太原市实验中学校2024-2025学年高一上学期12月月考试卷数学试卷(含答案)

这是一份太原市实验中学校2024-2025学年高一上学期12月月考试卷数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
2．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则( )
A.B.C.D.
3．命题“,使得”成立的一个充分不必要条件可以是( )
A.B.C.D.
4．已知函数在闭区间上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．若,,,则( )
A.B.C.D.
6．制作一个面积为且形状为直角三角形的铁支架,则较经济（够用,又耗材最少）的铁管长度为( )
C.5m
7．已知函数,,的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为( )
A.B.
C.D.
8．已知定义在R上的函数,其中函数满足且在上单调递减,函数满足且在单调递减,设函数,则对任意,均有( )
A.B.
C.D.
9．已知函数(且),若函数图象上关于原点对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
10．下列说法正确的是( )
A.函数(,且)的图象过定点.
B.函数与是同一函数
C.函数,则函数的值域是
D.已知函数的定义域为,则定义域为
11．已知函数的图象是一条连续不断的曲线,的定义域为,,且,下列选项可判断为单调函数的是( )
A.B.
C.D.
12．函数定义在区间D上,若满足:,且,都有,则称函数为区间D上的“不增函数”,若为区间上的“不增函数”,且,又当时,恒成立,下列命题中正确的有( )
A.
B.,
C.
D.,
三、填空题
13．不等式在上有解,则实数m的取值范围是________.
14．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
15．已知函数若关于x的方程有4个不同的实根,,,,且,则的取值范围为________.
四、解答题
16．计算:
（1）;
（2）.
17．若函数为R上的奇函数,且当时,.
（1）求在R的解析式;
（2）若,,试讨论a取何值时有两个零点?a取何值时有四个零点?
18．设函数,.
（1）判断函数的奇偶性,并讨论函数的单调性（不需证明单调性）;
（2）求证:;
（3）若在区间上的最小值为,求t的值.
19．已知函数,其中a,b为常数.
（1）当时,求函数的单调区间;
（2）当时,存在2023个不同的实数,,使得,求实数b的取值范围.
20．中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种乌龙茶用的水泡制,等到茶水温度降至时再饮用,可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的如下数据:
设茶水温度从开始,经过xmin后的温度为,现给出以下三种函数模型:
①;
②;
③.
（1）从上述三种模型中选出你认为最符合实际的函数模型,不用说理由,并利用前2min的数据求出相应解析式;
（2）根据（1）中所求函数模型,求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.
（参考数据:,.）
21．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m，n，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求a的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，，，，对于上的任意值，，…，，记，求M的最大值.（注：.）
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得,解得,
故定义域为.
故选:C
2．答案：A
解析：依题意，，（O为坐标原点），
则，所以.
故选：A
3．答案：A
解析：在R上恒成立,故,
解得,
由于是的真子集,故不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是,
其他选项均不是的真子集,不合要求.
故选:A
4．答案：D
解析：因为,
所以当时,函数取得最小值2,
因为,而函数闭区间上有最大值3,最小值2,
所以.
故选：D.
5．答案：A
解析：,,,
故.
故选:A
6．答案：C
解析：设一条直角边为x,由于面积为,所以另一条直角边为,
所以斜边长为,
所以周长为,
当且仅当且,即时取等号,
所以较经济（够用,又耗材最少）的铁管长度为5m,
故选:C.
7．答案：B
解析：由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.
,,故,
,,故,
,故,
.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为,则为偶函数,图象关于y轴对称,
又在上单调递减,则在上单调递增;
函数满足且在上单调递减,
则图象关于对称,在上单调递增,
由题意得,则有:
①当恒成立时,,图象关于对称,
此时,;
②当恒成立时,,的图象关于y轴对称,且在上单调递减,
因为当时,;当时,;
即A,B两项均错误;
又当,即时,,则,
当,即时,,
因此,若,则必有,故D错误;
③若,均能成立,则不妨作示意图如下:
因,对应的点关于直线对称,且,由图知,故C正确.
故选:C.
9．答案：A
解析：关于原点对称的函数为,
所以与的图象交点个数至少有3对,
若,画出与的图象,如下:
显然只有1个交点,不合要求,
若,画出与的图象,如下:
需满足,解得,
故实数a的取值范围是.
故选:A
10．答案：ABC
解析：对A:令,解得,当时,,故函数恒过定点,A正确;
对B:函数与是同一函数,B正确;
对C:因为,
又因为,,所以,,,
则函数的值域是,故C正确;
对D:若函数的定义域为,则函数,,
则的定义域为,故D错误.
故选:ABC.
11．答案：ABC
解析：易得为减函数,A正确.
由,得,
因为,所以,即,所以为增函数,B正确.
易得,所以为增函数,C正确.
易得,不是单调函数,D错误.
12．答案：ACD
解析：A选项,,令,可得,A正确;
B选项,,令,可得,解得,
当时,,可得,
又为区间上的“不增函数”,故,故,
,令得,故,
所以时,,故,
,令得,
又,故,
故时,,
综上,,,B错误;
C选项,由B可知,,故,C正确;
D选项,时,,
由B知,时,,
故,,则,
所以,其中,故,
即,,D正确.
故选:ACD
13．答案：
解析：,
其中,
故在上有解,
令,则,
其中在上单调递增,
故当时,取得最小值,
最小值为,
故,实数m的取值范围是.
故答案为:
14．答案：
解析：恒成立,
即为恒成立,
而,可得时,不等式不恒成立,
故,即有
对恒成立,
即为,
即,
对恒成立,
则,即,
可得
设,由,
可得(当且仅当时取得等号），
可得
在递增,
可得时.
取得最小值
15．答案：
解析：当时,开口向上,对称轴为,
且,,
画出与的图象,如下:
则,,
所以,
故,即,
令,解得或6,
故,
其中,
因为,所以.
故答案为:
16．答案：（1）3
（2）
解析：（1）原式
.
（2）原式
.
17．答案：（1）
（2）答案见解析.
解析：（1）由于函数为R上的奇函数,则,
当时,可得,则,
综上所述,函数的解析式为.
（2）由函数,令,可得,
作出函数与直线的图象,如图所示:
结合图象,可得:
当或时,函数有2个零点;
当或时,函数有4个零点;
18．答案：（1）奇函数;在上单调递增;
（2）证明见解析
（3）.
解析：（1）由题意可知,的定义域为R,定义域关于原点对称
又,所以为奇函数;
因为在上单调递增,在上单调递增,
所以,在上单调递增;
（2）
（3）由
令,由,则
又
则令
对称轴
当,即时,
,
解得;
当,即时,
,
解得,又,因此不符合题意,舍去
当,即时,
,
解得
综上知,.
19．答案：（1）答案见解析;
（2）.
解析：（1）当时,,
函数的图象是开口向上,对称轴为的抛物线,
且的图象是开口向下,对称轴为的抛物线,
当,即时,
,的单调递增区间为R,无单调递减区间;
当,即时,的单调递增区间为,,
单调递减区间为;
当,即时,的单调递增区间为,,
单调递减区间为;
综上,即时,的单调递增区间为R,无单调递减区间;
当时,的单调递增区间为,,
单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,,
单调递减区间为;
（2）,
（i）当,即时,在上单调递增,
因为,所以,
则
,
即,解得;
（ⅱ）当,即时,在上单调递增,
因为,
由（ⅰ）可得,解得;
（ⅲ）当,即时,
则在内单调递增,在内单调递减,
则,
即,矛盾;
（ⅳ）当,即时,不单调,在和内单调递增,在内单调递减,
则,
即,矛盾.
综上,b的取值范围是.
20．答案：（1）选②,理由详见解析,解析式为
（2）最佳饮用口感的放置时间为6.5min
解析：（1）根据表格数据可知,水温下降的速度先快后慢,
所以选②,
且,即,
利用加减消元法解得,,,
所以.
（2）由,得,
两边取以10为底的对数得,,
.
答:最佳饮用口感的放置时间为6.5min.
21．答案：(1)1；
(2)①；②
解析：（1）由已知，可得，
则，
则，解得，
所以实数a的值为1.
（2）①设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以对任意x恒成立，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为.
②由①知.
在内任取，，且，
则，
因为
，，
所以，，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，，
则，，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故M的最小值为.
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/
100.00
92.00
84.80
78.37
72.53
67.27