三角函数培优备课课件第四章　§4.10　解三角形应用举例

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第四章§4.10　解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.课标要求内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识测量中的几个有关术语1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)西南方向与南偏西45°方向相同.(　　)(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为 .(　　)(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(　　)(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)×√×√2.(必修第二册P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔BA.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向√由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.3.(必修第二册P50例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为√在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，由题意可知∠ACB＝60°，返回第二部分探究核心题型题型一　测量距离问题例1　(1)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为√在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，在△BCD中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB(2)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是√依题意，如图，在△ABC中，距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.跟踪训练1　(1)(2023·绥化模拟)安邦河，在黑龙江省内有两条.一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川3个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江.安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为√在△ABC中，由正弦定理得(2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为______ km(精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).5.8在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，整理可得BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8或BD＝－3(舍去).在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.≈5.8(km).题型二　测量高度问题例2　(1)(2023·济宁统考)首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A(如图2)距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°(其中B，M，Q三点共线)，该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为A.58 米 B.60 米C.66 米 D.68 米√由题意得∠AMB＝75°，∠PMQ＝30°，∠AMP＝75°，∠APM＝60°，∠PAM＝45°，在△PAM中，由正弦定理得在△ABM中，AB＝AM·sin∠AMB(2)矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为 ，且AB＝BC＝20 m，则四门通天的高度为√在△BCO中，由余弦定理得因为∠ABO＋∠OBC＝π，高度问题的易错点(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.跟踪训练2　(1)如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为37°，沿坡角为23°的斜坡向上走28 m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为53°，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度约为(参考数据：sin 37°≈0.6)A.30 m B.32 mC.34 m D.36 m√∠BAQ＝23°，∠BPA＝∠QPA－∠BPC＝53°－37°＝16°，∠PAB＝∠PAQ－∠BAQ＝37°－23°＝14°，∠PBA＝180°－16°－14°＝150°.所以山的高度约为PQ＝AP·sin 37°＝50×0.6＝30(m).(2)“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6(单位：10 m)，游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12(单位：10 m)，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ＝30°，则建筑BC的高度为__________.(单位：10 m)当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，如图所示，因为摩天轮的半径为6，所以AD＝12，又AB＝12，因为∠DBA＝45°，所以∠DBC＝45°，因为∠CDB＝θ＝30°，所以∠DCB＝180°－45°－30°＝105°，题型三　测量角度问题例3　已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘救援艇.岛A处的一艘故障船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故救援艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船.角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.跟踪训练3　(1)(2023·南京模拟)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于√在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－135°＝30°，(2)甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝________.30°如图，设两船在C处相遇，又因为0°