2025年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析

这是一份2025年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析，共19页。试卷主要包含了 计算， 已知，则__________， 函数的零点为______等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解.
【详解】由得，
所以，
故答案为：
2. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.
【详解】由题意，所以解集为.
故答案为：
3. 已知是方程的两个实根，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据韦达定理得出，再化简计算即可.
【详解】因为是方程的两个实根，所以，
则.
故答案为：3.
4. 计算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算公式计算即可.
【详解】原式.
故答案为：
5. 已知，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据，表示出，根据对数的运算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案：2.
6. 函数的零点为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，通过解方程，再检验可得出答案.
【详解】由定义域为
由，即，可得
解得或
又时，不满足方程
时满足条件.
故答案为：
7. 已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，条件可转化函数的图象与轴有两个交点，且两个交点的横坐标一个大于，一个小于，观察图象可得，解不等式可得结论
【详解】设，
因为方程的一个根大于1，另一个根小于1，
所以函数的图象与轴有两个交点，且两个交点的横坐标一个大于，一个小于，
又函数的图象开口向上，
作满足要求的函数图象可得，
观察图象可得，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
8. 已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解.
【详解】全集，集合，，
所以或，
所以．
集合或，且，
所以或，
解得或，
即的范围为．
故答案为：.
9. 设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用反函数与原函数的关系求出，再结合函数的单调性求解不等式.
【详解】由函数的图象经过点，得函数的图象过点，
则，解得，即，
而函数都是R上的增函数，
因此函数在R上单调递增，不等式，
则，解得，所以原不等式的解集为.
故答案为：
10. 设，若，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，结合分段函数解析式求，再求，由条件列方程求.
【详解】因为，
又当时，，
所以，
因为当时，，
所以，
因为，
故，
所以.
故答案为：.
11. 设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可.
【详解】由，可得，
即，
由，可得在上恒成立，
即，解得，
又集合A是非空集合，所以在上有解，
则，解得或，
综合可得：．
故答案为：
12. 设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据是偶函数求出，再由函数的单调性及对称性可得.
【详解】由是偶函数可得，即，
所以，设，任取，则，
所以在上单调递增，也即在上单调递增，
又因为是偶函数，所以在上单调递减，
所以的最小值在对称轴处取得，即.
故答案为：
二､选择题（本大题满分20分）本大题共5题，每题4分.
13. 设为实数，则“”是“”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.
【详解】由，得；反之，，可以为，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
14. 设正实数满足，则下列结论不正确的是（ ）.
A. 的最小值为4B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断.
【详解】A：∵，
∴，
当且仅当即时等号成立，故A正确．
B：，得，
，所以，
当且仅当即时等号成立，故B正确．
C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误；
D：，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：C．
15. 函数图像的大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．
【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，，
时，图象与在第一象限的图象一样是增函数，
时，图象与的图象关于轴对称.
故选：B．
16. 定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，原不等式等价于恒成立，结合二次不等式恒成立问题运算求解即可.
【详解】因为，即，
整理可得，
原题意等价于恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
17. 设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，由已知可得函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化，求解即可．
【详解】令，因为是定义域为R的奇函数，
所以的定义域为，且是偶函数，
且，
因为对任意，都有，
即对任意，都有，
所以时，，
所以在上单调递减，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
当时，不等式等价于，
即，所以，解得，
当时，不等式等价于，
即，所以，解得，
综上，原不等式的解集为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，进而根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
18. 设，则（ ）.
A. 函数的最大值为3，最小值为1
B. 函数的最大值为，无最小值
C. 函数的最大值为，无最小值
D. 函数的最大值为3，最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值，
所以由得（舍去）或，
即当时，函数有最大值，无最小值.
故选：C
三､解答题（本大题满分50分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据函数求定义域，再根据并集的运算可得；
（2）由题意，可得，进而可得.
【小问1详解】
由得，得，
故函数的定义域为，
当时，，
.
【小问2详解】
若是的必要条件，则，
故，得，
故实数的取值范围为
20. 设
（1）作出函数的大致图象，并指出它的单调区间；
（2）当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数.
【答案】（1）图象见解析，函数的递减区间为，递增区间是，.
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）借助图象变换作出的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间.
（2）把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答.
【小问1详解】
观察函数的图象得：函数的递减区间为，递增区间是，.
【小问2详解】
依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0，
当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2，
当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3，
综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2，
当时，方程的解的个数为3.
21. 如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为
（1）求关于的函数表达式
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少?
【答案】（1）
（2）海报长，宽时，用纸量最少.
【解析】
【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得；
（2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解.
【小问1详解】
由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
所以有，
整理得.
【小问2详解】
由（1）知，即，
因为，所以由基本不等式可得，
令，则，解得（舍去）或
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.
22. 设.
（1）若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）若，函数在上的最小值为，求的值.
【答案】（1）；
（2）3.
【解析】
分析】（1）把代入，利用一元二次型不等式恒成立求出范围.
（2）把代入，分类讨论求解二次函数在上的最小值问题.
【小问1详解】
当时，函数
不等式对一切实数恒成立，
当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
当时，，其图象的对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，
，解得，不符合要求；
当，即时，函数在上单调递减，
，解得，不符合要求；
当，即时，，解得或，则，
所以的值是3.
23. 设，已知是上的奇函数.
（1）求的值，并判断函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），函数是上的增函数
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再借助指数函数的单调性判断的单调性
（2）由（1）及已知，等价变形给定不等式，分离参数并利用基本不等式求出最小值即得.
【小问1详解】
由函数是上的奇函数，得，
则，而，解得，
函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数，
所以，函数是上的增函数.
【小问2详解】
由（1）知，函数是上单调递增的奇函数，
对任意，不等式
，而，当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
24. 对于函数，若存在区间，同时满足：
①函数在上是单调函数；
②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”.
（1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由；
（2）若函数存在“优美区间”，求的最小值；
（3）若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值.
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定义判断即可；
（2）函数在为增函数，又为“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解；
（3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值.
【小问1详解】
因为函数在为增函数，所以在也为增函数，
又因为，所以的值域为，
所以为函数的“优美区间”.
【小问2详解】
因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”，
所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根，
所以，解得或，
所以的最小值为4.
小问3详解】
定义域为，假设或，
在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以，
所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根，
所以或，又，
所以，
当时，取得最大值为.
【点睛】方法点睛：
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!
25. 对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”.
（1）判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由；
（2）求证：函数在上存在“漂移点”；
（3）若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）没有飘移点，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断；
（2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号；
（3）若函数在上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决．
【小问1详解】
假设函数有“飘移点” ，则有解，
即，由于方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点．
【小问2详解】
令
，
所以， ．所以，
又在连续，
所以在至少有一个实根，
即函数在上存在漂移点；
【小问3详解】
若在上有飘移点，
所以成立，即，，
整理得，
由，，则．
则实数的取值集合是．