2)2+22,
解得，x=1，即OC=1，
在Rt△DOC中，DO2=OC2+DC2,
∴OD=OC2+CD2=12+32=10,
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，勾股定理以及正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
题型05 求一点到圆上一点的距离最值
15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD上运动，若圆O的面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是 ．

【答案】4
【分析】由正方形的性质知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA'∥BD，且使CA'=1，连接AA'交BD于点N，取MN=1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【详解】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为2，BD=22=AC，
由正方形的性质知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA'∥BD，且使CA'=1，
连接AA'交BD于点N，取MN=1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵A'C∥MN，且A'C=MN，则四边形MCA'N为平行四边形，
则A'N=CM=AM，
故△AMN的周长=AM+AN+MN=AA'+1为最小，
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
∴ A'C⊥AC，
∴ A'A=AC2+A'C2=(22)2+12=3，
则△AMN的周长的最小值为3+1=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是解题的关键．
16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON=t（10)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于25时，点P的坐标为 ．
【答案】2,32或32,2
【分析】当点P在直线y=x上方时，作PH⊥AB，利用垂径定理可得AH=5，由勾股定理易得PH，作PM⊥x轴交直线AB于点C，由PH可得CP，设OM=a，则CM=a，易得，Pa,a+22，因为P点在反比例函数图像上，所以易得aa+22=6可得a，易得P点的坐标，当点P在直线y=x下方时，利用对称性可得P点的另一坐标．
【详解】解：当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB，
∴AH=5，而PA=3，
∴PH=2．
作PM⊥x轴交直线AB于点C，
∵∠∠COM=∠PCH=45°,
∴∠PCH=∠HPC=45°，OM=CM，
∴PC=2PH=22，
设OM=a，则CM=a，
∴Pa,a+22，
∵点P是反比例函数y=6x(x>0)图像上的一个动点，
∴aa+22=6，
∴a=2，（负值舍去）
∴P2,32，
当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P32,2．
故答案为：2,32或32,2．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、反比例函数与一次函数的交点、勾股定理等知识点，正确作出恰当的辅助线、利用勾股定理和垂径定理解得PC是解答此题的关键．
题型10 利用垂径定理求平行弦问题
35．（2021·浙江衢州·校考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
【答案】3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝12CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝52-42＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
36．（2022·黑龙江·统考一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【答案】32
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=12EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=52，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=(52)2-22=32，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
37．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，则AB与CD之间的距离是 cm．
【答案】23+2或23-2
【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；
【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作GH⊥AB、GH⊥CD
在⊙O中
∵∠BOD=90°，GH⊥AB、GH⊥CD
∴∠GOB+∠DOH=90°
∴∠GOB=∠ODH
∵∠OGB=∠DHO∠GOB=∠ODHOB=OD
∴ΔGOB≅ΔDHOAAS
∴BG=OH
∵OG⊥AB
∴OH=BG=12AB=23
∴OG=OB2-BG2=42-232=2
∴GH=OH+OG=23+2
∵AB//CD
∴AB与CD之间的距离即GH
∴AB与CD之间的距离为23+2
②如图，作OF⊥AB、PD⊥AB，连接AD
则有四边形PEFD是矩形，
∴EF=PD
∵∠BOD=90°
∴∠BAD=45°
∵PD⊥AB
∴AP=PD
∵OF⊥AB
∴BE=12AB=23
∴OE=OB2-BE2=42-232=2
∵OD2=OF2+FD2
∴42=2+PD2+23-PD2
∴PD=23-2
故答案为：23+2或23-2
【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
题型11 利用垂径定理求同心圆问题
38．（2022·福建·模拟预测）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，则AB的长是 ．
【答案】12
【分析】连接OC，由切线的性质知OC⊥AB，根据垂径定理得AB=2AC，由tan∠OAB的值，易得OC:AC的值，进而可求出AC的长，而AB的长也可求出．
【详解】解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AC，
∵OD=3，
∴OC=3，
∵tan∠OAB=OCAC=12，
∴AC=6，
∴AB=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和垂径定理，解题的关键是连接过切点的半径．
39．（2019·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=6，则圆环的面积为 .
【答案】9π
【分析】由小圆与AB相切，利用切线的性质得到OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB中点，求出AC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OA2−OC2的值，由大圆面积减去小圆面积求出圆环面积即可．
【详解】如图所示，连接OA，OC，
∵弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴AC＝BC＝12AB＝3，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA2−OC2＝AC2＝9，
则形成圆环的面积为πOA2−πOC2＝π（OA2−OC2）＝9π，
故答案为9π．
【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
40．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣27
【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，
即AC=BD
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴CE=OC2-OE2=82-62=27，AE=OA2-OE2=102-62=8.
∴AC=AE﹣CE=8﹣27．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
题型12 垂径定理在格点中的应用
41．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则AE的长为（ ）
A．3π4B．π2C．5π8D．5π4
【答案】D
【分析】如图，作AB、BC的垂直平分线，两线交于O，F为AB的中点, 连接OA、OE、OC,由垂径定理可得AF=12AB=2 ,OF=32，再运用勾股定理求得OA=52，再根据∠AOE=90°和弧长公式即可解答．
【详解】解：如图，作AB、BC的垂直平分线，两线交于O，F为AB的中点，连接OA、OE、OC、AB、BC、CD
由垂径定理得：AF=12AB=2 ,OF=32
∴OA=AF2+OF2=22+322=52
∵∠ABC=90°
∴AC是直径
根据网格图形可知：AC=CD=32+42=25，AD=72+12=50
∴AC2+CD2=AD2=50，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD=90°，∠CAE=45°，
∴∠ECA=45°，
∴AE所对的圆心角是90°，
∴弧AE的长是90×2π×52360=54π．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、弧长公式等知识点，根据题意找到圆心是解答本题的关键．
42．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O均在格点上，则sinC= ．

【答案】255/255
【分析】取AB中点D，连接OA，OB，由图可知，AB=4，AD=BD=2，OD=1，由垂径定理可知OD⊥AB，进而可得OB=OD2+BD2=5，易得sin∠DOB=BDOB=25=255，再证∠C=∠DOB，即可解．
【详解】解：取AB中点D，连接OA，OB，如图，

由图可知，AB=4，AD=BD=2，OD=1，
由垂径定理可知OD⊥AB，则∠ODB=90°，
∴OB=OD2+BD2=5，则sin∠DOB=BDOB=25=255，
∵OA=OB，
∴∠BOD=12∠AOB，
∵∠C=12∠AOB，
∴∠C=∠DOB，
∴sinC=sin∠DOB=255，
故答案为：255．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB中点D，得Rt△ODB是解题的关键．
43．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．

（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，并简要说明画图方法（不要求证明）
【答案】 210 取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P即为所求
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P即为所求．
【详解】解：（1）AB=22+62=210
（2）如图所示，取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P即为所求．
理由如下，

∵tan∠DOA=tan∠CAD=tan∠MON=13
∴∠MON=∠CAD
∵∠ACD+∠CAD=90°
∴∠MON+∠CAD=90°
∴AC⊥OM，
∴PM=AM．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正切的定义，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
44．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．
（1）线段AC的长等于 ；
（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 17 取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．
【详解】解：（1）AC=42+12=17；
故答案为：17；
（2）取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．
∵∠BAE=90°，
∴BE为圆的直径，
∵GK垂直平分AB，
∴BE鱼GK的交点为圆心O，
∵MN∥AH，
∴AM=HN，
∴∠ANM=∠HMN，
∴IM=IN，
∵OM=ON，
∴IP垂直平分MN，
即MP=NP．
故答案为：取圆与格线的交点E，连接EB，EB与格线的交点为圆心O；取格点F，连接FD，与圆交于点M，N；取圆与AC的交点H，连接MH，AN，两线交于点I；作射线OI，交MN于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，垂径定理，解题的关键是找出圆心O和点I．
题型13 利用垂径定理的推论求解
45．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB=30°，AC=23，则OE=（ ）
A．32B．3C．1D．2
【答案】C
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根据锐角三角函数可得AE=3，AB=4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，AC=23，
∴AE=AC⋅cs∠BAC=3，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=ACcs∠BAC=4，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1．
故选：C
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
46．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在⊙O中，点C是AB的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD=3，DC=2，则AB的长是 ．
【答案】8．
【分析】连结OA，OB，点C是AB的中点，半径OC交弦AB于点D，根据垂径定理可得OC⊥AB，AD=BD，由OD=3，DC=2，求半径OC= 5，OA= 5，在Rt△OAD中，由勾股定理得DA=OA2-OD2=52-32=4即可，
【详解】解：连结OA，OB，
∵点C是AB的中点，半径OC交弦AB于点D，
∴OC⊥AB，AD=BD，
∵OD=3，DC=2，
∴OC=OD+CD=3+2=5，
∴OA=OC=5，
在Rt△OAD中，
由勾股定理得DA=OA2-OD2=52-32=4，
∴AB=2AD=2×4=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，勾股定理，线段中点定义，掌握垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，勾股定理，线段中点定义是解题关键．
47．（2023·天津西青·统考一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，AC=BC，连接AC，BC，DB．
(1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB，求∠ABD的大小．
【答案】(1)∠ABC=45°，∠ABD=60°
(2)∠ABD=67.5°
【分析】（1）如图所示，连接AD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=∠ACB=90°，由AC=BC，得到AC=BC，再分别解Rt△ABC，Rt△ABD即可得到答案；
（2）如图所示，连接OC，先由垂径定理的推理得到OC⊥AB，即∠BOC=90°，同理可得∠OBC=45°，由切线的性质得到∠OCE=90°，即可证明OB∥CE，得到∠ABD=∠E，∠BCE=∠OBC=45°，求出∠E=67.5°，则∠ABD=∠E=67.5°．
【详解】（1）解：如图所示，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴AC=BC，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=1，
∴∠ABC=45°；
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，BD=5，
∴cs∠ABD=BDAB=12，
∴∠ABD=60°
（2）解：如图所示，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AC=BC，
∴OC⊥AB，即∠BOC=90°，
同理可得∠OBC=45°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∴OB∥CE，
∴∠ABD=∠E，∠BCE=∠OBC=45°，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE=180°-∠BCE2=67.5°，
∴∠ABD=∠E=67.5°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，切线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质与判定，等边对等角，垂径定理的推理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
48．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点E在DO的延长线上， 连接AE．若∠E=∠B．

(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC．若AC=6，CF=4，求OE的长．
【答案】(1)见解析
(2)OE=253
【分析】（1）根据垂径定理的推论可得OD⊥BC，即∠OFB=90°，根据三角形内角和定理即可得出∠EAO=∠BFO=90°，进而证明AE是⊙O的切线；
（2）连接AC．根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，进而根据中位线的性质得出OF=12AC=3，勾股定理得出BO=OF2+BF2=5，根据（1）的结论证明△OBF∽△OEA，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠OFB=90°，
∵∠E=∠B，∠BOF=∠EOA，
∴∠EAO=∠BFO=90°，
∴OA⊥AE，
即AE是⊙O的切线；
（2）如图所示，连接AC．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BF⊥OD，
∴BF=CF=4，
∵AO=BO，
∴OF=12AC=3，
∴BO=OF2+BF2=5，则AO=BO=5，
∵∠OFB=∠OAE,∠OBF=∠E，
∴△OBF∽△OEA，
∴OAOF=OEOB，
∴53=OE5，
解得：OE=253．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
题型14 垂径定理的实际应用
49．（2021·山东临沂·统考二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【答案】6.64米
【分析】通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离.
【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=12AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cs∠OAD=ADAO，
∴AO=ADcs∠OAD=4，
∵sin∠OAD=ODAO,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.
【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD的值是解题关键.
50．（2022·河南开封·统考一模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：∠PAC=∠PBA．
(2)请求出水槽AP的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)165米；
【分析】（1）连接AO并延长交圆于点E，根据切线的性质，圆周角定理，由角的等量代换即可证明；
（2）过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，Rt△OFC中，由勾股定理求得CF的长；再由△PAC∽△PBA，PA2=PB•PC，即可解答.
【详解】（1）证明：如图连接AO并延长交圆于点E，
PA是圆的切线，则∠EAP=90°，
∴∠EAC+∠PAC=90°，
AE是圆的直径，则∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠ABC，∴∠ABC=∠PAC，即∠PAC=∠PBA；
（2）解：如图，过O作OF⊥BC于F，延长OF交圆于点D，连接OC，
BC为水平面，则D为圆的最低点，DF=2米，由垂径定理可得BC=2CF，
Rt△OFC中，OF=OD-DF=5-2=3米，OC=5米，则CF=OC2-OF2=4米，
∴BC=2CF=8米，PB=32+8=40米，
∵∠P=∠P，∠PAC=∠PBA，∴△PAC∽△PBA，
∴PA∶PB=PC∶PA，即PA2=PB•PC，
∴PA=32×40=165米.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质；掌握相关性质和定理是解题关键．
51．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；
【答案】(1)该圆弧所在圆的半径为2米
(2)支撑杆HG的高度为0.4米
【分析】（1）设CD所在的圆心为O，B为CD的中点，CD⊥AB于A，延长BA至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）过O作OF⊥HG于F，利用垂径定理以及勾股定理得出GF的长，再求出HG的长即可．
【详解】（1）解：设CD所在的圆心为O，B为CD的中点，CD⊥AB于A，延长BA至O点，连接OC，
则AC=12CD=1.6（米），
设⊙O的半径为R，则：OA=OB-AB=R-0.8
在Rt△OAC中，OC2=OA2+CA2，
∴R2=R-0.82+1.62，
解得R=2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）解：过O作OF⊥HG于F，连接OG，
则OF=AH=1.6-0.4=1.2=65（米），FH=OA=2-0.8=1.2米，OG=2米，
在Rt△OFG中，GF=OG2-OF2=22-652=1.6（米），
∴HG=FG-HF=1.6-1.2=0.4（米），
即支撑杆HG的高度为0.4米．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
52．（2021·云南大理·统考二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，则CD的长度 ．
【答案】（1）10，6；（2）证明见解析；（3）6．
【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；
（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA，由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；
（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，设DH=x，由题意可得其它线段的长，在Rt△OEA中，根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CD的长．
【详解】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，
∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；
当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度，过O点作ON⊥AM，垂足为N，作OG⊥AB，垂足为G，则四边形AGON为矩形，
∴AN=OG，
∵OG⊥AB，AB=8，
∴AG=4，
∵OA=5，
∴由勾股定理得OG=3，
∴AN=3，
∵ON⊥AM，
∴AM=6，
即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6．
（2）证明：如图，连接AD，
∵AC=12， DH=7， CH=9，
∴CD=CH+DH=16
∴ACCD=1216=34 ，
CHAC=912=34
∴ACCD=CHAC
∵∠C=∠C，
∴△ACH∽△DCA，
∴∠AHC=∠CAD
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠AHC=90°，
∴AH⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”．
（3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，∴OE=FH，OF=EH，
设DH=x，
∵CHDH=5，AB=CD，
则CH=5x，CD=AB=6x，
∴FD=AE=3x，
∴OE=FH=3x-x=2x，
∵半径为13，
在Rt△OEA中，由勾股定理得，OA2=OE2+AE2，
∴132=2x2+3x2，
解得，x=1，
∴CD=6×1=6
【点睛】本题考查圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识，准确做出辅助线是解答此题的关键．
题型15 利用垂径定理求取值范围
53．（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
【答案】A
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴A'D=(OA')2-OD2=52-32=4 ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．
54．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，⊙O的弦AB=8，点P是AB上一动点，若⊙O的直径是10，则OP的长的取值范围是______．
【答案】3≤OP≤5
【分析】过O点作OC⊥AB于C点，连接OA，如图，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，再利用勾股定理得到OC＝3，根据垂线段最短得到OP的最小值为3，从而得到OP的取值范围；
【详解】解：过O点作OC⊥AB于C点，连接OA，如图，
根据垂径定理得到AC＝BC＝12AB=4，
∵⊙O的直径是10，
∴AO=12×10=5，
在Rt△OAC中，OC=AO2-AC2=25-16=3
∵OP为半径时最长，OP为垂线段最短，
∴OP的取值范围为3≤OP≤5．
故答案为：3≤OP≤5．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理等内容，掌握垂线段最短知识内容是解题的关键．
55．（2023·浙江金华·校考一模）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 ．
【答案】23EQ．
【分析】（1）连接OM，利用垂径定理计算即可；
（2）由切线的性质证明OE⊥GH进而得到OE⊥MN，利用锐角三角函数求OD，再与（1）中OC相减即可；
（3）由半圆的中点为Q得到∠QOB=90°，得到∠QOE=30°分别求出线段EF与EQ的长度，再相减比较即可．
【详解】解：（1）连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN=48cm，
∴MC=12MN=24cm，
∵AB=50cm，
∴OM=12AB=25cm，
∴在Rt△OMC中，
OC=OM2-MC2=252-242=7cm．

（2）∵GH与半圆的切点为E，
∴OE⊥GH
∵MN∥GH
∴OE⊥MN于点D，
∵∠ANM=30°，ON=25cm，
∴OD=12ON=252cm，
∴操作后水面高度下降高度为：
252-7=112cm．
（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM=30°
∴∠DOB=60°，
∵半圆的中点为Q，
∴AQ=QB，
∴∠QOB=90°，
∴∠QOE=30°，
∴EF=tan∠QOE⋅OE=2533cm，
EQ=30×π×25180=25π6cm，
∵2533-25π6=503-25π6=2523-π6>0，
∴EF>EQ．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．
22．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．

(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，∠BAD=90°
(2)4
【分析】（1）根据已知得出AB=BC，则∠ADB=∠CDB，即可证明DB平分∠ADC，进而根据BD平分∠ABC，得出AD=CD，推出BAD=BCD，得出BD是直径，进而可得∠BAD=90°；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，∠F=90°，△ADC是等边三角形，进而得出∠CDB=12∠ADC=30°，由BD是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得BC=12BD，在Rt△BFC中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵∠BAC=∠ADB
∴AB=BC，
∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AD=CD，
∴AB+AD=BC+CD，即BAD=BCD，
∴BD是直径，
∴∠BAD=90°；
（2）解：∵∠BAD=90°，CF∥AD，
∴∠F+∠BAD=180°，则∠F=90°．
∵AD=CD，
∴AD=DC．
∵AC=AD，
∴AC=AD=CD，
∴△ADC是等边三角形，则∠ADC=60°．
∵BD平分∠ADC，
∴∠CDB=12∠ADC=30°．
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，则BC=12BD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC=120°，
∴∠FBC=60°，
∴∠FCB=90°-60°=30°，
∴FB=12BC．
∵BF=2，
∴BC=4，
∴BD=2BC=8．
∵BD是直径，
∴此圆半径的长为12BD=4．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．

(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4,BC=5，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）由圆周角定理得出，∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC，再根据∠ACB=2∠BAC，即可得出结论；
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，根据垂径定理得出∠DOB=12∠AOB,AE=BE，证明∠DOB=∠BOC，得出BD=BC，在Rt△BDE中根据勾股定理得出DE=BD2-BE2=1，在Rt△BOE中，根据勾股定理得出OB2=(OB-1)2+22，求出OB即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AB，
∴∠ACB=12∠AOB，
∵BC=BC，
∴∠BAC=12∠BOC，
∵∠ACB=2∠BAC，
∴∠AOB=2∠BOC．
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，则∠DOB=12∠AOB,AE=BE，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠DOB=∠BOC，
∴BD=BC，
∵AB=4,BC=5，
∴BE=2,DB=5，
在Rt△BDE中，∵∠DEB=90°
∴DE=BD2-BE2=1，
在Rt△BOE中，∵∠OEB=90°，
∴OB2=(OB-1)2+22，
∴OB=52，即⊙O的半径是52．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
24．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．

（1）求∠BCF的度数；
（2）求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC