玉山县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份玉山县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2．“”是“”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
3．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是( )
A.56.6米B.57.6米C.58.6米D.59.6米
4．已知集合，，若，则实数a的所有可能取值组成的集合为( )
A.B.C.D.
5．定义行列式，，则x的取值集合为( )
A.B.或
C.或D.
6．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A.或B.C.D.
7．玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有( )
A.4人B.3人C.2人D.1人
8．若正实数x，y满足，则的最小值为( )
A.3B.4C.5D.6
二、多项选择题
9．命题，有，命题，使，则( )
A.q是假命题B.p是真命题
C.q是存在量词命题D.p是全称量词命题
10．对于实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的有( )
A.若，则B.若，，则
C.若，，则D.若，则
11．已知集合，，，且，，，则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．英文单词mississippi的所有字母组成的集合共有个真子集________.
13．已知，，则的取值范围为________.
14．命题“，关于x的不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
15．已知集合，
(1)若，求；
(2)若，求实数k的取值范围.
16．已知命题p：，，命题q：，.
(1)当q为假命题时，求实数a的取值范围；
(2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.
17．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元.
(1)求出y关于x的函数关系式；
(2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）.
18．已知函数.
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求不等式的解集.
19．若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”.
(1)函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）；
(2)已知函数.
①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求t的值；
②已知函数，若函数Q是在（m为整数）上的“平稳函数”，且存在整数k，使得，求a的值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，，
所以.
故选：A.
2．答案：C
解析：先看充分性：因为：，所以可得，故“”是“”的充分条件；
再看必要性：令，则，但不成立，所以“”不是“”的必要条件.
综上可知：“”是“”的充分不必要条件.
故选：C
3．答案：B
解析：依题意，，当且仅当时取等号，
所以烟花爆裂的高度是57.6米.
故选：B
4．答案：D
解析：因为，，，
所以或或，
若，则方程的解集为空集，故，
若，则方程有且仅有解，故，
若，则方程有且仅有解，故，
故a的所有可能取值组成的集合为.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为，
所以不等式，可化为，
所以，所以，所以或，
所以x的取值集合为或.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为不等式的解集为，
所以，2是的两根，所以，解得，
不等式，即为，
整理得，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
7．答案：C
解析：设同时提交三种作品的有x人，集合A为提交了楷书作品的人，
集合B为提交了隶书作品的人，集合C为提交了行书作品的人，如图所示，
则，
解得，
故选：C.
8．答案：C
解析：由x，y为正实数，
.
所以（当且仅当即，时取“=”）
所以.
故选：C
9．答案：ACD
解析：A.因为，所以P是假命题，A正确.
B.若，则，解得，但x需要满足，所以q是假命题，B错误.
C.q中，，是存在量词命题，P是全称量词命题，C正确.
D.P中，含有全称量词的命题是全称量词命题，D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：对A，若，则有，所以，故A正确；
对B，当，时，若，，则，，故，故B错误；
对C，若，，，根据不等式性质有，故C正确；
对D，当时，若，，则，故D错误.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：因为，，，可设，，，
选项A，，，
则，故A正确；
所以，，
则，故B正确；
所以，其中，
则，故C错误；
所以，其中，
则，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：15
解析：英文单词mississippi的所有字母组成的集合为，
所以该集合的真子集个数为.
故答案为：15
13．答案：
解析：设，
故，解得，
所以，
又，，
所以，，
，
所以.
故答案为：
14．答案：
解析：由题意得“，关于x的不等式成立”为真命题，
，
因为，所以，，
其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，故实数a的取值范围为.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，所以，所以，
所以，若，则，解得，
所以.
（2），即，
所以，所以，
所以或，
由于，所以或，
解得或，
故实数k的取值范围为：.
16．答案：(1)；
(2)或.
解析：（1）由q为假命题，则，为真命题，
令，开口向上，对称轴，易知，所以.
（2）由（1）可知，当q为真命题时，；当q为假命题时，
当p为真命题时，，解得；
当p为假命题时，.解得，
故当p为真命题，q为假命题时，；
当p为假命题，q为真命题时，；
所以p和q中有且只有一个是真命题时，或.
17．答案：(1)；
(2)20万元
解析：（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元，
所以二次函数的开口向下，且顶点坐标为，
所以设该函数为，
营运三年时总利润为20万元，
即，解得，
所以.
即.
（2）由（1）知，
所以营运的年平均总利润为
，
当且仅当，即时，等号成立，
故营运的年平均总利润的最大值为20万元.
18．答案：(1)；
(2)答案及解析
解析：（1）由恒成立，即恒成立.
整理得恒成立.
当时，恒成立.
当时，函数是一元二次函数，要使其恒小于0，
则且.
解，即，得到.
综上，a的取值范围是.
（2）对进行因式分解，.
当时，，不等式的解集为.
当时，方程的两根为，.
当时，，不等式的解集为.
当时，，不等式的解集为或.
当时，，不等式的解集为R.
当时，，不等式的解集为或.
综上所得，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为R；
当时，解集为或.
19．答案：(1)①；
(2)①或；②
解析：（1）对于①在上单调递增
当时，，当时，，
，符合题意；
对于②在上单调递增
当时，，当时，，
，不符合题意；
对于③在上单调递增
当时，，当时，，
，不符合题意；
故①是在上的“平稳函数”；
（2）①二次函数为，对称轴为直线，在上单调递增，在上单调递减，
当，，
当时，，
当时，.
若，在上单调递增，
则，解得（舍去）；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去），；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，（舍去）；
若，在上单调递减，
则，解得（舍去）.
综上所述，或；
②易知，二次函数对称轴为直线，
又，且
，
，
当时，在上单调递增，当时取得最大值，时取得最小值，
m，k为整数，且，
，即m的值为5，
又，
，
.