2025中考数学一轮复习讲练 第30讲 尺规作图（含解析+考点卡片）

这是一份2025中考数学一轮复习讲练 第30讲 尺规作图（含解析+考点卡片），共35页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
2025年中考数学一轮复习
第30讲 尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知线段AB＝6，小欣进行了如下操作：以线段AB的中点O为圆心，12AB的长为半径画弧，再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则BC的长为（ ）
A．1.5B．3C．33D．6
2．如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，∠BAC＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．60°C．66°D．80°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于12DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，再分别以点C，E为圆心，大于12CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．若AB＝8，BC＝10，则CG长为（ ）
A．5B．103C．22D．62
5．下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD＝65°B．∠ACB＝90°
C．∠CAD＝50°D．点D是△ABC的外心
7．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下：
（1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部；
（2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线DC于点P，作射线OP，射线OP就是∠AOB的平分线．
在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
8．已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：
下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确
B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确
C．嘉嘉和淇淇的作法都正确
D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心、大于12BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F，则线段BE的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
10．如图，对于△ABC的已知条件，老师按照下面步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ）
①△ABC≌△ADC；
②四边形ABCD是中心对称图形；
③AC是BD的中垂线；
④BD平分∠ABC．
A．①②B．②③C．①③D．③④
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若AB＝16，AC＝8，则BE长为 ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M1，M2；分别以M1，M2为圆心，大于12M1M2的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点N1，N2分别以N1，N2为圆心，大于12N1N2的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．
③连接CP．
根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为 ．
13．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是 ．
14．如图，▱ABCD的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于E、F两点；作直线EF交AB于点G，连接OG．若AD＝5，则OG＝ ．
15．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B．若DE＝3，则BC的长度是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A，B位于格点处．
（1）分别在图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC，使其内部（不含边）均有2个格点．
（2）任选一个你所画的格点△ABC，判断其是否为等腰三角形并说明理由．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△ABC内求作点D，使∠BCD＝∠CAD＝30°（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长CD交AB于点H，若H为AB中点且AB＝8，求△ACD的面积．
18．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
19．如图，在▱ABCD中，BD是对角线．
（1）利用尺规作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段BF与DE的数量关系，并加以证明．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B(1，3)，点C在线段OA上．
（1）读下面的语句，并完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
①过点C作CD∥OB交AB于点D，延长CD并截取CE＝OB；
②过点E作EF⊥CE，交x轴于点F．
（2）求证：△CEF≌△OBA．
2025年中考数学一轮复习
第30讲 尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知线段AB＝6，小欣进行了如下操作：以线段AB的中点O为圆心，12AB的长为半径画弧，再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则BC的长为（ ）
A．1.5B．3C．33D．6
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OC，由作图知，AC＝OA＝OC＝OB，根据等边三角形的性质和直角三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
由作图知，AC＝OA＝OC＝OB，
∴△AOC是等边三角形，∠B＝∠BCO，
∴∠A＝∠AOC＝60°，
∴∠B+∠BCO＝∠AOC＝60°，
∴∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，
∴AC=12AB=12×6＝3，
∴BC=AB2−AC2=33，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确地判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
2．如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，∠BAC＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．60°C．66°D．80°
【考点】作图—基本作图．
【专题】三角形；尺规作图；几何直观．
【答案】C
【分析】由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，可得AD＝BD，∠ABD＝∠CBD，则∠ABD＝∠BAD＝∠CBD．根据∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝64°，可得∠ABC＝64°，再结合三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠BAD＝∠CBD．
∵∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝64°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠BAD＝64°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝66°．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理是解答本题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于12DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论．
【解答】解：由作图知，AF⊥BC，
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．
∴AB=3AC＝43，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∴BF=32AB=32×43=6，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是理解作图过程．
4．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，再分别以点C，E为圆心，大于12CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G．若AB＝8，BC＝10，则CG长为（ ）
A．5B．103C．22D．62
【考点】作图—基本作图；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】连接EG，由尺规作图过程可知，BE＝BC＝10，BF为∠EBC的平分线，可证明△BEG≌△BCG，则CG＝EG，由矩形的性质及勾股定理可得AE=BE2−AB2=6，DE＝4，设CG＝EG＝x，则DG＝8﹣x，在Rt△DEG中，由勾股定理可列方程为x2＝42+（8﹣x）2，解方程即可．
【解答】解：连接EG，
由尺规作图过程可知，BE＝BC＝10，BF为∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
∵BG＝BG，
∴△BEG≌△BCG（SAS），
∴CG＝EG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
∴AE=BE2−AB2=6，
∴DE＝AD﹣AE＝4，
设CG＝EG＝x，
则DG＝CD﹣CG＝8﹣x，
在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2＝DE2+DG2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴CG长为5．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观；应用意识．
【答案】A
【分析】根据作已知三角形的高的作图方法判定即可．
【解答】解：图（1）和图（2）中，由“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知，AJ垂直平分GH，BC垂直平分AK，故作图正确；
图（3）中，依据“直径所对的圆周角等于90°”可知，BC所对的圆周角为直角，故作图正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，掌握利用尺规作图作高的方法是解决问题的关键．
6．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD＝65°B．∠ACB＝90°
C．∠CAD＝50°D．点D是△ABC的外心
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】C
【分析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠CDA＝25°+25°＝50°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD=180°−50°2=65°，
∴A正确，C错误；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故D正确；
∵∠ACD＝65°，∠BCD＝25°，
∴∠ACB＝65°+25°＝90°，故B正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
7．综合实践课上，嘉嘉画出∠AOB，如图1，利用尺规作图作∠AOB的角平分线OP．其作图过程如下：
（1）如图2，在射线OA上取一点D（不与点O重合），作∠ADC＝∠AOB，且点C落在∠AOB内部；
（2）如图3，以点D为圆心，以DO长为半径作弧，交射线DC于点P，作射线OP，射线OP就是∠AOB的平分线．
在嘉嘉的作法中，判断射线OP是∠AOB的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】观察作图步骤，写出证明过程即可得到答案．
【解答】解：观察作图步骤可知，证明射线OP是∠AOB的平分线的过程如下：
∵∠ADC＝∠AOB，
∴DC∥OB，
∴∠DPO＝∠POB，
∵DO＝DC，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POB＝∠DOP，
∴射线OP就是∠AOB的平分线，
在证明过程中，没有用到“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上“，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线性质和判定，等腰三角形性质等知识．
8．已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：
下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确
B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确
C．嘉嘉和淇淇的作法都正确
D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确
【考点】作图—基本作图；平行线的判定；平行线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意，嘉嘉利用同旁内角互补得出两直线平行，淇淇利用同位角相等得出两直线平行．
【解答】解：嘉嘉：斜边BC与量角器的60°刻度线重合，
∴∠BCQ＝60°
又∵直角板∠ACB＝30°，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠A+∠ACQ＝180°，
∴AB∥PQ，
则嘉嘉的作法正确，
淇淇：∵∠CAB＝∠APQ，
∴AB∥PQ，
则淇淇的作法正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了作图—基本作图，平行线的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心、大于12BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F，则线段BE的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出及做法求出AB，BD，BE＝DE，即可得的答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=10．
∵以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC＝6，BD＝AB﹣AD＝4，
∵分别以B、D为圆心、大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，
∴MN是线段BD的垂直平分线．
∴BE＝DE＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的做法是解决本题的关键．
10．如图，对于△ABC的已知条件，老师按照下面步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ）
①△ABC≌△ADC；
②四边形ABCD是中心对称图形；
③AC是BD的中垂线；
④BD平分∠ABC．
A．①②B．②③C．①③D．③④
【考点】作图—复杂作图；中心对称图形；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】利用作法可判断AC垂直平分BD，则可对①③进行判断；利用“SSS”可对③进行判断；通过说明∠ABD≠∠CBD可对④进行判断．
【解答】解：利用AB＝AC，CD＝CB，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以①正确；
由作法得AB＝AD，CB＝CD，则AC垂直平分BD，点B与点D关于点E对称，而点A与点C不关于E对称，所以②错误，③正确；
由于AD与BC不平行，则∠ADB≠∠CBD，而∠ADB＝∠ABD，则∠ABD≠∠CBD，所以④错误．
所以正确的是①③．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，中心对称图形，垂直平分线的性质以及全等三角形的判定，掌握相关定义是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若AB＝16，AC＝8，则BE长为 10 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】10．
【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接CE，
由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
设CE＝BE＝x，
∵∠A＝90°，AE＝16﹣x，AC＝882+(16−x)2，
∴BE＝CE=AC2+AE2=82+(16−x)2=x，
解得x＝10，
∴BE＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是证明CE＝BE．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M1，M2；分别以M1，M2为圆心，大于12M1M2的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点N1，N2分别以N1，N2为圆心，大于12N1N2的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．
③连接CP．
根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为 2 ．
【考点】作图—复杂作图；点到直线的距离．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】2．
【分析】过P点作PD⊥AB于D点，PE⊥BC于E点，如图，根据点到直线的距离得到PE＝1，利用基本作图得到PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，则根据角平分线的性质得到PF＝PE＝1，∠PCF＝45°，从而可判断△PCF为等腰直角三角形，所以PC=2PF．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D点，PE⊥BC于E点，如图，则PE＝1，
由作法得PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴PF＝PE＝1，∠PCF＝45°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PC=2PF=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了角平分线的性质．
13．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是 103 ．
【考点】作图—复杂作图；数轴．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】103．
【分析】设点P表示的数为x，根据平行线分线段成比例可得，x10−x=12，求出x的值，即可得答案．
【解答】解：设点P表示的数为x，
根据平行线分线段成比例可得，x10−x=12，
解得x=103，
经检验：x=103是原方程的解且符合题意，
∴点P表示的数是103．
故答案为：103．
【点评】本题考查数轴、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．如图，▱ABCD的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于E、F两点；作直线EF交AB于点G，连接OG．若AD＝5，则OG＝ 52 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】52．
【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分AB，则AG＝BG，再根据平行四边形的性质得到OB＝OD，然后根据三角形中位线性质求解．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OG为△ABD的中位线，
∴OG=12AD=52．
故答案为：52．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
15．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B．若DE＝3，则BC的长度是 33 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用矩形的性质得到AB＝CD＝6，∠C＝90°，再利用基本作图得MN垂直平分AE，则根据线段垂直平分线的性质得到BE＝BA＝6，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【解答】解：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝6，∠C＝90°，
由作法得MN垂直平分AE，
∴BE＝BA＝6，
在Rt△BCE中，BC=BE2−CE2=62−32=33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A，B位于格点处．
（1）分别在图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC，使其内部（不含边）均有2个格点．
（2）任选一个你所画的格点△ABC，判断其是否为等腰三角形并说明理由．
【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．
【专题】网格型；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）图1，图2中的三角形ABC都为等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定结合勾股定理以及网格作出图形即可；
（2）根据勾股定理以及等腰三角形的判定即可求解．
【解答】解：（1）图1，图2中画出两个不全等的格点△ABC如图所示；
（2）图1，图2中的三角形ABC都为等腰三角形，理由如下：
如图1，∵AC=12+22=BC，
∴三角形ABC为等腰三角形；
如图2，∵BC=32+12=AB，
∴三角形ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣应用设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定，熟记全等三角形的判定，等腰三角形的判定是解题的关键．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△ABC内求作点D，使∠BCD＝∠CAD＝30°（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长CD交AB于点H，若H为AB中点且AB＝8，求△ACD的面积．
【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理．
【专题】作图题；三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）23．
【分析】（1）先作AC的垂直平分线，再以AC的中点O为圆心，AO为半径画圆，再以点C为圆心，CO为半径画圆，交⊙O于点D，连接AD、CD；
（2）由（1）易得∠ACH＝60°，∠ADC＝90°由直角三角形斜边中线的性质可得CH=AH=BH=12AB=4，证明△ACH是等边三角形，可得CD=DH=12CH=2，根据勾股定理求出AD的长度，即可计算△ACD的面积．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求，
（2）由（1）可得∠BCD＝∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH＝60°，∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝90°
∵H为AB中点且∠ACB＝90°，AB＝8，
∴CH=AH=BH=12AB=4，
∵CH＝AH，∠ACH＝60°，
∴△ACH是等边三角形，AC＝CH＝4，
∵∠ADC＝90°，
∴CD=DH=12CH=2，
∴AD=AC2−CD2=23，
∴△ACD的面积为12CD•AD＝23．
【点评】本题考查了尺规作图，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
18．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】作图—基本作图；菱形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用基本作图作∠ABF的平分线；
（2）利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB＝∠BAC，则AB＝BC，同理可证AB＝AD，所以AD＝BC，于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB＝BC可判断四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）解：如图，射线BD为所求；
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAC．
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
同理可证AB＝AD，
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了菱形的性质．
19．如图，在▱ABCD中，BD是对角线．
（1）利用尺规作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段BF与DE的数量关系，并加以证明．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）BF＝DE，理由见解答．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）BF＝DE．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠OBF＝∠ODE，∠BFO＝∠DEO，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴BF＝DE．
【点评】本题考查作图—基本作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B(1，3)，点C在线段OA上．
（1）读下面的语句，并完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
①过点C作CD∥OB交AB于点D，延长CD并截取CE＝OB；
②过点E作EF⊥CE，交x轴于点F．
（2）求证：△CEF≌△OBA．
【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；全等三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）①见解答．
②见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）①结合平行线的判定，作∠ACD＝∠AOB，交AB于点D，则CD即为所求．以点C为圆心，OB的长为半径画弧，交CD的延长线于点E，则CE即为所求．
②根据垂线的作图方法作图即可．
（2）过点B作BG⊥OA于点G，则OA＝4，OG＝1，BG=3，AG＝OA﹣OG＝3．由勾股定理及勾股定理的逆定理可得∠ABO＝90°，则∠ABO＝∠FEC．由平行线的性质可得∠FCE＝∠AOB，再结合全等三角形的判定可得结论．
【解答】（1）解：①如图，作∠ACD＝∠AOB，交AB于点D，
则CD∥OB，
则CD即为所求．
以点C为圆心，OB的长为半径画弧，交CD的延长线于点E，
则CE即为所求．
②如图，EF即为所求．
（2）证明：过点B作BG⊥OA于点G．
∵A（4，0），B（1，3），
∴OA＝4，OG＝1，BG=3，
∴AG＝OA﹣OG＝3．
在Rt△OBG中，由勾股定理得，OB=OG2+BG2=12+(3)2=2，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，AB=AG2+BG2=32+(3)2=23，
∴OA2＝OB2+AB2，
∴∠ABO＝90°．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ABO＝∠FEC，
∵CD∥OB，
∴∠FCE＝∠AOB，
∵CE＝OB，
∴△CEF≌△OBA（ASA）．
【点评】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
9．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
11．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
12．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
18．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
19．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
21．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
嘉嘉：
①将直尺紧贴直线PQ；
②含60°角的三角板的顶点C落在直尺上；
③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线重合，则AB∥PQ．
淇淇：
①作射线PC；
②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；
③连接AB，则AB∥PQ．
嘉嘉：
①将直尺紧贴直线PQ；
②含60°角的三角板的顶点C落在直尺上；
③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线重合，则AB∥PQ．
淇淇：
①作射线PC；
②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；
③连接AB，则AB∥PQ．