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初中数学2 二次函数的图像与性质图片课件ppt
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1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:
(1) y = ax2(2) y = ax2+c(3) y = a(x -h)2
2. 请说出二次函数 y = -2x 2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值?
3. 把 y = -2x2 的图象
y = -2(x+2)2
4. 请猜测一下,二次函数 y = -2(x+2)2+3 的图象是否可以由 y = -2x2 平移得到?学完本课时你就会明白.
1.画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性.
二次函数 y = a(x - h)2+k 的图象和性质
2.画出函数 y = 2(x+1)2-2 图象,并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性.
当 x = h 时,y最小值=k
当 x = h 时,y最大值=k
当 x<h 时,y 随 x 的增大而减小;x>h 时,y随 x 的增大而增大.
当 x>h 时,y 随 x 的增大而减小;x<h 时,y 随 x 的增大而增大.
例1. 已知二次函数 y=a(x-1)2-c 的图象如图所示,则一次函数 y=ax+c 的大致图象可能是( )
解析:根据二次函数开口向上则 a>0,根据 -c 是二次函数顶点坐标的纵坐标,得出 c>0,故一次函数 y=ax+c 的大致图象经过第一、二、三象限.故选A.
例2. 已知二次函数 y=a(x-1)2-4 的图象经过点(3,0).(1) 求 a 的值;(2) 若 A(m,y1)、B(m+n,y2)(n>0)是该函数图象上的两点,当 y1=y 2 时,求 m、n 之间的数量关系.
解:(1) 将(3,0)代入 y=a(x-1)2-4, 得 0=4a-4,解得 a=1;
(2) 方法一: 根据题意,得y1=(m-1)2-4,y2=(m+n-1)2-4,∵y1=y2,∴(m-1)2-4=(m+n-1)2-4,即(m-1)2=(m+n-1)2.∵n>0,∴m-1=-(m+n-1),化简,得2m+n=2;
方法二:∵函数y=(x-1)2-4的图象的对称轴是经过点(1,-4),且平行于 y 轴的直线,∴m+n-1=1-m,化简,得 2m+n=2.
二次函数 y = a(x-h)2+k 与 y = ax2 的关系
可以看作互相平移得到的(h>0,k>0).
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数3(x-1)2+2的图象.
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
1.配方: 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
y=3(x-1)2+2
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象.
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标. 1.配方:这个结果通常称为求顶点坐标公式.
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
例1.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称.
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少?⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少?⑶你是怎样计算的?与同伴交流.
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少?你是怎样计算的?与同伴交流.
可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
所以这条抛物线的顶点坐标是(-20,1)
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少?你是怎样计算的?与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
⑶你还有其他方法吗?与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
1.请回答抛物线 y = 4(x-3)2+7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到?
由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的.
y =-3(x-1)2-2
y = 4(x-3)2+7
y =-5(2-x)2-6
2. 抛物线 y = -3x2+2 的图象向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,得到抛物线的表达式为_________________.
3. 抛物线 y = 2x2 不动,把 x 轴、y 轴分别向上、向左平移 3 个单位,则在新坐标系下,此抛物线的表达式为_______________.
y=2(x-3)2-3
4. 已知 y= (x-3)2-2 的部分图象如图所示,抛物线与 x 轴交点的一个坐标是(1,0),则另一个交点的坐标是________.
解析:由抛物线的对称性知,对称轴为x=3,一个交点坐标是(1,0),则另一个交点坐标是(5,0).
5. 对于抛物线 y= - (x−2)2+6,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线 x=2;③顶点坐标为(2,6);④当 x>2时,y随 x的增大而减小.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
6. 已知点 A(x1,y1)、B(x2,y2) 在二次函数y= -(x-1)2+1 的图象上,若 -1<x1<0,3<x2<4,则y1_____y2(填“>”、“<”或“=”).
解析:抛物线y = -(x-1)2+1 的对称轴为直线 x=1,∵a = -1<0,∴抛物线开口向下,∵ -1<x1<0,3<x2<4,∴ y1>y2.
7. 抛物线 与 x 轴交于 B,C 两点,顶点为 A,则 △ABC 的周长为( )A. B. C.12 D.
8. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 向左平移 1 个单位,再向下平移 4 个单位,得到抛物线 y=(x-h)2+k.所得抛物线与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点 C,顶点为 D.(1) 求 h,k 的值;
解:(1)∵将抛物线 y=x2 向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线 y=(x+1)2-4, ∴h=-1,k=-4.
(2)△ACD 为直角三角形.理由如下:由(1)得 y=(x+1)2-4.当 y=0 时,(x+1)2-4=0,x=-3或 x=1,∴A(-3,0),B(1,0).当 x=0 时,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3,∴C 点坐标为(0,-3).顶点坐标为 D (-1,-4).
(2)判断 △ACD 的形状,并说明理由.
作出抛物线的对称轴 x=-1交 x 轴于点 E ,过 D 作DF⊥y 轴于点 F,如图所示.在 Rt△AED 中,AD2=22+42=20;在 Rt△AOC 中,AC2=32+32=18;在 Rt△CFD 中,CD2=12+12=2.∵AC2+CD2=AD2,∴△ACD 是直角三角形.
1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-252.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位长度,再沿铅直方向向上平移三个单位长度,则原抛物线的表达式应变为( )A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1 D.y=x2+4
3.将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线表达式是( )A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-24.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是( )A.直线x=2 B.直线x=-2C.直线x=1 D.直线x=-1
5.已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是( )A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-26.【中考•成都】在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是( )A.abc<0,b2-4ac>0 B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0 D.abc>0,b2-4ac<0
7.如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标.
7.如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(2)设直线l与该抛物线的两个交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.
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