2025年上海市松江区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析

这是一份2025年上海市松江区高一（上）期末数学试卷和参考答案解析，共15页。试卷主要包含了01， 已知，则 ______．等内容，欢迎下载使用。
（满分 150 分， 完卷时间 120 分钟） 2025.01
考生注意:
1. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.
2. 答题前，务必在答题纸上填写姓名和考号.
3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1 6̃ 题每题 4 分，第 7 1̃2 题每题 5 分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合 ，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案.
【详解】依题意，.
故答案为：
2. 经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________
【答案】
【解析】
【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案.
【详解】依题意，，而，
则，而，解得，
所以.
故答案为：.
3. 函数 的定义域是__________ .
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数定义域及根式求解即可.
【详解】因为函数 ，
所以,解得，
函数定义域为.
故答案为：.
4. 函数 的最小值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据函数的单调性即可得出函数最小值.
【详解】因为函数 是单调减函数，所以函数的最小值是时，.
故答案为：.
5. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数性质求解即可.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
故答案为：.
6. 已知常数 且 ，假设无论 取何值，函数 的图象恒经过一个定点， 则此点的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求解.
【详解】依题意，当时，恒有，
因此函数 图象过定点.
故答案为：
7. 已知，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用指数式与对数式的互化和换底公式即可求值．
【详解】，则，，
．
故答案为：．
8. 已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 __________
【答案】1
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及单调性，列式求解即得.
【详解】由幂函数 在 上是严格减函数，
得，解得，
所以实数.
故答案为：1
9. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，求出的最大值，则，解不等式即可得出答案.
【详解】因为，
关于的不等式有解，
即，所以，解得：
则实数取值范围是.
故答案为：
10. 已知函数的表达式是，则满足的实数的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合偶函数定义可得为偶函数，再利用偶函数对称性和指数函数单调性解出不等式即可得到结果.
【详解】当时，有，又定义域为，故为偶函数，
又当时，单调递增，故对有，
即，即有，解得，
故的最大值为.
故答案为：.
11. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________．

【答案】
【解析】
【详解】设 因为 ，所以 ，因为是等腰直角三角形，所以可得 ，又因为在函数图象上，所以 ，解得 点A的横坐标为 ，故答案为.
12. 同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案.
【详解】函数在R上单调递增，且，
由，得，则，
即，因此，则，
所以.
故答案为：3
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分）每 题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 在二十四节气中，冬季的节气有立冬､小雪､大雪､冬至､小寒和大寒，则“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用是否推出关系来判断是否充分和必要条件即可，
【详解】“甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”，
“甲出生冬季”不能推出“甲出生在冬至”，
所以“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要条件.
故选：B.
14. 用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（ ）
A. 且B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用反证法证明时，假设结论的反面成立，从而可得答案.
【详解】用反证法证明时，假设结论的反面成立：即假设且成立.
故选：C
15. 已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据条件分析得到的单调性，然后根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，则的零点可知.
【详解】因为对任意，都有，且，
所以在上单调递增，且；
因为恒成立，所以，解得，
所以的零点为，
故选：B.
16. 根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响. 若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中 . 当不变，与均变为原来的2倍时，有关于的两个命题:
①存在和，使得变为原来的 2 倍；
② 若，则最多可变为原来的 2 倍.
则下列说法正确的是（ ）
A. ①②都是真命题B. ①是真命题②是假命题
C. ①假命题②是真命题D. ①②都是假命题
【答案】C
【解析】
【分析】由，当不变，与均变为原来的2倍时，，再分别分析判断命题①②即可.
【详解】在中，当不变，与均变为原来的2倍时，，
对于①，若变为原来的2倍，则，即有，
当，时，，则，
因此无解，即不存在和，使得变为原来的2倍，①错误；
对于②，由，得，
因此，解得，
当且仅当，即时取等号，，
所以最多可变为原来的2倍，②正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据给定的信息，求出变换后与变换前的比值表达式是求解的关键.
三、解答题 （本大题满分 78 分） 本大题共有 5 题， 解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 .
（1）求实数的值；
（2）求和的值.
【答案】（1）1； （2）3，.
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出.
（2）由（1）求出，再借助因式分解计算即得.
【小问1详解】
依题意，，由，得，
则，而，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以；
.
18. 设全集，集合.
（1）求图中阴影部分表示的集合 :
（2）在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）条件选择见解析，.
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合，再结合韦恩图求出集合.
（2）选择条件①②③，利用交集、并集的结果，结合集合的包含关系分类列式求解.
【小问1详解】
解不等式，得，则，
不等式，解得，则，
或，所以.
【小问2详解】
选择条件①，，则，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
选择条件②，，则，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数取值范围是.
选择条件③，，而，因此，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）.
（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
（2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值.
【答案】（1）
（2）设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元
【解析】
【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案；
（2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即的值.
【小问1详解】
由题意得，
令即，
整理得：，
即，解得，
所以设备占地面积的取值范围为.
【小问2详解】
，由基本不等式得
，
当且仅当，即时等号成立，
所以设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元.
20. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且 .
（1）求函数 的表达式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明;
（3）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）；
（2）在上递增，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质可求得，再由的值，可求得，从而得到 的表达式.
（2）用定义法判断证明在上的单调性即可.
（3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围.
【小问1详解】
依题意函数是定义域为 的奇函数，
所以，所以
又，解得.
此时，经检验，该函数为奇函数．
故.
【小问2详解】
函数在上递增，证明如下：
任取，则，，
因为，，所以，
所以，故在上递增.
【小问3详解】
由（1）得
若对任意的，存在，使得成立，则
由（2）得在上递增，所以，
存在，成立，即
若，则在上为增函数，
，
若，则，此时符合题意．
若，则在上为减函数，
，符合题意
综上可知：.
即实数的取值范围是：.
21. 对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．
（1）判断函数，是否是“型函数”；
（2）若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式：
（3）若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域．
【答案】（1）函数不是“型函数”；函数是“型函数”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“型函数”定义，代入直接判断即可；
（2）由题中条件得到对定义域中的任意都成立，变形整理即可得到答案；
（3）由条件得，且，利用时，的值域为，得出时，，再利用，得出时,，依次类推可知时，，从而时，，利用得出时，，综合可得答案.
【小问1详解】
对于函数，
对定义域中的任意不可能恒成立,
因此函数不是“型函数”；
对于函数，
,
故存在实数对，使对定义域中的任意都成立，
因此函数是“型函数”.
【小问2详解】
因为函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，
所以对定义域中的任意都成立，
则，
所以且，所以.
【小问3详解】
∵定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，
∴，且，
由，用替换可得,
∵当时，的值域为，
当时，，，∴，
当时，，即．
由，用替换可得,
又，，则，
用替换可得.
当时, ，，∴，
当时, ，，∴，
依次类推可知，当时,，
当时，，
∴当时，，
当时，，∴，
∴，
综上可知，当时，函数的值域为.