2025中考数学一轮复习讲练 第19讲 相交线与平行线（含解析+考点卡片）

这是一份2025中考数学一轮复习讲练 第19讲 相交线与平行线（含解析+考点卡片），共26页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
2025年中考数学一轮复习
第19讲 相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，与经过主光轴的光线交于焦点F，若∠1＝30°，则∠ABF的度数为（ ）
A．30°B．120°C．150°D．170°
2．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
3．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
4．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1＝118°，则∠2的度数为（ ）
A．28°B．38°C．26°D．30°
5．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15B．65C．70D．115
6．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线n于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
8．关于两条平行直线m，n，下列说法正确的是（均发生在同一平面内）（ ）
A．若m，n被第三条直线所截，则内错角互补
B．过m，n外一点P作直线l∥m，则l与n一定交于一点
C．对于m，n外的任意一点Q，过Q关于m平行的直线有且仅有一条
D．△ABC被平行直线m所截得线段成比例
9．电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
10．一副三角板ABC和DEF如图所示放置，∠C＝∠F＝90°，点D在边AC上．若DE∥CB，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．80°C．82°D．85°
二．填空题（共5小题）
11．如图，物理实验课上，老师将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM、DN交于点O，与主光轴分别交于点F1、F2，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若∠ABM＝167°，∠CDN＝158°，则∠F1OF2的大小为 °．
12．如图，∠AOB＝90°，∠MON＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠AOC＝ ．
13．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是 ．
14．如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝ °．
15．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠E＝22°，∠DCE＝114°，则∠BAE的度数是 °．
三．解答题（共5小题）
16．如图1是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠DHF的度数是 ．
17．如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG 的度数．
18．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
19．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADE＝3∠CDE．
（1）若∠AED＝60°，求∠CDE的度数；
（2）若∠AEB＝60°，探究DE与BE的位置关系，并说明理由．
20．如图，已知AB∥CD，∠2+∠3＝180°，DA平分∠BDC，CE⊥FE于点E，∠1＝70°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）求∠FAB的度数．
2025年中考数学一轮复习之相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，与经过主光轴的光线交于焦点F，若∠1＝30°，则∠ABF的度数为（ ）
A．30°B．120°C．150°D．170°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据对顶角相等可得∠1＝∠OFB＝30°，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠1＝30°，
∴∠1＝∠OFB＝30°，
∵AB∥OF，
∴∠ABF+∠OFB＝180°，
∴∠ABF＝180°﹣∠OFB＝150°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
2．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用三角形内角和定理可得∠A＝60°，∠EDF＝45°，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠ADE＝60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，∠EDF＝90°﹣∠F＝45°，
∵ED∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝60°，
∴∠FDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
3．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据∠1和∠2是三角板中的同一个角，得∠1＝∠2，根据平行线的判定，即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
∴C正确．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．
4．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1＝118°，则∠2的度数为（ ）
A．28°B．38°C．26°D．30°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】由平行线的性质可求得∠ACE＝118°，从而可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝118°，
∴∠BCE＝∠1＝118°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠2＝∠BCE﹣∠DCB＝28°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15B．65C．70D．115
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答．
【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
6．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线n于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠ACB＝∠1＝50°，进而根据∠BAC＝90°，即可求解．
【解答】解：∵m∥n，∠1＝50°，
∴∠ACB＝∠1＝50°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠ACB＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据题意得出∠1+∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝35°，
∴∠1+∠BAC＝35°+30°＝65°，
∵a∥b，
∴∠2+∠ACB+∠1+∠BAC＝180°，即∠2+90°+35°+30°＝180°，
∴∠2＝25°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
8．关于两条平行直线m，n，下列说法正确的是（均发生在同一平面内）（ ）
A．若m，n被第三条直线所截，则内错角互补
B．过m，n外一点P作直线l∥m，则l与n一定交于一点
C．对于m，n外的任意一点Q，过Q关于m平行的直线有且仅有一条
D．△ABC被平行直线m所截得线段成比例
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定和性质定理判断即可．
【解答】解：若平行直线m，n被第三条直线所截，则内错角相等，
故A错误，不符合题意；
过平行直线m，n外一点P作直线l∥m，则l∥n，
故B错误，不符合题意；
对于平行直线m，n外的任意一点Q，过Q关于m平行的直线有且仅有一条，
故C正确，符合题意；
△ABC被平行直线m所截得线段成比例，没有指明平行直线m与△ABC的边是平行的，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
9．电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】先利用两直线平行，内错角相等可得∠ABC＝∠C＝60°，再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠D＝120°，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠DEF＝∠D＝120°，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∵BC∥DE，
∴∠D＝180°﹣∠C＝120°，
∵EF∥CD，
∴∠DEF＝∠D＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10．一副三角板ABC和DEF如图所示放置，∠C＝∠F＝90°，点D在边AC上．若DE∥CB，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．80°C．82°D．85°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】先利用平行线的性质可得∠B＝∠DGA＝60°，然后利用三角形内角和定理可得∠2＝75°，从而利用对顶角相等可得∠1＝∠2＝75°，即可解答．
【解答】解：如图：
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DGA＝60°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠2＝180°﹣∠FDE﹣∠DGA＝75°，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，物理实验课上，老师将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM、DN交于点O，与主光轴分别交于点F1、F2，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若∠ABM＝167°，∠CDN＝158°，则∠F1OF2的大小为 145 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】145．
【分析】先利用平行线的性质可得∠OF1F2＝13°，∠DF2E＝22°，然后利用对顶角相等可得∠OF2F1＝∠DF2E＝22°，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵AB∥F1F2，
∴∠OF1F2＝180°﹣∠ABO＝13°，
∵CD∥F1E，
∴∠DF2E＝180°﹣∠CDF2＝22°，
∴∠OF2F1＝∠DF2E＝22°，
∴∠F1OF2＝180°﹣∠OF1F2﹣∠OF2F1＝145°，
故答案为：145．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
12．如图，∠AOB＝90°，∠MON＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠AOC＝ 120° ．
【考点】垂线；角平分线的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质，OM平分∠AOB，得出∠MOB＝45°，再根据∠MON＝60°，ON平分∠BOC，得出∠BON＝15°，进而求出∠AOC＝∠AOB+∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，
∴∠MOB＝45°，
∵∠MON＝60°，
∴∠BON＝15°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝15°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了垂线的性质以及角平分线的定义，得出∠BON＝15°是解决问题的关键．
13．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是 30° ．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】30°．
【分析】先根据平行线的性质，得出∠B＝∠2，再根据直角三角形的内角和，求得∠B的度数，即可得出结论．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠B＝∠2，
又∵AC⊥AB，∠1＝60°，
∴∠B＝30°，
∴∠2＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
14．如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1＝20°，则∠D＝ 110 °．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】110．
【分析】根据平行线的性质得到∠ABD+∠D＝180°，根据垂线的定义得到∠ABC＝90°，由∠1＝20°求出∠ABD，最后求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠1＝90°﹣20°＝70°．
∴∠D＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠E＝22°，∠DCE＝114°，则∠BAE的度数是 92° °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】92°．
【分析】延长DC交AE于F，由三角形的外角性质得∠CFE＝∠DCE﹣∠E＝92°，再由平行线的性质得出∠BAE＝∠CFE＝92°即可．
【解答】解：如图，延长DC交AE于F，
∵∠DCE＝∠E+∠CFE＝114°，
∴∠CFE＝∠DCE﹣∠E＝114°﹣22°＝92°．
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE＝92°，
故答案为：92°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图1是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠DHF的度数是 84° ．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】84°．
【分析】如图2，延长AE到M，由折叠的性质得到：∠MEF＝∠DEF＝28°，由平行线的性质推出∠EFN＝∠MEF＝28°，由三角形外角的性质求出∠DNF＝∠EFN+∠NEF＝56°，如图3，由折叠的性质得到：∠FGH＝∠DNC＝56°，由三角形外角的性质得到∠DHF＝∠GFH+∠FGH＝84°．
【解答】解：如图2，延长AE到M，
由折叠的性质得到：∠MEF＝∠DEF＝28°，
∵AE∥BF，
∴∠EFN＝∠MEF＝28°，
∴∠DNF＝∠EFN+∠NEF＝28°+28°＝56°，
如图3，
由折叠的性质得到：∠FGH＝∠DNC＝56°，
∵∠GFH＝28°，
∴∠DHF＝∠GFH+∠FGH＝28°+56°＝84°．
故答案为：84°．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，关键是由折叠的性质得到∠MEF＝∠DEF＝28°，∠FGH＝∠DNC＝56°．
17．如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG 的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】几何图形；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解答；（2）45°．
【分析】（1）由于∠AGF＝∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1＝∠3，由∠1+∠2＝180°得出∠3+∠2＝180°判断出BF∥DE；
（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2＝135°得出∠1＝45°，得出∠AFG的度数．
【解答】解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴BF∥DE；
（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，
∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠1＝45°，
∴∠AFG＝90°﹣45°＝45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
18．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）105°．
【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE＝∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，
∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝30°，
∵∠AOF+∠BOD＝180°，
∴∠AOF＝150°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF=12∠AOF＝75°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠EOF＝105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADE＝3∠CDE．
（1）若∠AED＝60°，求∠CDE的度数；
（2）若∠AEB＝60°，探究DE与BE的位置关系，并说明理由．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠CDE＝15°；
（2）DE⊥BE，理由见解析．
【分析】（1）根据∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x°，\angADE=3x°，∠ADC＝2x°，根据平行线的性质得出方程90°﹣x+60°+3x＝180°，求出x即可．
（2）由∠AEB＝60°，AD∥BC，可得∠DAE＝∠AEB＝60°，再由AE平分∠BAD，可得∠BAD＝2∠DAE＝120°，由AB∥CD可得∠ADC＝180°﹣∠BAD＝60°，从而得出∠ADE=32∠ADC=90°，再由AD∥BC，可得∠BED＝180°﹣∠ADE＝90°，最后得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝3∠CDE，
∴设∠CDE＝x，∠ADE＝3x，
即∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣2x，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=12∠BAD=90°−x，
∵AD∥BE，
∴∠BEA＝∠EAD＝90°﹣x，∠ADE+∠BED＝180°，
又∵∠DEA＝60°，∠BEA+∠DEA＝∠BED，
∴90°﹣x+60°+3x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠CDE＝15°．
（2）DE⊥BE，理由如下：
∵∠AEB＝60°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠DAE＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝60°，
∵∠ADE＝3∠CDE，∠ADE＝∠ADC+∠CDE，
∴∠ADE=32∠ADC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠BED＝180°﹣∠ADE＝90°，
∴DE⊥BE．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
20．如图，已知AB∥CD，∠2+∠3＝180°，DA平分∠BDC，CE⊥FE于点E，∠1＝70°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）求∠FAB的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；（2）55°．
【分析】（1）根据平行线的性质推出∠2＝∠ADC，求出∠ADC+∠3＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠BDC度数，根据角平分线的定义求出∠2＝∠ADC＝35°，∠FAD＝∠AEC＝90°，代入∠FAB＝∠FAD﹣∠2求出即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥EC；
（2）解：∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠BDC＝∠1＝70°，∠2＝∠ADC，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC=12∠BDC＝35°，
∴∠2＝∠ADC＝35°，
∵CE⊥FE，
∴∠AEC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠FAD＝∠AEC＝90°，
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
4．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
5．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
6．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
7．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
10．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．