江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期期末数学复习卷

这是一份江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期期末数学复习卷，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的零点所在区间是（ ）A．B．C．D．
2．已知随机事件满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为（ ）
A．0B．C．D．
4．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ）A．10%B．20%C．35%D．70%
5．已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知函数，则曲线的“优美点”的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若非零实数，，满足，，则
C．若，则 D．若，，则
10．已知，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为4B．的最小值为9
C．的最小值为10D．的最小值为128
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域为 B．方程恰有一个实根
C．是奇函数 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
13．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为 ．
14．已知函数给出下列四个结论中所有正确结论的序号是 ．
①当时，； ②若存在最小值，则a的取值范围为；
③若存在零点，则a的取值范围为；
④若是减函数，则a的取值范围为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求值：（1）；
（2）已知，用表示.
（3）已知，求的值.
16．已知函数且. (1)当 时，求函数 的值域；
(2)已知 ，若 ，使得 求实数的取值范围.
17．某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图求样本中分位数；
(2)已知样本中男生与女生的比例是 ，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为14，请计算样本的方差.
为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如表，
(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
19．已知函数.
（1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.
20 . 已知函数且的图象过点.
(1)求不等式的解集；
(2)已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值.
期末复习卷（一） 解析版
1-14题：CBBDADCC, BCD,BD,BCD、、①②④
1．C【详解】因为的定义域为，而在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，又，，所以的零点所在区间是.故选：C.
2．B【详解】因为，即，解得.
3. B【详解】，∵函数的图象不经过第三象限，∴，即，则“”是“”的必要不充分条件，∴，则实数a能取的最大整数为．故选：B
【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；
(2)若p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；
(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．
4．【答案】D【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题，
由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”，
根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”，
又第二个问题被问到的人数同样约为40人，故本小区对物业满意服务的百分比大约为.故选：D
5．【答案】A【详解】因为在0,+∞上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，
要使函数在区间1,4单调递减，则在1,4单调递增且在1,4恒成立，所以，解得，所以的取值范围是. 故选：A
6．【答案】D【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以，
若，则为开口向上的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
若，则为开口向下的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
综上可知：或，即实数k的取值范围是.故答案为：
7．【答案】C【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，
则，，
，所以，
所以，即该电子元件能正常工作的概率是.故选：C
8．【答案】C【详解】若时，，其关于原点对称的函数是，，
在同一坐标系中作出，和的图像，如图，
图像共有4个交点，故函数的 “优美点”共有4个.故选：C.
9．【答案】BCD【详解】A选项：当时，显然，A错误；
B选项：若非零实数，，满足，，则有，所以，B正确；
C选项：若，则，所以，C正确；
D选项：设，则，解得，因为，所以，
又，所以，即，D正确. 故选：BCD
10．【答案】BD【详解】因为，所以，解得（负值已舍去），所以，
当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误；
因为，所以，所以，
当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误；
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确. 故选：BD
11．【答案】BCD
【详解】因为，所以，所以，所以的值域为，故A错误；
方程，由于时等号不成立，则，作出函数与的图象如图所示，由图可知，两函数图象只有一个交点，所以方程有且只有一个实根，故B正确；
令，所以，
所以是奇函数，故C正确；
由C选项知是奇函数，所以的图象关于点12,1对称，所以，
记，又，
所以，
所以，故D正确. 故选:BCD.
12．【答案】【详解】由题意得“，”是真命题，故，
因为，所以m的取值范围是．
13．【答案】【详解】由已知，，当时，都有，设函数，
则，且，所以，即在0,+∞上单调递减，
又函数是上奇函数，则是上的偶函数，所以在0,+∞上单调递减，在上单调递增，所以即为，所以，解得且.
14．【答案】①②④【详解】①当时，，，故①正确；
②当时，有最小值0，此为减函数，且，无最小值，
当时，无最小值，无最小值，故无最小值，
当时，为增函数，最小值为，单调递减，所以只需满足，解得或，所以，故②正确；
③令若有解，则，令若有解，则，解得或，综上若存在零点，则a的取值范围为，故③错误；
④若是减函数，则需满足且且，解得或，故④正确.
15．【答案】（1）4；（2）；（3）4 【详解】（1）；
（2）因为，故，故.
（3）∵，∴，即，
∴，∴，∴原式.
16．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）由题意，，当且仅当即时等号成立，所以，从而，所以的值域是；
（2）若，使得 因此，
．，则，所以时，，
由（1）知当时，时，，，解得，
当时，,易知函数fx为偶函数，
结合对勾函数性质知在上递增，在递减，，
，无解，综上，的取值范围是．
17．【答案】(1)(2)．【详解】（1）根据频率分布直方图知分位数，在区间上，设其为，则，解得，所以样本中分位数是：．
（2）总样本的均值为，设男生个体依次为，女生个体依次为，
则，，，
，
总体样本方差为，其中
同理，
所以总样本的方差为，故总样本的方差为．
18．【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为(2)的所有可能取值为．
【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为．
游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以，所以游戏二获胜的概率为．
（2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，
则，且，，互斥，相互独立，
所以
，又，且，，互斥，所以
若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，所以，即．进行游戏三时，不放回地依次取出两个球：
当时，，舍去；当时，，满足题意，因此的所有可能取值为．
19．【答案】（1）定义域：，是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，值域为，作图见解析；（2）；（3）.【详解】（1），，函数是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，函数的最大值是，无最小值，值域为.作图如上：
（2）式恒成立，令，则，即不等式在恒成立.当时，因为，所以.又，所以；
（3）关于的方程恰有个不同的实数解即有个不同的解，如下图所示：当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；
当或时， 方程无解.设方程的两根分别为、，则，.令，则.因此，实数的取值范围是.
【答案】(1)；(2)6.
【详解】（1）依题意，，解得，则，
，
不等式，即，解得，
则有，即，所以原不等式的解集为.
（2）当时，，又在上单调递增，
则当时，不等式恒成立，等价于恒成立，
即恒成立，当时，，得，
设函数，其图象开口向上，对称轴方程为，
而，即，
又对任意恒成立，则，
于是在上的最小值为，
原问题转化为：存在，使得，即，
由于，则，要使成立，只需，
解得，又，所以的最小值为6.
游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球3个，白球2个
（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为获胜