2025年上海市奉贤区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析

这是一份2025年上海市奉贤区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析，共17页。
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数真数大于0得到不等式，求出定义域.
【详解】令，解得，故定义域为.
故答案为：
2. 设集合，若，则实数__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据元素和集合的关系得到方程，求出
【详解】由题意得，解得.
故答案为：1.
3. 函数且的图象恒过定点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据得到时，，故图象恒过定点.
【详解】令，解得，此时，故图象恒过定点.
故答案为：
4. 设、是方程的两个实数根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值.
【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，，
因此，.
故答案为：.
5. 不等式的解集为__________．
【答案】R
【解析】
【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集.
【详解】开口向上，，
二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R.
故答案为：R
6. 设，若，则或真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：__________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解.
【详解】依题意，或的否定是：且，
所以所求假设为：且.
故答案为：且
7. 下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解.
详解】依题意，，
所以该窗子的面积为（）.
故答案为：
8. 某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为__________．
【答案】2.75
【解析】
【分析】计算出，，，结合二分法得到答案.
【详解】，
，，
故由零点存在性定理知，内存在零点，下一步需计算.
故答案为：2.75
9. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的函数式，结合奇函数的性质求得答案.
【详解】依题意，.
故答案为：.
10. 四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式__________．

【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，表达出各边长，求出菱形面积，，，两种方法表示矩形的面积，从而得到方程，求出答案.
【详解】由题意可知，四边形为矩形，四边形为菱形，
过点作⊥于点，故，
因为，所以，
故菱形的面积为，
在Rt中，，，，
故，，，
在Rt中，，，，
故，，，
又，，
故矩形的面积为
，
又矩形的面积为
，
故
，
故.

故答案为：
11. 已知函数，其中若函数有三个零点，则实数取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出为零点，从而需在时有两个零点，分，和三种情况，结合图象，得到不等式，求出答案.
【详解】当时，令，解得，
若，此时，只有1个零点，不合要求，
若，开口向下，对称轴为轴，
要想在时有两个零点，需满足，
即，又，解得，
若，开口向上，对称轴为轴，
要想有两个零点，需满足，
即，又，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
12. 设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设（为整数，），将代入，得到，要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，得到，所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，又因为，所以，当且仅当时，，因此的最小解为，求出的最小解与最大解的和.
【详解】设（为整数，），代入，
得，
即，
显然均为整数，
故，
即，
对于每个不同的，确定了唯一的有序实数对，从而也互不相同，
要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，
因为，
所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，
又因为，
所以，当且仅当时，，此时的最小解为，
综上，方程的最小解与最大解的和为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设（为整数，），将代入，得到，再进行下一步求解.
二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13. 下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用函数的定义判断即可.
【详解】由函数定义知，定义域内的每一个x，都有唯一函数值与之对应，B项、C项、D项中的图象都符合，A项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，故A项不符合.
故选：A.
14. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，根据指数函数单调性比较出大小.
【详解】ABC选项，不妨设，此时，，，ABC错误；
D选项，，故在R上单调递增，
因为，所以，D正确.
故选：D
15. 如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到方程，得到.
【详解】由题意得，即，
.
故选：B
16. 函数是定义域为的连续函数，是非常值函数，下列两个命题：
命题（1）：若，则成立．()
命题（2）：若且且，则成立．()
则下列选项正确的是（ ）．
A. 命题（1），命题（2）都正确
B. 命题（1），命题（2）都不正确
C. 命题（1）正确，命题（2）不正确
D. 命题（1）不正确，命题（2）正确
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数运算和对数运算法则判断（1）错误，（2）正确.
【详解】命题（1）：，
由于不一定相等，故与不一定成立，（1）错误；
命题（2）：，
，两者相等，
故成立，（2）正确.
故选：D
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17. 已知全集为，集合．
（1）求集合A和；
（2）将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解．
【答案】（1），或
（2）数学表达式为或，
【解析】
【分析】（1）解不等式，得到集合和；
（2）根据交集和补集概念表达出阴影部分表示的集合为或，并求出集合.
【小问1详解】
由或，解得或，
故，
由，
等价于，解得或，
故或；
【小问2详解】
图中阴影部分表示的集合为或，
因为，
故图中阴影部分表示的集合为.
18. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且．
（1）若点坐标为，求的值；
（2）化简并求值．
【答案】（1）2； （2），.
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的定义求出.
（2）由（1）求出，再利用诱导公式、同角公式化简并求值.
【小问1详解】
依题意，，，，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以.
19. 已知函数，其中．
（1）当且时，求的值；
（2）在下面三问中选一个，若都选，只按第（1）问阅卷．
①当时，求函数的值域．
②判断时函数在内的单调性，请说明理由．
③判断函数的奇偶性，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）选①，值域为；选②，在内的单调递增，理由见解析；选③，当时，为偶函数，为其他值时，为非奇非偶函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由得到方程，求出；
（2）选①，由基本不等式求出值域；选②，定义法判断函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；选③，考虑，，由函数定义域和奇偶性定义入手，得到答案.
【小问1详解】
时，，故，
故，即，
令，故，解得或（舍去），
故，故；
【小问2详解】
若选①，，
因为，所以由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的值域为；
若选②，在内单调递增，理由如下：
任选，且，
则
，
因为，且，
所以，
故，
，
所以，在内单调递增；
若选③，当时，为偶函数，为其他值时，为非奇非偶函数，理由如下：
，若，此时，解得，
故的定义域为，
若，即且时，定义域不关于原点对称，
为非奇非偶函数；
若，此时，
此时，
由于，
故为非奇非偶函数；
若，恒成立，定义域为R，
，，
当，即时，为偶函数，
当，即，
由于无论为任何正值，恒成立，
即不可能为奇函数；
综上，当时，为偶函数，时，为非奇非偶函数；
20. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得万元~万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：
①奖金y（万元）随投资收益（万元）的增加而增加，
②奖金不超过9万元，
③奖金不超过投资收益的．
（1）请你再写出一条奖励方案④；
（2）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的三个基本要求；
（3）现有奖励函数模型符合公司要求，求整数的取值范围．
【答案】（1）④出勤率高、考核分越高，奖金越高（答案不唯一）
（2）当时，①是增函数；②恒成立；③ 恒成立
（3）
【解析】
【分析】（1）写出奖励方案④；
（2）把方案①，②，③按数学语言将函数模型描述出来；
（3）根据给定模型，结合公司奖励方案，借助不等式性质及二次函数性质求出整数范围.
【小问1详解】
④出勤率高、考核分越高，奖金越高（答案不唯一）.
【小问2详解】
公司对奖励函数模型的基本要求是：当时，
①是增函数；②恒成立；③ 恒成立.
【小问3详解】
对于函数模型，
对于①，函数是上的增函数；
对于②，对任意，，则，即，解得；
对于③，对任意，，
当时，在上单调递减，
当，即时，，因此，
而，则，又，
所以整数的取值范围是.
21. 定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数．
（1）判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由；
（2）若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用题中定义验证即可；
（2）由题中定义可知，对任意的、、，有，结合基本不等式可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得的取值范围；
（3）分、、三种情况讨论，求出函数在上值域，根据题意可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
对任意、、，，，
，则，则，
因此，函数是函数的一个具有三角形性质的关联函数.
【小问2详解】
由题意可知，对任意的、、，有，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
由题意可得对任意的恒成立，所以，，
令，则，
因为函数在上为增函数，则，且，故.
【小问3详解】
因为，，
则，所以，，所以，，分以下三种情况讨论：
当时，则，显然对任意的、、，成立；
当时，则，
对任意的、、，成立，
只需，解得，此时，；
当时，则，
只需，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.