甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为( )
A.B.C.6D.12
4．直线被圆截得的弦长为( )
A.B.C.D.
5．已知，则( )
A.B.C.D.
6．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为( )
A.B.C.D.
7．已知函数满足，且，，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是( )
A.
B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为
C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间
D.估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间
10．若，则( )
A.B.
C.D.
11．若函数图像的一条对称轴方程为，则( )
A.
B.
C.图像的一条对称轴为直线
D.在上单调递增
三、填空题
12．椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为_________.
13．已知向量，，若，则_________.
四、双空题
14．已知函数，则函数的最小值为_________；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是_________.（注：当时，）
五、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
16．现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：
(1)根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？
(2)为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
附表格及参考公式：，其中.
17．已知函数.
(1)若在处取得极值，求实数a的值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面平面ABCD，，，，.
(1)证明：.
(2)已知Q为侧棱PB上一点，平面QAC.
①求的值；
②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.
19．已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，O为坐标原点，是线段OM的中点.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过点M且斜率不为0的直线l与双曲线的左，右两支的交点分别为Q，P.
①若直线l的斜率为1，，求双曲线的方程；
②连接QO并延长，交双曲线于点R，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为，
所以复数在复平面上的对应的点的坐标为，
所以其对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．答案：A
解析：设外接圆的半径为R，
则，即.
故选：A.
4．答案：D
解析：圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离，
所以直线l被圆C截得的弦长为.
故选：D
5．答案：C
解析：因为，
所以.
因为，
所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为.
由题意可得，将点A的坐标代入抛物线的方程可得，
解得，所以抛物线的方程为，
焦点的坐标为，即，
所以抛物线焦点到顶点的距离为.
故选：B.
7．答案：C
解析：依题意，函数满足，
且，，
则是R上的增函数，
因此，
解得，
所以a的取值范围为.
故选：C
8．答案：D
解析：设正三棱锥的底面中心为M，
外接球的球心为O，显然球心O在直线上.
设正三棱锥的高为h，外接球的半径为R，
由，可得正三角形的面积为，
所以，
解得.
球心O到底面的距离为，
由，得，
所以外接球的表面积为.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A：，解得，A错误；
对于B：估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为
，B正确；
对于C:因为，
所以估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间，C正确；
对于D:设该哈密瓜的质量的中位数为x，则有，
所以估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间，D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：令，得，
令，得，
所以，
所以A正确；B正确；
令，则，
所以，
因为二项式的展开式的通项公式为，，
所以，故C不正确；
令，得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：函数，
设，，
则，
因为函数图像的一条对称轴方程为，
由，
即，
化简可得，
所以，所以A不正确，B正确；
.
令，得，
当时，得，所以C正确；
令，
得，
当时，，所以D不正确.
故选：BC.
12．答案：16
解析：由题意可得，，
所以，
故的周长为.
故答案为：16
13．答案：
解析：因为，
所以，得.
因为，，，
所以.
故答案为：.
14．答案：；
解析：因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
因为，
所以.
设切点为，
则切线方程为，
将原点坐标代入，
化简得，
则关于的方程有两个不同的根.
令，
则，
所以在上单调递减，
在上单调递增.因为，，
，，
所以，
故a的取值范围是.
故答案为：；
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，
当时，，
因为数列为等差数列，
且，所以数列的公差为6
所以，
即，
所以，故，
所以.
(2)因为，
所以，
.
16．答案：(1)认为市民喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联
(2)分布列见解析，
解析：(1)零假设为：市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联.
根据列联表中的数据，
得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)根据分层随机抽样的知识可知，
随机抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人，
不喜欢骑“共享单车”的有2人，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
，
所以X的分布列为
所以.
17．答案：(1)-3.
(2).
解析：(1)因为在处取得极值，
所以2为的变号零点，
函数的定义域为R，
导函数，
所以，得.
，所以在上单调递减，
在上单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意，
故实数a的值为-3.
(2)因为，所以
可转化为，即恒成立.
令，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故实数a的取值范围为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)①
②.
解析：(1)在梯形ABCD中，因为，
，，，
所以，则，所以.
因为平面平面ABCD
且平面平面，
所以平面PCD，
因为平面，所以.
(2)①设AC与BD的交点为M，连接MQ，
则在直角梯形，易知，
因为，，所以.
因为平面，且平面，
平面平面，
所以，则，
即，故.
②如图，以D为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向
建立空间直角坐标系，
则，，，
，.
因为，所以.
设平面QAC的法向量为，
因为，
，
所以
令，得.
设直线DQ与平面QAC所成的角为，
因为，
所以，
所以直线DQ与平面QAC所成角的正弦值为.
19．答案：(1)2
(2)①
②证明见解析
解析：(1)因为是线段OM的中点，
所以，即，
所以双曲线的离心率为2.
(2)设直线，点，.
联立，
得.
由(1)可得，
化简得，
所以，
即，
，.
①因为直线l的斜率为1，
所以，.
，
即，
结合，，
解得，，
所以双曲线的方程为.
②，，，
则
，
所以.
A
B
总计
喜欢
40
10
50
不喜欢
20
30
50
总计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
P